2016年秋九年级数学上册 第二十三章 旋转阶段强化专训 （新版）新人教版.doc

旋转 阶段强化专训一： 平移与旋转在解题中的巧用 名师点金：图形变换的实质是图形位置的全等变换，在这个变换过程中有对应线段相等、对应角相等等一些等量关系，利用这些等量关系可以解决线段、角、面积的计算等有关问题．‎ ‎ 平移 技巧1　利用平移求面积 ‎1．如图，在长为50 m，宽为30 m的长方形土地上，有纵横交错的几条小路，宽均为1 m，其他部分均种植花草．试求种植花草部分的面积是多少．‎ ‎(第1题)‎ 技巧2　利用平移求线段长 ‎2．如图，长方形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小长方形的周长之和为多少？‎ ‎(第2题)‎ 技巧3　利用平移比较线段 ‎3．王老师在黑板上写出了一道题，如图(1)，线段AB＝CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，试比较AC＋BD与AB的大小．小聪思考片刻就想出来了，他说将AB平移到CE的位置，连接BE，DE，如图(2)，就可以比较AC＋BD与AB的大小了，你知道他是怎样比较的吗？‎ ‎(第3题)‎ ‎ 旋转 技巧1　利用旋转求角度 ‎4‎ 10‎ ‎．如图，已知OAB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合得到△OCD，则旋转的角度是(　　)‎ A．150°　　　B．120°　　　C．90°　　　D．60°‎ ‎(第4题)‎ ‎　　　(第5题)‎ ‎5．如图所示，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE.若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为(　　)‎ A．60°　　　B．75°　　　C．85°　　　D．90°‎ ‎6．(2015·德州)如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为(　　)‎ A．35° B．40° C．50° D．65°‎ ‎(第6题)‎ ‎　　　(第7题)‎ ‎7．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝110°，则α＝________．‎ ‎8．如图，在正方形ABCD内有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3，求∠APD的度数．‎ ‎(第8题)‎ 技巧2　利用旋转求线段长 ‎9．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转至△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上，已知AB＝4 cm，BB′＝1 cm，则A′B的长是________cm.‎ 10‎ ‎(第9题)‎ ‎　　　(第10题)‎ ‎10．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为________．‎ ‎11．(2015·吉林)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm.将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC，交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为________cm.‎ ‎(第11题)‎ ‎　　　(第12题)‎ ‎12．(2015·福州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝.将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是________．‎ 技巧3　利用旋转确定点的坐标 ‎13．(2014·德阳)如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到△A1B1O，则点A1的坐标为(　　)‎ A．(，1) B．(，－1)‎ C．(1，－) D．(2，－1)‎ ‎(第13题)‎ ‎　(第14题)‎ 10‎ ‎　(第15题)‎ ‎14．将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为(　　)‎ A．(1，1) B．(，)‎ C．(－1，1) D．(－，)‎ ‎15．(2014·孝感)如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴上，点D(5，3)在边AB上，以点C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是(　　)‎ A．(2，10) B．(－2，0)‎ C．(2，10)或(－2，0) D．(10，2)或(－2，0)‎ ‎16．(2015·济宁)在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A(4，5)逆时针旋转90°，得到的点A′的坐标为________．‎ ‎17．(2015·衡阳)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(3，2)，B(3，5)，C(1，2)．‎ ‎(1)在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.‎ ‎(2)把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得到图中的△AB2C2，点C2在AB上．‎ ‎①旋转角为多少度？‎ ‎②写出点B2的坐标．‎ ‎(第17题)‎ 技巧4　利用旋转求面积 ‎18．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n(n＜90)度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为(　　)‎ A．30，2　　B．60，2　　C．60，　　D．60， ‎(第18题)‎ 10‎ ‎　　　(第19题)‎ ‎19．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为________．‎ ‎20．如图，在Rt△ABC中，四边形DECF是正方形，‎ ‎(1)请简述图①经过怎样的变换形成图②；‎ ‎(2)当AD＝5，BD＝6时，设△ADE，△BDF的面积分别为S1，S2，求S1＋S2.‎ ‎(第20题)‎ 阶段强化专训二： 图形变换的四种作图 名师点金：平移、旋转、轴对称和中心对称这几种图形变换都可以改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，注意作图时要弄清平移的方向和距离、旋转的方向和角度，作图要求准确、明了．‎ ‎ 平移作图 题型1　已知平移方向和距离的作图 ‎1．如图，已知△ABC，将△ABC沿着北偏东60°的方向平移1 cm，作出平移后的图形(不写作法，保留作图痕迹)．‎ ‎(第1题)‎ 题型2　已知平移方法在网格(坐标系)中的作图 ‎2．如图，已知△ABC经过平移得到△A′B′C′，△ABC中任意一点P(x1，y1)平移后的对应点为P′(x1＋6，y1＋4)，求点A′，B′，C′的坐标，并画出平移后的图形．‎ 10‎ ‎(第2题)‎ ‎ 旋转作图 题型1　已知旋转角和旋转中心作图 ‎3．如图，将△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C的对应点的位置并画出旋转后的三角形．‎ ‎(第3题)‎ 题型2　已知旋转方法在网格(坐标系)中作图 ‎4．(2015·金华)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F.‎ ‎(1)若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标；‎ ‎(2)当点F落在x轴上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．‎ ‎(第4题)‎ ‎ 轴对称作图 ‎5．如图，请作出图中与△ABC关于直线m成轴对称的图形．‎ ‎(第5题)‎ 10‎ ‎ 中心对称作图 题型1　已知对称中心作图 ‎6．画出如图所示的四边形ABCD关于点O成中心对称的图形．‎ ‎(第6题)‎ 题型2　在直角坐标系中作图 ‎7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，1)，B(－2，3)，C(－2，－2)．‎ ‎(1)作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；‎ ‎(2)直接写出点A1，B1，C1的坐标；‎ ‎(3)点C绕点O旋转180°后与点C1重合，求它所经过的路径长．‎ ‎(第7题)‎ 答案 阶段强化专训一 ‎1．解：利用平移的知识，将除去小路其余的部分通过平移组合成一个新的长方形，长方形的长为49 m，宽为29 m，所以面积为49×29＝1 421(m2)．‎ 答：种植花草部分的面积是1 421 m2.‎ ‎2．解：利用平移的知识将五个小长方形的边通过平移组合成一个大的长方形，则此长方形与长方形ABCD重合，∵AC＝10，BC＝8，∴AB＝＝6.‎ ‎∴长方形ABCD的周长为(6＋8)×2＝28.‎ 答：图中的五个小长方形的周长之和是28.‎ ‎3．解：由平移的性质知，AB綊CE，‎ ‎∴四边形ABEC是平行四边形．‎ ‎∴BE＝AC，∠DCE＝∠AOC＝60°.‎ ‎∵AB＝CE，AB＝CD，∴CE＝CD，‎ ‎∴△CED是等边三角形，∴DE＝CE＝AB，‎ 根据三角形的三边关系知BE＋BD＞DE，‎ ‎∴AC＋BD＞AB.‎ 10‎ ‎4．A　5.C　6.C ‎7．20　点拨：本题由∠1的度数可以求出∠1的对顶角为110°，然后根据四边形的内角和为360°，可得∠BAD′＝360°－(90°＋90°＋110°)＝70°，所以α＝90°－70°＝20°，本题体现了由分散到集中的思想．‎ ‎(第8题)‎ ‎8．解：如图，将△PCD绕点D顺时针旋转90°至CD与AD重合，连接PQ，则△PDQ是一个等腰直角三角形．‎ ‎∴QD＝PD＝2，QA＝PC＝3.‎ 在等腰直角三角形PDQ中，PQ2＝DP2＋DQ2＝8.‎ 在△PAQ中，‎ PA2＋PQ2＝1＋8＝9＝AQ2，‎ ‎∴∠APQ＝90°，‎ ‎∴∠APD＝∠APQ＋∠DPQ＝90°＋45°＝135°.‎ ‎9．3　10. ‎11．42　点拨：∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴由勾股定理可得AB＝13.由图形的旋转可得BC＝BD＝12，∠CBD＝60°，∴△BCD是等边三角形．∴CD＝BC＝BD＝12，∴△ACF和△BDF的周长之和为AC＋CF＋AF＋BF＋BD＋DF＝AC＋AB＋CD＋BD＝5＋13＋12＋12＝42.‎ ‎(第12题)‎ ‎12.＋1　点拨：连接BN，设CA与BM相交于点D，由题意易得：△BCN为等边三角形，∴BN＝NC＝NM，∠BNM＝60°＋90°＝150°.∴∠NBM＝∠NMB＝ 15°，∠CBM＝60°－15°＝45°，‎ ‎∴∠CDB＝90°.∴△CBD为等腰直角三角形，△CDM为含30°、60°角的直角三角形，再根据BC＝可求得BD＝CD＝1，DM＝，最终求得BM＝DM＋BD＝＋1.‎ ‎13．B　14.C　15.C ‎16．(－5，4)　点拨：根据点的坐标旋转的性质：点(a，b)在平面直角坐标系中，以原点为中心，逆时针旋转90°，得到的对应点的坐标为(－b，a)，可得点A′的坐标为(－5，4)．‎ ‎(第17题)‎ ‎17．解：(1)如图所示．‎ ‎(2)①90°；②B2(6，2)．‎ 10‎ 点拨：(1)分别作出点A(3，2)，B(3，5)，C(1，2)关于x轴的对称点A1(3，－2)，B1(3，－5)，C1(1，－2)，顺次连接A1，B1，C1，则△A1B1C1即为所求．‎ ‎(2)由图形可知AC旋转到AC2的位置，AB旋转到AB2的位置，∴旋转角为∠CAC2＝∠BAB2＝90°.∵A(3，2)，B(3，5)，∴AB＝3，此时点B2的坐标为(6，2)．‎ ‎18．C　19.3－ ‎20．解：(1)将题图①中△ADE绕点D逆时针旋转90°得题图②.‎ ‎(2)设△ADE绕点D逆时针旋转90°得△GDF，则S1＋S2＝S△BDG.由旋转知，∠ADG＝90°，DG＝AD＝5，‎ ‎∴∠BDG＝90°，∴S△BDG＝BD·DG＝×6×5＝15.∴S1＋S2＝15.‎ 阶段强化专训二 ‎1．解：如图，△A1B1C1即为所求．‎ 点拨：平移作图时，找关键点的对应点是关键的一步．‎ ‎(第1题)‎ ‎　(第2题)‎ ‎2．解：∵点P(x1，y1)平移后的对应点为P′(x1＋6，y1＋4)，‎ ‎∴平移的方法为先向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度．由题图可知，A(－4，－2)，B(－5，－5)，C(－1，－3)，∴A′(2，2)，B′(1，－1)，C′(5，1)．如图所示，△A′B′C′即为平移后的图形．‎ ‎3．解：(1)连接OA，OD，OB，OC；(2)分别以OB，OC为一边作∠BOE，∠COF，使得∠BOE＝∠COF＝∠AOD且OE＝OB，OF＝OC；(3)连接EF，ED，FD，△DEF就是△ABC绕点O旋转得到的图形，如图．‎ 点拨：旋转作图要严格按照步骤进行．先找准旋转中心和旋转角，确定关键点，再作出各个关键点的对应点，最后顺次连接各关键点的对应点．‎ ‎(第3题)‎ 10‎ ‎　　　(第4题)‎ ‎4．解：(1)如图，△AEF就是所求作的三角形．‎ 点E的坐标是(3，3)，点F的坐标是(3，－1)．‎ ‎(第5题)‎ ‎(2)答案不唯一，如B(－2，0)等．‎ ‎5．解：如图，作法：(1)过点A作直线m的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′＝OA，点A′就是点A关于直线m的对称点；(2)类似地，可以分别作出点B，C关于直线m的对称点B′，C′；(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，得到的△A′B′C′就是所要求作的图形．‎ 点拨：作平面图形关于某直线的对称图形，只要找到已知图形的关键点，作这些关键点关于这条直线的对称点，再连接这些对称点即可．‎ ‎6．解：如图．‎ ‎(第6题)‎ ‎　　(第7题)‎ ‎7．解：(1)如图．‎ ‎(2)点A(2，1)关于原点对称的点为A1(－2，－1)，点B(－2，3)关于原点对称的点为B1(2，－3)，‎ 点C(－2，－2)关于原点对称的点为C1(2，2)．‎ ‎(3)点C与点C1重合，所经过的路径是以点O为圆心，OC长为半径的半圆，OC＝2，所以点C所经过的路径长为2π.‎ 10‎