广东省2018年秋九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合检测题（新版）北师大版.doc

第一章单元测试卷 ‎(时间：100分钟　　满分：120分)‎ 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)‎ ‎1. 下列性质中菱形不一定具有的性质是(C)‎ A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形 ‎2. 下列命题中，真命题是(D)‎ A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 ‎3. 菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为(C)‎ A．2 B. C．1 D. ‎4. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成(C)‎ A．22.5°角 B．30°角 C．45°角 D．60°角 ‎　　,第5题图)　　,第6题图)　　,第7题图)‎ ‎5. 如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是(C)‎ A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形 C．可能是轴对称图形 D．当AC＝BD时它是矩形 ‎6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是‎6 cm，‎8 cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是(B)‎ A. cm B. cm C. cm D．‎5 cm ‎7. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是(D)‎ A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形 C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形 ‎8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为(C)‎ A．3 B．‎3.5 C．2.5 D．2.8‎ 6‎ ‎,第8题图)　　　　,第9题图)　　　　,第10题图)‎ ‎9. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(D)‎ A. B. C．1－ D.－1‎ ‎10. 如图，点E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，点P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ＋PR的值为(D)‎ A. B. C. D. 二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)‎ ‎11. 已知菱形的周长是‎20 cm，一条对角线长为‎8 cm，则菱形的另一条对角线长为‎6cm.‎ ‎12. 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB＝BC(答案不唯一)，使其成为正方形．(只填一个即可)‎ ‎13. 如图，点E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝30°.‎ ‎,第13题图)　　　,第15题图)　　　,第16题图)‎ ‎14. 直角三角形斜边上的高与中线分别是‎5 cm和‎6 cm，则它的面积是‎30cm2.‎ ‎15. 如图，矩形ABCD的对角线BD的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，已知AB＝5，BC＝12，则四边形ABEO的周长为20.‎ ‎16. 如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B‎1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B‎2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B‎3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4…在射线OM上，依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝2n＋1.‎ 三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)‎ ‎17. 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的点，求证：AE＝CE.‎ 6‎ 证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE.在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴AE＝CE ‎18. 如图，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为‎40 cm，求菱形的高及面积．‎ 解：∵BD∶AC＝3∶4，∴设BD＝3x，AC＝4x，∴BO＝，AO＝2x，又∵AB2＝BO2＋AO2，∴AB＝x，∵菱形的周长是40 cm，∴AB＝40÷4＝10(cm)，即x＝10，∴x＝4，∴BD＝12 cm，AC＝16 cm，∴S菱形ABCD＝BD·AC＝×12×16＝96(cm2)，又∵S菱形ABCD＝AB·h，∴h＝＝9.6(cm)，菱形的高是9.6 cm，面积是96 cm2‎ ‎19. 如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，EF⊥CE，交AB于点F，若DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF，求AE的长．‎ 解：∵EF⊥EC，∴∠1＋∠3＝90°.∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.又∵EF＝EC，∴△EFA≌△CED(AAS)，∴AE＝CD.设AE＝x，则DC＝x.由矩形的周长为16得2x＋2＝8，∴x＝3，即AE的长为3‎ 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)‎ ‎20. 如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.‎ ‎(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；‎ ‎(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．‎ 6‎ 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形 ‎(2)AB＝AD(或AC⊥BD答案不唯一)．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形(或：∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形)‎ ‎21. 如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.‎ ‎(1)求证：△DCA≌△EAC；‎ ‎(2)只需添加一个条件，即AD＝BC(答案不唯一)，可使四边形ABCD为矩形，请加以证明．‎ 解：(1)在△DCA和△EAC中，∴△DCA≌△EAC(SSS)　(2)添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．理由：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由(1)知△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，∴四边形ABCD为矩形 ‎22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE.‎ ‎(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；‎ ‎(2)当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．‎ 解：(1)由题意知∠FDC＝∠DCA＝90°，∴EF∥CA，∴∠AEF＝∠EAC.∵AF＝CE＝AE，∴∠F＝∠AEF＝∠EAC＝∠ECA.又∵AE＝EA，∴△AEC≌△EAF，∴EF＝CA，∴四边形ACEF是平行四边形　(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．理由：∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝AB.∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE.∵AE＝CE，∴AE＝BE＝CE＝AB，∴AC＝CE，由(1)得四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形 五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)‎ ‎23. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.‎ 6‎ ‎(1)求证：BE＝BF；‎ ‎(2)若∠ABE＝20°，求∠BFE的度数；‎ ‎(3)若AB＝6，AD＝8，求AE的长．‎ 解：(1)由题意得∠BEF＝∠DEF.∵四边形ABCD为矩形，∴DE∥BF，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF　(2)∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABF＝90°；而∠ABE＝20°，∴∠EBF＝90°－20°＝70°；又∵∠BEF＝∠BFE，∴∠BFE的度数为55°　(3)由题意知BE＝DE；设AE＝x，则BE＝DE＝8－x，由勾股定理得(8－x)2＝62＋x2，解得x＝，即AE的长为 ‎24. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝‎60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以‎4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以‎2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.‎ ‎(1)求证：AE＝DF；‎ ‎(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；‎ ‎(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．‎ 解：(1)∵∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF　(2)能，理由：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即60－4t＝2t，解得t＝10，∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形　(3)①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝；③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝ s或12 s时，△DEF为直角三角形 ‎25. 已知正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF.‎ ‎(1)如图1，连接AC交BF于点G，求证：∠AGF＝∠AEB＋45°；‎ ‎(2)如图2，延长BF到点M，连接MC，若∠BMC＝45°，求证：AH＋BH＝BM；‎ ‎(3)如图3，在(2)的条件下，若点H为BM的三等分点，连接BD，DM，若HE＝1，‎ 6‎ 求△BDM的面积．‎ 解：‎ ‎(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∵AE⊥BF，∴∠AEB＋∠FBC＝90°，∵∠FBC＋∠BFC＝90°∴∠AEB＝∠BFC，∵∠AGF＝∠BFC＋∠ACF，∴∠AGF＝∠AEB＋45°　(2)过C作CK⊥BM于K，∴∠BKC＝∠AHB＝90°，∵∠BMC＝45°，∴CK＝MK，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABH＝∠BCK，∴△ABH≌△BCK(AAS)，∴BH＝CK＝MK，AH＝BK，∴BM＝BK＋MK＝AH＋BH　(3)由(2)得，BH＝CK＝MK，∵H为BM的三等分点，∴BH＝HK＝KM，过E作EN⊥CK于N，∴四边形HENK是矩形，∴HK＝EN＝BH，∠BHE＝∠ENC，∴△BHE≌△ENC(ASA)，∴HE＝CN＝NK＝1，∴CK＝BH＝2，∴BM＝6，连接CH，∵HK＝MK，CK⊥MH，∠BMC＝45°，∴CH＝CM，∠MCH＝90°，∴∠BCH＝∠DCM，∴△BHC≌△DMC(SAS)，∴BH＝DM＝2，∠BHC＝∠DMC＝135°，∴∠DMB＝90°，∴△BDM的面积为DM·BM＝6‎ 6‎