有理数及其运算
一、选择题
1．某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃，则该药品适合保存的范围是( D )
A．18℃～20℃
B．20℃～22℃
C．18℃～21℃
D．18℃～22℃
2．在－23，(－2)3，－(－2)，－|－2|中，负数的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，数轴上点A表示数a，则－a表示数( A )
A．2
B．1
C．－1
D．－2
4．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( B )
A．a－b＞0
B．a＋b＞0
C．ab＞0
D.＞0
5．有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在0到1之间的是( A )
A．|a|－1
B．|a|
C．－a
D．a＋1
6．下列说法中正确的有( A )
①3.14不是分数；
②－2是整数；
③数轴上与原点的距离是2个单位的点表示的数是2；
④两个有理数的和一定大于任何一个加数．
A．1个
B．2个
7
C．3个
D．4个
7．如图，乐乐将－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别标上其中的一个数，则a－b＋c的值为( C )
A．－1
B．0
C．1
D．3
8．下列各组数中，互为倒数的是( C )
A．－3 与3
B．－3 与
C．－3与－
D．－3 与＋(－3)
9．下列几种说法中，正确的是( C )
A．有理数的绝对值一定比0大
B．有理数的相反数一定比0小
C．互为倒数的两个数的积为1
D．两个互为相反的数(0除外)的商是0
10．若＋(y＋1)2＝0，则x2＋y3的值是( D )
A.
B.
C．－
D．－
11．用科学记数法表示数0.000 301正确的是( C )
A．3×10－4
B．30.1×10－8
C．3.01×10－4
D．3.01×10－5
二、填空题
7
12． 2018年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所，数据120 000 000用科学记数法表示为____．
13．若2a＋3与3互为相反数，则a＝__－3__．
14．一个有理数x满足：x＜0且|x|＜2，写出一个满足条件的有理数x的值：x＝__－1__．
15．若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a－c|－|b＋c|可化简为__－a－b__．
16．小明与小刚规定了一种新运算*：若a，b是有理数，则a*b＝3a－2b.小明计算出2*5＝3×2－2×5＝－4，请你帮小刚计算2*(－5)＝__16__．
三、解答题
17．计算：
(1)－×3＋6×；
(2)(－1)2÷×[6－(－2)3]．
解：(1)－×3＋6×
＝－1＋(－2)
＝－3.
(2)(－1)2÷×[6－(－2)3]
＝1×2×[6－(－8)]
＝1×2×14
＝28.
18．计算：
(1)－14＋|3－5|－16÷(－2)×；
(2)6×－32÷(－12)．
解：(1)原式＝－1＋2－16××
＝－1＋2＋4
＝5.
(2)原式＝6×－6×－9×
＝2－3＋
＝－.
19．计算：
(1)－20＋(－14)－(－18)－13；
7
(2)4－8×；
(3)÷；
(4)÷－×(－4)2.
解：(1)原式＝－20－14＋18－13
＝－47＋18
＝－29.
(2)原式＝4－8×
＝4＋1
＝5.
(3)原式＝×36
＝－×36－×36＋×36
＝－27－20＋21
＝－26.
(4)原式＝÷－×16
＝×－
＝－
＝－.
20．计算：
(1)－|－7＋1|＋3－2÷；
(2)÷×；
(3).
解：(1)原式＝－6＋3＋6＝3.
(2)原式＝－××＝1.
(3)原式＝＝＝2.2.
21．邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2 km到达A村，继续向东骑行3 km到达B 村，然后向西骑行9 km到C村，最后回到邮局．
(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，请你在数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置；
7
(2)C村离A村有多远？
(3)若摩托车每1 km耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？
解：(1)依题意，得数轴为
(2)依数轴，得点C与点A的距离为2＋4＝6 (km)．
(3)依题意，得邮递员骑了2＋3＋9＋4＝18 (km)，
共耗油量18×0.03＝0.54(升)．
答：这趟路共耗油0.54升．
22．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下(单位：千米)：
14，－9，＋8，－7，13，－6，＋12，－5.
(1)请你帮忙确定B地相对于A地的方位；
(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油．
解：(1)∵14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20，
∴B地在A地的东边20千米．
(2)∵路程记录中各点离出发点的距离分别为14千米，
14－9＝5(千米)，
14－9＋8＝13(千米)，
14－9＋8－7＝6(千米)，
14－9＋8－7＋13＝19(千米)，
14－9＋8－7＋13－6＝13(千米)，
14－9＋8－7＋13－6＋12＝25(千米)，
14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20(千米)．
∴最远处离出发点25千米．
(3)这一天走的总路程为14＋|－9|＋8＋|－7|＋13＋|－6|＋12＋|－5|＝74(千米)，
耗油74×0.5＝37(升)，37－28＝9(升)，
故还需补充的油量为9升．
23．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a.如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16.
(1)求(－2)☆3的值；
(2)若＝8，求a的值．
解：(1)(－2)☆3＝－2×32＋2×(－2)×3＋(－2)＝－32.
(2)☆3＝×32＋2××3＋＝8a＋8＝8，解得a＝0.
24．对于有理数a，b，定义运算：a⊕b＝ab－2a－2b＋1.
(1)计算5⊕4的值；
(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；
(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．
7
解：(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1
＝20－10－8＋1
＝2＋1
＝3.
(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3
＝(－12＋4－12＋1)⊕3
＝－19⊕3
＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1
＝－24.
(3)成立．
∵a⊕b＝ab－2a－2b＋1，b⊕a＝ab－2b－2a＋1，
∴a⊕b＝b⊕a，
∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．
25．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a＋b|＋|a－b|.
(1)计算2⊙(－4)的值；
(2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b.
解：(1)2⊙(－4)＝|2－4|＋|2＋4|＝2＋6＝8.
(2)由数轴知a＜0＜b，且|a|＞|b|，
则a＋b＜0、a－b＜0，
所以原式＝－(a＋b)－(a－b)
＝－a－b－a＋b
＝－2a.
26．我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．
定义：如果ab＝N(a＞0，a≠1，N＞0)，则b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b.
例如：因为53＝125，所以log5125＝3；因为112＝121，所以log11121＝2.
(1)填空：log66＝__1__，log381＝__4__；
(2)如果log2(M－2)＝3，求M的值；
(3)对于“对数”运算，小明同学认为有“logaMN＝logaM·logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．
【解析】(1)∵61＝6，34＝81，
∴log66＝1，log381＝4.
解：(2)∵log2(M－2)＝3，
∴M－2＝23，解得M＝10.
(3)不正确．理由：
设ax＝M，ay＝N，
则logaM＝x，logaN＝y(a＞0，a≠1，M，N均为正数)．
∵ax·ay＝ax＋y，
∴ax＋y＝M·N，
∴logaMN＝x＋y，
即logaMN＝logaM＋logaN.
7
27．同学们都知道|5－(－2)|表示5与(－2)之差的绝对值，也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
(1)求|5－(－2)|＝__7__；
(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7成立的整数是__－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2__；
(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．
【解析】 (1)原式＝|5＋2|＝7.
(2)令x＋5＝0或x－2＝0时，则x＝－5或x＝2.
当x＜－5时，－(x＋5)－(x－2)＝7，
解得x＝－5(不成立)．
当－5＜x＜2时，(x＋5)－(x－2)＝7，
化简得7＝7，
∴x＝－4，－3，－2，－1，0，1.
当x＞2时，(x＋5)＋(x－2)＝7，
解得x＝2(不成立)．
综上所述，符合条件的整数x有－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2.
解：(3)由(2)的探索猜想，对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|有最小值，为3.
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