人教版九年级上册第二十四章《圆》单元检测题（含答案解析）.docx

‎《 圆》单元检测题 一、单选题 ‎1．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）‎ A． ‎4π-16‎ B． ‎8π-16‎ C． ‎16π-32‎ D． ‎‎32π-16‎ ‎2．如图，AB是‎⊙O的直径，弦CD⊥AB，‎∠CDB=‎‎30‎‎∘‎，CD=2‎‎3‎，则阴影部分的面积为‎(‎　　‎‎)‎ A． ‎2π B． π C． π‎3‎ D． ‎‎2π‎3‎ ‎3．如图，AB是‎⊙O的直径，CD是‎⊙O的弦，连结AC、AD、BD，若‎∠CAB=‎‎35‎‎∘‎，则‎∠ADC的度数为‎(‎　　‎‎)‎ A． ‎35‎‎∘‎ B． ‎55‎‎∘‎ C． ‎65‎‎∘‎ D． ‎‎70‎‎∘‎ ‎4．已知圆锥的底面周长为‎6πcm，高为4cm，则它的侧面展开图的圆心角是‎(‎　　‎‎)‎ A． ‎108‎‎∘‎ B． ‎144‎‎∘‎ C． ‎216‎‎∘‎ D． ‎‎72‎‎∘‎ ‎5．如图，AB是‎⊙O的直径，C，D为‎⊙O上的两点，若AB=6‎，BC=3‎，则‎∠BDC的大小是‎(‎　　‎‎)‎ A． ‎60‎‎∘‎ B． ‎45‎‎∘‎ C． ‎30‎‎∘‎ D． ‎‎15‎‎∘‎ ‎6．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（　　）‎ A． ‎2‎ B． 2 C． 2‎2‎ D． 3‎ ‎7．如图，‎△ABC内接于‎⊙O，连接OA，OB，若‎∠C=‎‎35‎‎∘‎，则‎∠OBA的度数是‎(‎　　‎‎)‎ A． ‎60‎‎∘‎ B． ‎55‎‎∘‎ C． ‎50‎‎∘‎ D． ‎‎45‎‎∘‎ ‎8．如图，已知‎⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若‎∠BCD=‎‎120‎‎∘‎，AB=AD=2‎，则‎⊙O的半径长为‎(‎　　‎‎)‎ A． ‎3‎‎2‎‎2‎ B． ‎6‎‎2‎ C． ‎3‎‎2‎ D． ‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎9．如图，‎△ABC内接于‎⊙O，‎∠ABC=‎‎71‎‎∘‎，‎∠CAB=‎‎53‎‎∘‎，点D在AC弧上，则‎∠ADB的大小为‎(‎　　‎‎)‎ A． ‎46‎‎∘‎ B． ‎53‎‎∘‎ C． ‎56‎‎∘‎ D． ‎‎71‎‎∘‎ ‎10．如图，点D、E分别是‎⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若‎⊙O的半径为2，则DE的长等于‎(‎　　‎‎)‎ A． ‎3‎ B． ‎2‎ C． 1 D． ‎‎3‎‎2‎ ‎11．如图，‎⊙O的直径CD过弦EF的中点G，‎∠DCF=‎‎20‎‎∘‎，则‎∠EOD等于‎(‎　　‎‎)‎ A． ‎10‎‎∘‎ B． ‎20‎‎∘‎ C． ‎40‎‎∘‎ D． ‎‎80‎‎∘‎ ‎12．如图，‎⊙O是‎△ABC的内切圆，则点O是‎△ABC的‎(‎　　‎‎)‎ A． 三条边的垂直平分线的交点 B． 三条角平分线的交点 C． 三条中线的交点 D． 三条高的交点 二、填空题 ‎13．如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为_________. ‎ ‎14．如图，用一个半径为20cm，面积为‎150πcm‎2‎的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥‎(‎不计接头损耗‎)‎，则圆锥的底面半径r为______cm．‎ ‎15．如图，A、B、C是‎⊙O上的三个点，若‎∠AOC=‎‎110‎‎∘‎，则‎∠ABC=‎______．‎ ‎16．如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度.‎ ‎17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为_____．‎ 三、解答题 ‎18．如图，AB是‎⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作‎⊙O的切线交AB的延长线于F.‎切点为G，连接AG交CD于K．‎ ‎(1)‎求证：KE=GE；‎ ‎(2)‎若KG‎2‎=KD⋅GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；‎ ‎(3)‎在‎(2)‎的条件下，若sinE=‎‎3‎‎5‎，AK=2‎‎3‎，求FG的长．‎ ‎19．如图‎△ABC内接于‎⊙O，‎∠B=‎‎60‎‎∘‎，CD是‎⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．‎ ‎(1)‎求证：PA是‎⊙O的切线；‎ ‎(2)‎若PD=‎‎5‎，求‎⊙O的直径．‎ ‎20．如图，在‎△ABC中，AB=AC，以AB为直径作‎⊙O，‎⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E.‎过点D作DF⊥AC，垂足为F．‎ ‎(1)‎求证：DF为‎⊙O的切线；‎ ‎(2)‎若AB=4‎，‎∠C=‎‎30‎‎∘‎，求劣弧BE的长．‎ ‎21．如图，O是‎△ABC的内心，BO的延长线和‎△ABC的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．‎ ‎(1)‎求证：‎△BOC≌‎△CDA．‎ ‎(2)‎若AB=3‎，求阴影部分的面积．‎ ‎22．已知在‎△ABC中，AB=AC，以AB为直径的‎⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．‎ ‎(1)‎求证：ED=EC；‎ ‎(2)‎若CD=3‎，EC=2‎‎3‎，求AB的长．‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接OA、OB，利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2‎2‎，根据阴影部分的面积=S⊙O-S正方形ABCD列式计算可得．‎ ‎【详解】‎ 连接OA、OB，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠AOB=90°，∠OAB=45°，‎ ‎∴OA=ABcos45°=4×‎2‎‎2‎=2‎2‎，‎ 所以阴影部分的面积=S⊙O-S正方形ABCD=π×（2‎2‎）2-4×4=8π-16．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式．‎ ‎2．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要求阴影部分的面积，由图可知，阴影部分的面积等于扇形COB的面积，根据已知条件可以得到扇形COB的面积，本题得以解决．‎ ‎【详解】‎ ‎∵∠CDB=‎‎30‎‎∘‎‎，‎ ‎∴∠COB=‎‎60‎‎∘‎‎，‎ 又‎∵‎弦CD⊥AB，CD=2‎‎3‎，‎ ‎∴OC=‎1‎‎2‎CDsin‎60‎‎∘‎=‎3‎‎3‎‎2‎=2‎‎，‎ ‎∴S阴影=S扇形COB=‎60×π×‎‎2‎‎2‎‎360‎=‎‎2π‎3‎‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆周角定理、垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．‎ ‎3．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出‎∠CDB，由‎∠ADB=‎‎90‎‎∘‎，可得‎∠ADC．‎ ‎【详解】‎ ‎∵AB是‎⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=‎‎90‎‎∘‎‎，‎ 又‎∵∠CDB=∠CAB=‎35‎‎∘‎(‎圆周角定理‎)‎，‎ ‎∴∠ADC=‎90‎‎∘‎-‎35‎‎∘‎=‎‎55‎‎∘‎‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是掌握圆周角定理的内容．‎ ‎4．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出母线长，根据扇形弧长公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ 设它的侧面展开图的圆心角为n，‎ ‎∵‎圆锥的底面周长为‎6πcm，‎ ‎∴‎圆锥的底面半径‎=‎6π‎2π=3cm，‎ ‎∴‎圆锥的母线长‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=5‎，‎ 则nπ×5‎‎180‎‎=6π，‎ 解得，n=‎‎216‎‎∘‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．‎ ‎5．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接OC，可证得‎△BOC为等边三角形，则可求得‎∠BOC，再利用圆周角定理可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 如图，连接OC，‎ ‎∵BC=3‎‎，AB=6‎，且AB为直径，‎ ‎∴OC=OB=BC‎，‎ ‎∴△BOC为等边三角形，‎ ‎∴∠BOC=‎‎60‎‎∘‎‎，‎ ‎∴∠BDC=‎1‎‎2‎∠BOC=‎‎30‎‎∘‎‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆周角定理，求得‎∠BOC的大小是解题的关键．‎ ‎6．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵半径OC⊥弦AB于点D，‎ ‎∴AC‎=‎BC，‎ ‎∴∠E=‎1‎‎2‎∠BOC=22.5°，‎ ‎∴∠BOD=45°，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴△ODB是等腰直角三角形，‎ ‎∵AB=4，‎ ‎∴DB=OD=2，‎ 则半径OB等于：‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎‎=2‎‎2‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键．‎ ‎7．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆周角定理得出‎∠AOB=‎‎70‎‎∘‎，然后由OA=OB，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，可求得‎∠OBA的度数．‎ ‎【详解】‎ 解：‎∵∠C=‎‎35‎‎∘‎，‎ ‎∴∠AOB=‎‎70‎‎∘‎‎，‎ ‎∵OA=OB‎，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA=‎‎55‎‎∘‎‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质‎.‎此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎8．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出‎∠BAD的度数，再由AD=AB可得出‎△ABD是等边三角形，则DE=‎1‎‎2‎AD，‎∠ODE=‎1‎‎2‎∠ADB=‎‎30‎‎∘‎，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 连接BD，作OE⊥AD，连接OD，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，‎∠BCD=‎‎120‎‎∘‎，‎ ‎∴∠BAD=‎‎60‎‎∘‎‎．‎ ‎∵AD=AB=2‎‎，‎ ‎∴△ABD是等边三角形．‎ ‎∴DE=‎1‎‎2‎AD=1‎‎，‎∠ODE=‎1‎‎2‎∠ADB=‎‎30‎‎∘‎，‎ ‎∴OD=DEcos‎30‎‎∘‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．‎ ‎9．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形内角和定理求出‎∠ACB，根据圆周角定理得出‎∠C，求出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵∠ABC=‎‎71‎‎∘‎‎，‎∠CAB=‎‎53‎‎∘‎，‎ ‎∴∠ACB=‎180‎‎∘‎-∠ABC-∠BAC=‎‎56‎‎∘‎‎，‎ ‎∵‎弧AB对的圆周角是‎∠ADB和‎∠ACB，‎ ‎∴∠ADB=∠ACB=‎‎56‎‎∘‎‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆周角定理和三角形内角和定理的应用，关键是求出‎∠ACB的度数和得出‎∠ACB=∠ADB．‎ ‎10．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，则BF为⊙O的直径，证∠BCF=90°，∠F=∠A=60°，求出BF=4，BC=，根据三角形中位线性质得：DE=BC=．‎ ‎【详解】‎ 连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，则BF为⊙O的直径，‎ ‎∴∠BCF=90°，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠A=60°，‎ ‎∴∠F=∠A=60°，‎ ‎∵⊙O的半径为2，‎ ‎∴BF=4，‎ ‎∴BC=，‎ ‎∵点D、E分别是AB、AC边上的中点，‎ ‎∴DE=BC=．‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考核知识点：1．三角形的外接圆与外心；2．等边三角形的性质;3．三角形中位线定理．解题关键点：理解相关知识点.‎ ‎11．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据垂径定理得出弧DF=‎弧DE，求出弧DE的度数，即可求出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：‎∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，‎∠DCF=‎‎20‎‎∘‎，‎ ‎∴‎弧DF=‎弧DE，且弧的度数是‎40‎‎∘‎，‎ ‎∴∠DOE=‎‎40‎‎∘‎‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．‎ ‎12．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵⊙O是‎△ABC的内切圆，‎ 则点O到三边的距离相等，‎ ‎∴‎点O是‎△ABC的三条角平分线的交点；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形的内切圆与内心，熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质是关键．‎ ‎13．‎‎15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可以推得CO⊥BD，再根据AB为直径，继而可得AD//CO，结合AE=AO=2，则可得AD=1，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求得BD的长.‎ ‎【详解】‎ 作图如下：‎ ‎∵BC=CD，BO=DO，‎ ‎∴∠1=∠2，∠3=∠DBO，‎ ‎∴∠1+∠3=∠2+∠DBO，∴∠CDO=∠CBO，‎ ‎∵OC=OB=OD，‎ ‎∴∠BCO=∠DCO，‎ ‎∴CO为等腰△BCD的角平分线，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴CO⊥BD，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠3+∠5=∠3+∠4=90°，‎ ‎∴∠4=∠5，‎ ‎∴AD//CO，‎ ‎∵AE=AO=2，∴AD=‎1‎‎2‎CO=1，‎ 在Rt△ABD中，BD=AB‎2‎-AD‎2‎‎=‎4‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎=‎‎15‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理等，综合性较强，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键.‎ ‎14．‎‎7.5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，结合已知条件以及扇形面积公式即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，‎ 则由题意得R=20‎，由‎1‎‎2‎Rl=150π得l=15π，‎ 由‎2πr=15π得r=7.5cm，‎ 故答案是：‎7.5cm．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥底面圆周长、圆锥侧面展开图扇形的弧长以及扇形的面积公式是解题的关键.‎ ‎15．‎‎125‎‎∘‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由由圆周角定理，可求得∠ADC的度数，再根据圆的内接四边形对角互补，即可求得∠ABC的度数．‎ ‎【详解】‎ 如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，‎ ‎∵∠AOC=‎‎110‎‎∘‎‎，‎ ‎∴∠ADC=‎1‎‎2‎∠AOC=‎‎55‎‎∘‎‎，‎ ‎∴∠ABC=‎180‎‎∘‎-∠ADC=‎‎125‎‎∘‎‎，‎ 故答案为：‎125‎‎∘‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键.本题还要注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎16．45‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线的性质得∠ABC=90°，然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形，从而得到∠C的度数．‎ ‎【详解】‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∵BC为切线，‎ ‎∴AB⊥BC，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∵AD=CD，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠C=45°．‎ 故答案为45．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．‎ ‎17．‎12‎‎5‎．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用勾股定理求出AB=10，进而求出CD=BD=5，再求出CF=4，进而求出DF=3，再判断出FG⊥BD，利用面积即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，‎ ‎∴点D是AB中点，‎ ‎∴CD=BD=‎1‎‎2‎AB=5，‎ 连接DF，‎ ‎∵CD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠CFD=90°，‎ ‎∴BF=CF=‎1‎‎2‎BC=4，‎ ‎∴DF=CD‎2‎-CF‎2‎=3，‎ 连接OF，‎ ‎∵OC=OD，CF=BF，‎ ‎∴OF∥AB，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴∠OFC=∠B，‎ ‎∵FG是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OFG=90°，‎ ‎∴∠OFC+∠BFG=90°，‎ ‎∴∠BFG+∠B=90°，‎ ‎∴FG⊥AB，‎ ‎∴S△BDF=‎1‎‎2‎DF×BF=‎1‎‎2‎BD×FG，‎ ‎∴FG=DF×BFBD‎=‎3×4‎‎5‎=‎‎12‎‎5‎，‎ 故答案为‎12‎‎5‎.‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．‎ ‎18．‎(1)‎证明见解析；‎(2)AC//EF，理由见解析；‎(3)FG=‎‎5‎‎30‎‎8‎．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)‎如图1，连接OG.‎根据切线性质及CD⊥AB，可以推出‎∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；‎ ‎(2)AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由‎∠KGE=∠GKE，及KG‎2‎=KD⋅GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出‎△GKD与‎△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到‎∠C=∠AGD，可推知‎∠E=∠C，从而得到AC//EF；‎ ‎(3)‎如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎如答图1，连接OG．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵EG为切线，‎ ‎∴∠KGE+∠OGA=‎‎90‎‎∘‎‎，‎ ‎∵CD⊥AB‎，‎ ‎∴∠AKH+∠OAG=‎‎90‎‎∘‎‎，‎ 又‎∵OA=OG，‎ ‎∴∠OGA=∠OAG‎，‎ ‎∴∠KGE=∠AKH=∠GKE‎，‎ ‎∴KE=GE‎．‎ ‎(2)AC//EF‎，理由为：连接GD，如图2所示．‎ ‎∵KG‎2‎=KD⋅GE‎，即KGKD‎=‎GEKG，‎ ‎∴KGGE=‎KDKG‎，‎ 又‎∵∠KGE=∠GKE，‎ ‎∴△GKD‎∽‎△EGK，‎ ‎∴∠E=∠AGD‎，‎ 又‎∵∠C=∠AGD，‎ ‎∴∠E=∠C‎，‎ ‎∴AC//EF‎；‎ ‎(3)‎连接OG，OC，如图3所示，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵sinE=sin∠ACH=‎‎3‎‎5‎‎，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，‎ ‎∵KE=GE‎，AC//EF，‎ ‎∴CK=AC=5t‎，‎ ‎∴HK=CK-CH=t‎．‎ 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH‎2‎+HK‎2‎=AK‎2‎，‎ 即‎(3t‎)‎‎2‎+t‎2‎=(2‎‎3‎‎)‎‎2‎，解得t=‎‎30‎‎5‎．‎ 设‎⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，‎ 由勾股定理得：OH‎2‎+CH‎2‎=OC‎2‎，‎ 即‎(r-3t‎)‎‎2‎+(4t‎)‎‎2‎=‎r‎2‎，解得r=‎‎5‎‎30‎‎6‎ ‎∵EF为切线，‎ ‎∴△OGF为直角三角形，‎ 在Rt△OGF中，OG=r，tan∠OFG=tan∠CAH=CHAH=‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∴FG=OGtan∠OFG=‎5‎‎30‎‎6‎‎4‎‎3‎=‎‎5‎‎30‎‎8‎‎．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．‎ ‎19．（1）详见解析；（2）‎⊙O的直径为‎2‎‎5‎．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)‎连接OA，根据圆周角定理求出‎∠AOC，再根据同圆的半径相等从而可得‎∠ACO=∠OAC=‎‎30‎‎∘‎，继而根据等腰三角形的性质可得出‎∠P=‎‎30‎‎∘‎，继而由‎∠OAP=∠AOC-∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)‎利用含‎30‎‎∘‎的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP-PD=OD，再由PD=‎‎5‎，可得出‎⊙O的直径．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎连接OA，如图，‎ ‎∵∠B=‎‎60‎‎∘‎‎，‎ ‎∴∠AOC=2∠B=‎‎120‎‎∘‎‎，‎ 又‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠OCA=‎‎30‎‎∘‎‎，‎ 又‎∵AP=AC，‎ ‎∴∠P=∠ACP=‎‎30‎‎∘‎‎，‎ ‎∴∠OAP=∠AOC-∠P=‎‎90‎‎∘‎‎，‎ ‎∴OA⊥PA‎，‎ ‎∴PA是‎⊙O的切线．‎ ‎(2)‎在Rt△OAP中，‎∵∠P=‎‎30‎‎∘‎，‎ ‎∴PO=2OA=OD+PD‎，‎ 又‎∵OA=OD，‎ ‎∴PD=OA‎，‎ ‎∵PD=‎‎5‎‎，‎ ‎∴2OA=2PD=2‎‎5‎‎．‎ ‎∴⊙O的直径为‎2‎‎5‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.‎ ‎20．（1）见解析；（2）‎4π‎3‎．‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【分析】‎ ‎(1)‎证明OD//AC，可得OD⊥DF，可得结论；‎ ‎(2)‎根据外角的性质可得：‎∠EAB=∠B+∠C=‎‎60‎‎∘‎，可得圆心角‎∠EOB=2∠EAB=‎‎120‎‎∘‎，根据弧长公式可得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎连接OD，‎ ‎∵AB=AC‎，‎ ‎∴∠B=∠C‎，‎ ‎∵OB=OD‎，‎ ‎∴∠B=∠ODB‎，‎ ‎∴∠C=∠ODB‎，‎ ‎∴OD//AC‎，‎ ‎∵DF⊥AC‎，‎ ‎∴DF⊥OD‎，‎ ‎∴DF是‎⊙O的切线；‎ ‎(2)‎连接OE，‎ ‎∵∠B=∠C=‎‎30‎‎∘‎‎，‎ ‎∴∠EAB=∠B+∠C=‎‎60‎‎∘‎‎，‎ ‎∴∠EOB=2∠EAB=‎‎120‎‎∘‎‎，‎ ‎∴‎BE的长‎=‎120π×2‎‎180‎=‎‎4π‎3‎．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、弧长公式的计算等知识点，属于基础题，难度中等．‎ ‎21．（1）证明见解析（2）‎‎4π-3‎‎3‎‎9‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)‎由点O为三角形的内心，得到BO与CO都为角平分线，再由四边形AOCD为平行四边形，得到对边平行且相等，进而利用AAS得到三角形全等；‎ ‎(2)‎由‎(1)‎三角形全等得到对应边相等，对应角相等，确定出三角形ABC为等边三角形，可得出内心与外心重合，即OA=OB=OC，阴影部分面积等于扇形AOB面积减去三角形AOB面积，求出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵O是‎△ABC的内心，‎ ‎∴∠2=∠3‎‎，‎∠5=∠6‎，‎ ‎∵∠1=∠2‎‎，‎ ‎∴∠1=∠3‎‎，‎ 由AD//CO，AD=CO，‎ ‎∴∠4=∠6‎‎，‎ 在‎△BOC和‎△CDA中，‎ ‎∠1=∠3‎‎∠4=∠6‎AD=CO‎，‎ ‎∴△BOC‎≌‎△CDA(AAS)‎；‎ ‎(2)‎由‎(1)‎得，BC=AC，‎∠3=∠4=∠6‎，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB‎，‎ ‎∴AB=AC‎，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴O是‎△ABC的内心也是外心，‎ ‎∴OA=OB=OC‎，‎ 设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在Rt△OCE中，CE=‎1‎‎2‎AC=‎1‎‎2‎AB=1‎，‎∠OCE=‎‎30‎‎∘‎，‎ ‎∴OA=OB=OC=‎‎2‎‎3‎‎3‎‎，‎ ‎∵∠AOC=‎‎120‎‎∘‎‎，‎ ‎∴S阴影=S扇形AOB-S‎△AOB=‎120π×(‎‎2‎‎3‎‎3‎‎)‎‎2‎‎360‎-‎1‎‎2‎×2×‎3‎‎3‎=‎‎4π-3‎‎3‎‎9‎‎．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了三角形内心与外心，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，扇形面积的计算，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．‎ ‎22．（1）证明见解析；（2）AB=8‎．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由圆内接四边形的性质可得‎∠B=∠EDC，由等腰三角形的性质可得‎∠B=∠C，则‎∠EDC=∠C，再由等腰三角形的判定即可得证；‎ ‎（2）如图连接AE，由AB为直径可得AE⊥BC，则BC=2EC，因为‎∠B=∠EDC，‎∠C=∠C，可得‎△ABC∽‎△EDC，再根据相似三角形对应边成比例即可求得AB的长.‎ ‎【详解】‎ 解：‎(1)∵∠EDC+∠EDA=‎‎180‎‎∘‎，‎∠B+∠EDA=‎‎180‎‎∘‎，‎ ‎∴∠B=∠EDC‎，‎ 又‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C‎，‎ ‎∴∠EDC=∠C‎，‎ ‎∴ED=EC‎；‎ ‎(2)‎如图连接AE，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴AE⊥BC‎，‎ 又‎∵AB=AC，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴BC=2EC=4‎‎3‎‎，‎ ‎∵∠B=∠EDC‎，‎∠C=∠C，‎ ‎∴△ABC‎∽‎△EDC，‎ ‎∴AB‎：EC=BC：CD，即AB：‎2‎‎3‎=‎4‎‎3‎：3，‎ 解得：AB=8‎．‎ ‎ ‎