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第十三章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是( B )
2．在平面直角坐标系中，点 A，点 B 关于 x 轴对称，点 A 的坐标是(8，－2)，则点 B
的坐标是( D )
A．(－2，－8) B．(2，8) C．(－2，8) D．(8，2)
3．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知 AB∥CD，AE 与 AB 的夹角为 48°，若 CF
与 EF 的长度相等，则∠C 的度数为( D )
A．48° B．40° C．30° D．24°
,(第 3 题图)) ,(第 4 题图))
,(第 5 题图))
4．如图，在△ABC 中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于
1
2AC
的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠BAD 的度数
为( A )
A．65° B．60° C．55° D．45°
5．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70°方向的 M 处，它以每小时 40 海里的速度
向正北方向航行，2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 40°的 N 处，则 N 处与灯塔 P 的距离为
( D )
A．40 海里 B．60 海里 C．70 海里 D．80 海里
6．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点 D，交 AC 于点 E，∠A＝
∠ABE，AC＝5，BC＝3，则 BD 的长 为( A )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
,(第 6 题图)) ,(第 7 题图)) 2
,(第 8 题图)) ,(第 9 题图))
7．如图 ，在△ABC 中，∠A＝90°，点 A 关于 BD 的对称点为点 E，点 B 关于 DE 的对称
点为点 C，∠CBD＝30°，AC＝9，则 AD 的长为( C )
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于点 E，Q 为 BC 延长线
上一点，当 PA＝CQ 时，连 PQ 交 AC 边于点 D，则 DE 的长为( B )
A.
1
3 B.
1
2 C.
2
3 D．不能确定
9．如图，已知∠ABC＝120°，BD 平分∠ABC，∠DAC＝60°，若 AB＝2，BC＝3，则 BD
的长是( A )
A．5 B．7 C．8 D．9
10．如图，等边△ABC 中，BF 是 AC 边上中线，点 D 在 BF 上，连接 AD，在 AD 的右侧作
等边△ADE，连接 EF，当△AEF 周长最小时，∠CFE 的大小是( D )
A．30° B．45° C．60° D．90°
点拨：如图，连接 CE，易证△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，∴点 E 在
射线 CE 上运动(∠ACE＝30°)，作点 A 关于直线 CE 的对称点 M，连接 FM 交 CE 于 点 E′，
此时 AE′＋FE′的值最小，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM 是等边三角形，∵AF＝CF，∴
FM⊥AC，∴∠CFE′＝90°.
,(第 10 题图)) ,(第 12 题图))
,(第 13 题图)) ,(第 15 题图))
二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
11．线段是轴对称图形它的对称轴是线段的垂直平分线．(写一个即可)
12．如图，P 是∠AOB 的平分线上一点，PD⊥OB，垂足为点 D，PC∥OB 交 OA 于点 C，若∠3
AOB＝60°，PD＝2 cm，则△COP 是等腰三角形，OP＝4cm.
13．如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，线段 AC 的垂直平分线 DE 交 AC 于
点 D，交 BC 于点 E，连接 AE，则△ABE 的周长为 7．
14．已知点 P1 关于 x 轴的对称点 P2(3－2a，2a－5)是第三象限内的整点(横、纵坐标都
为整数的点，称为整点)，则点 P1 的坐标是(－1，1)．
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 C(0，1)且与 x 轴平行，△ABC 关于
直线 l 对称，已知点 A 的坐标是(4，4) ，则点 B 的坐标是(4，－2)．
16．如图，在△ABC 中，AB＝BC，AB＝12 cm，F 是 AB 边上一点，过点 F 作 FE∥BC 交 AC
于点 E，过点 E 作 ED∥AB 交 BC 于点 D，则四边形 BDEF 的周长是 24cm.
,(第 16 题图)) ,(第 17 题图))
,(第 18 题图))
17．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，且 DE∥BC，∠
A＝36°，则图中等腰三角形共有 12 个．
18．如图，∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，且 AB＋AC＝BE，则∠B＝48°．
点拨：延长 BA 到点 F，使 AF＝AC，连接 EF(图略)，∵A B＋AC＝BE，∴BF＝BE，∴∠F＝
∠BEF＝
180°－∠B
2 .∵∠FAE＝180°－∠BAD－∠DAE＝81°，∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝81
°，∴∠FAE＝∠CAE，易证△AFE≌△ACE，∴∠F＝∠ACE，又∠ACE＝∠B＋∠BAC＝∠B＋18
°，∴∠F＝∠B＋18°，∴∠B＋18°＝
180°－∠B
2 ，解得∠B＝48°.
三、解答题(共 66 分)
19．(8 分)如图，△ABC 是等边三角形，AD 是高，并且 AB 恰好是 DE 的垂直平分线．
求证：△ADE 是等边三角形．
证明：∵点 A 在 DE 的垂直平分线上，∴AE＝AD，∴△ADE 是等腰三角形，∵AB⊥DE，∴∠
ADE＝90°－∠BAD，∵AD⊥BD，∴∠B＝90°－∠BAD，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝60
°，∴∠ADE＝∠B＝60°，∴△ADE 是等边三角形．
20．(9 分)平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0，4)，B(2，4)，C(3，－
1)．
(1)试在平面直角坐标系中，标出 A，B，C 三点；4
(2)求△ABC 的面积；
(3)若△A1B1C1 与△ABC 关于 x 轴对称，写出 A1，B1，C1 的坐标．
解：
(1)如图所示．(2) 由图形可得：AB＝2，AB 边上的高＝|－1|＋|4|＝5，∴△ABC 的面
积＝
1
2AB×5＝5.(3)∵A(0，4)，B(2，4)，C(3，－1)，△A1B1C1 与△ABC 关于 x 轴对称，∴
A1(0，－4)，B1(2，－4)，C1(3，1)．
21．(10 分)如图，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线 l1 交 BC 于点 D，AC 边的垂直平分线
l2 交 BC 于点 E，l1 与 l2 相交于点 O，连接 OB，OC，若△ADE 的周长为 6cm，△OBC 的周长为
16 cm.
(1)求线段 BC 的长；
(2)连接 OA，求线段 OA 的长；
(3)若∠BAC＝120°，求∠DAE 的度数．
解：(1)∵l1 是 AB 边的垂直平分线，∴DA＝DB，∵l2 是 AC 边的垂直平分线， ∴EA＝
EC，∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝6 cm.(2)连接 OA，图略．∵l1 是 AB 边的垂直平分线，
∴OA＝OB，∵l2 是 AC 边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB＋OC＋BC＝16 cm，BC＝6 cm，∴OA
＝OB＝OC＝5 cm.(3)∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＋∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD
＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD－∠EAC＝60°.5
22．(12 分)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，BE 平分∠ABC，AM⊥BC 于点 M，交 BE 于
点 G，AD 平分∠MAC，交 BC 于点 D，交 BE 于点 F.
(1)判断直线 BE 与线段 AD 之间的关系，并说明理由．
(2)若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请
说明理由．
解：(1)BE 垂直平分 AD，理由：∵AM⊥BC，∴∠ABC＋∠5＝90° ，∵∠BAC＝90°，∴∠
ABC＋∠C＝90°，∴∠5＝∠C.∵AD 平分∠MAC，∴∠3＝∠4，∵∠BAD＝∠5＋∠3，∠ADB＝
∠C＋∠4，∠5＝∠C，∴∠BAD＝∠ADB，∴△BAD 是等腰三角形，又∵∠1＝∠2，∴BE 垂
直平分 AD.(2)△ABD 是等 边三角形．证明：由(1)知，△ABD 是等腰三角形，∵∠5＝∠C＝30
°，AM⊥BC，∴∠ABD＝60°，∴△ABD 是等边三角形．
23．(12 分)如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(1，0)，以线段 OA 为边在第四
象限内作等边△AOB，点 C 为 x 正半轴上一动点(OC＞1)，连接 BC，以线段 BC 为边在第四象
限内作等边△CBD，连接 DA 并延长，交 y 轴于点 E.
(1)△OBC 与△ABD 全等吗？判断并证明你的结论；
(2)当点 C 运动到什么位置时，以 A，E，C 为顶点的三角形是等腰三角形？
解：(1)△OBC≌△ABD.证明：∵△AOB，△CBD 都是等边三角形，∴OB＝AB，CB＝DB，∠
ABO ＝∠DBC ， ∴ ∠OBC ＝∠ABD， 在△OBC 和△ABD 中 ，{OB＝AB，
∠OBC＝∠ABD，
CB＝DB，
∴ △OBC≌ △
ABD(SAS)．(2)∵△OBC≌△ABD，∴∠BOC＝∠BAD＝60°，又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180
°－60°－60°＝60°，∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，∴以 A，E，C 为顶点的三角形是
等腰三角形时，AE 和 AC 是腰，∵在 Rt△AOE 中，OA＝1，∠OEA＝30°，∴AE＝2，∴AC＝AE
＝2，∴OC＝1＋2＝3，∴当点 C 的坐标为(3，0)时，以 A，E，C 为顶点的三角形是等腰三角
形．6
24．(15 分)已知 M 是等边△ABC 边 BC 上的点．
(1)如图 1，过点 M 作 MN∥AC，且交 AB 于点 N，求证：BM＝BN.
(2)如图 2，连接 AM，过点 M 作∠AMH＝60°，MH 与∠ACB 的邻补角的平分线交于点 H，
过点 H 作 HD⊥BC 于点 D.
①求证：MA＝MH；②猜想写出 CB，CM，CD 之间的数量关系式，并加以证明．
(3)如图 3，(2)中其他条件不变，若点 M 在 BC 延长线上时，(2)中两个结论还成立吗？
若不成立请直接写出新的数量关系式(不必证明)．
解：(1)证明： ∵MN∥AC，∴∠BMN＝∠C＝60°，∠ BNM＝∠A＝60°，∴∠ BMN＝
∠BNM，∴BM＝BN.
(2)①证明：如图 2，过点 M 作 MN∥AC 交 AB 于点 N，由(1)知 BM＝BN，∠BNM＝60°，∴∠
ANM＝120°.∵AB＝BC，∴AN＝MC，∵CH 是∠ACB 邻补角的平分线，∴∠ACH＝60°.∴∠MCH
＝∠AC B＋∠ACH＝120°，又∵∠NMC＝120°，∠AMH＝60°，∴∠HMC＋∠AMN＝60°.又
∵∠NAM＋∠AMN＝∠BNM＝60°，∴∠HMC＝∠MAN，在△ANM 和△MCH 中，{∠ANM＝∠MCH，
AN＝MC，
∠MAN＝∠HMC，
∴△AMN≌△MHC(ASA)，∴MA＝MH.②CB＝CM＋2CD.证明：如图 2，过点 M 作 MG⊥AB 于点 G，
由(1)知△AMN≌△MHC，∴MN＝HC，∵MN＝MB，∴HC＝BM，∵△BMN 为等边三角形，∴BM＝
2BG，在△BMG 和△CHD 中，{∠B＝∠HCD，
∠MGB＝∠HDC，
HC＝MB，
∴△BMG≌△CHD(AAS)，∴CD＝BG，∴BM＝
2CD，∴BC＝MC＋2CD.(3)可知(2)中结论①成立，②不成立．过点 M 作 MN∥AB 交 AC 延长线
于点 N，如图 3，易证得△CNM 是等边三角形，∴CM＝MN，进而证得△AMN≌△HMC，∴MA＝
MH，AN＝CH，∴结论①成立．∵∠HDC＝90°，∠HCD＝60°，∴∠CHD＝30°，∴CH＝2CD，∵
AC＝BC，CN＝CM，∴AN＝AC＋CN＝BC＋CN＝CB＋CM，∵AN＝CH，∴2CD＝CB＋CM，即 CB＝2CD
－CM.
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