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第 22 章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分)
1．若(n－2)xn2－2＋x－1＝0 是一元二次方程，则 n 的值为( C )
A．2 或－2 B．2 C．－2 D．0
2．(2017·河池)若关于 x 的方程 x2＋2x－a＝0 有两个相等实数根，则 a 的值为( A )
A．－1 B．1 C．－4 D．4
3．一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0 的根，则
这个三角形的周长是( C )
A．11 B．11 或 13 C．13 D．以上选项都不正确
4．关于 x 的一元二次方程(a－1)x 2＋x＋|a|－1＝0 的一个根是 0，则实数 a 的值为
( A )
A．－1 B．0 C．1 D．－1 或 1
5．(2017·遂宁)关于 x 的一元二方程(a－1)x2＋2x＋1＝0 有两个实数根，则 a 的取值
范围为( C )
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2 且 a≠1 D．a＜2 且 a≠1
6．(2017·济南)关于 x 的方程 x2＋5x＋m＝0 的一个根为－2，则另一个根是( B )
A．－6 B．－3 C．3 D．6
7．已知 α，β是关于 x 的一元二次方程 x2＋(2m＋3)x＋m2＝0 的两个不相等的实数根，
且满足
1
α＋
1
β＝－1，则 m 的值是( A )
A．3 B．1 C．3 或－1 D．－3 或 1
8．(2017·衡阳)中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线
某地区居民 2015 年年收入 200 美元，预计 2017 年年收入将达到 1000 美元，设 2015 年到
2017 年该地区居民年人均收入平均增长率为 x，可列方程为( B )
A．200(1＋2x)＝1000 B．200(1＋x)2＝1000 C．200(1＋x2)＝1000 D．200＋2x＝1000
9．某商店购进一种商品，单价为 30 元．试销中发现这种商品每天的销售量 P(件)与每
件的销售价 x(元)满足关系：P＝100－2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得 200 元
的利润，根据题意，下面所列方程正确的是( A )
A．(x－30)(100－2x)＝200 B．x(100－2x)＝200
C．(30－x)(100－2x)＝200 D．(x－30)(2x－100)＝200
10．(2017·温州)我们知道方程 x2＋2x－3＝0 的解是 x1＝1，x2＝－3，现给出另一个
方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是( D )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3
二、细心填一填(每小题 3 分，共 24 分)
11．把方程(2x－1)(3x＋2)＝x 2－5 化为一元二次方程的一般形式是__5x2＋x＋3＝
0__．
12．已知 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2＋mx＋n＝0 的一个根，则 m2＋2mn＋n2 的值
为__1__．
13．设 m，n 是一元二次方程 x2＋3x－7＝0 的两个根，则 m2＋4m＋n＝__4__．
14．代数式 x2＋4x＋7 的最小值为__3__．
15．如果把一元二次方程 x2－3x－1＝0 的两根各加上 1 作为一个新一元二次方程的两
根，那么这个新一元二次方程是__x2－5x＋3＝0__．2
16．一块矩形菜地的面积是 120 m2，如果它的长减少 2 m，那么菜地就变成正方形，则
原菜地的长是__12__m.
17．已知如图所示的图形的面积为 24.根据图中的条件，求得 x 的值为__4__．
18．等腰三角形 ABC 中，BC＝8，AB，AC 的长是关于 x 的方程 x2－10x＋m＝0 的两根，
则 m 的值是__16 或 25__．
三、用心做一做(共 66 分)
19．(16 分)解下列方程：
(1)x2－3x＋2＝0; (2)(x－2)2＝(2x＋5)2；
解：(1)x1＝1，x2＝2 解：(2)x1＝－1，x2＝－7
(3)(原创题)x2－6x－2016＝0; (4)(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0.
解：(3)x1＝48，x2＝－42 解：(4)x1＝3，x2＝－2
20．(7 分)已知关于 x 的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0.
(1)m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程的解；
(2)m 取何值时，它是一元一次方程？
解：(1)由{m2＋1＝2，
m＋1 ≠ 0，解得 m＝1，∴方程为 2x2－x－1＝0，∴x1＝－
1
2，x2＝1 (2)
当{m－2 ≠ 0，
m＋1＝0 时，解得 m＝－1；当{m2＋1＝1，
m＋1＋m－2 ≠ 0时，解得 m＝0，即当 m＝－1 或 0
时，是一元一次方程
21．(原创题)(7 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD 为 BC 边
上的高，动点 P 从点 A 出发，沿 A→D 方向以 2 cm/s 的速度向点 D 运动，过 P 点作矩形
PDFE(E 点在 AC 上)，设△ABP 的面积为 S1，矩形 PDFE 的面积为 S2，运动时间为 t 秒(0＜t＜
8)．
(1)经过几秒钟后，S1＝S2?
(2)经过几秒钟后，S1＋S2 最大？并求出这个最大值．3
解：S1＝
1
2×8 2× 2t＝8t，S2＝ 2t(8 2－ 2t)＝－2t2＋16t，(1)由 8t＝－2t2＋
16t，解得 t1＝4，t2＝0(舍去)，∴当 t＝4 秒时，S1＝S2 (2)∵S1＋S2＝8t＋(－2t2＋16t)＝
－2(t－6)2＋72，∴当 t＝6 时，S1＋S2 最大，最大为 72
22．(8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.
(1)求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若 x1，x2 是原方程的两根，且|x1－x2|＝2 2，求 m 的值，并求出此时方程的根．
解：(1)∵Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4，无论 m 取何值，(m＋1)2≥0，∴Δ＝(m
＋1)2＋4＞0，即无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根
(2)∵x1＋x2＝－(m＋3)，x1x2＝m＋1，由|x1－x2|2＝(m＋3)2－4(m＋1)＝m2＋2m＋5＝
8，解得 m1＝－3，m2＝1，当 m＝－3 时，方程为 x2－2＝0，解得 x1＝ 2，x2＝－ 2，当 m
＝1 时，方程为 x2＋4x＋2＝0，解得 x1＝－2＋ 2，x2＝－2－ 2
23．(9 分)中秋节前夕，某超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与
销售量之间有如下表的关系：
每千克售价(元) 38 37 36 35 … 20
每天销售量(千克) 50 52 54 56 … 86
设当售价从 38 元/千克下调到 x 元/千克时，销售量为 y 千克．
(1)根据上述表格中提供的数据，通过在直角坐标系中描点连线等方法，猜测并求出 y
与 x 之间的函数解析式；
(2)如果这种土特产的成本价是 20 元/千克，为使某一天的利润为 780 元，那么这一天
每千克的售价应为多少元？(利润＝销售总金额－成本)
解：(1)在直角坐标系中描点连线略．猜测 y 与 x 是一次函数关系．设 y 与 x 之间的函
数解析式是 y＝kx＋b(k≠0)．根据题意，得{20k＋b＝86，
35k＋b＝56，解得{k＝－2，
b＝126. ∴y＝－2x＋126，
∴所求的函数解析式是 y＝－2x＋126 (2)设这一天每千克的售价为 a 元．根据题意，得(a
－20)(－2a＋126)＝780，解得 a1＝33，a2＝50.答：这一天每千克的售价应为 33 元或 50 元
24．(9 分)(2017·重庆)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气
候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共 400 千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的 7
倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃
的市场销售量为 100 千克，销售均价为 30 元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了 m%，
销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为 200 千克，销售均价为 20 元/千克，
今年枇杷的市场销售量比去年增加了 2m%，但销售均价比去年减少了 m%，该果农今年运往市4
场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求 m
的值．
解：(1)设该果农今年收获樱桃 x 千克，根据题意得：400－x≤7x，解得：x≥50，答：
该果农今年收获樱桃至少 50 千克 (2)由题意可得：100(1－m%)×30＋200(1＋2m%)×20(1
－m%)＝100×30＋200×20，令 m%＝y，原方程可化为：3000(1－y)＋4000(1＋2y)(1－y)＝
7000，整理可得：8y2－y＝0，解得：y1＝0，y2＝0.125，∴m1＝0(舍去)，m2＝12.5，答：m
的值为 12.5
25．(10 分)某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤，第一个月以单价 80 元销售，
售出了 200 件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出 200 件，批发商为增加销售量，决定
降价销售，根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 10 件，但最低单价应高于购进的价
格；第二个月结束后，批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40 元，设第
二个月单价降低 x 元．
(1)填表(不需化简)：
时 间 第一个月 第二个月 清仓时
单 价(元) 80 80－x 40
销售量(件) 200 200＋10x 800－200－(200＋10x)
(2)如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元，那么第二个月的单价应是多少元？
解：(1)第二个月下面从上到下依次填：80－x；200＋10x；清仓时的下面填：800－200
－(200＋10x) (2)依题意得 80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]
－50×800＝9000，解得 x1＝x2＝10，当 x＝10 时，80－x＝70＞50，即第二个月的单价应是
70 元
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