1
第 24 章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分)
1．如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点(2，1)，则 tanα的值是( C )
A.
5
5 B. 5 C.
1
2 D．2
,第 1 题图) ,第 2 题图)
,第 3 题图) ,第 4 题图)
2．河堤横断面如图所示，堤高 BC＝5 米，迎水坡 AB 的坡比为 1∶ 3(坡比是坡面的铅
直高度 BC 与水平宽度 AC 之比)，则 AC 的长是( A )
A．5 3米 B．10 2米 C．15 米 D．10 米
3．如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 M，N 分别为 OB，OC 的中点，
则 cos∠OMN 的值为( B )
A.
1
2 B.
2
2 C.
3
2 D．1
4．如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于 E，设∠ADE＝α，且 cosα＝
3
5，AB＝4，则 AC 的
长为( C )
A．3 B.
16
5 C.
20
3 D.
16
3
5．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，则 AB＝
( D )
A．4 B．5 C．2 3 D.
8 3
3
,第 5 题图) ,第 9 题图)
,第 10 题图)2
6．在△ABC 中，若 sinA＝
3
2 ，tanB＝1，则这个三角形是( A )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．式子 2cos30°－tan45°－ （1－tan60°）2的值是( B )
A．2 3－2 B．0 C．2 3 D．2
8．李红同学遇到了这样一道题： 3tan(α＋20°)＝1，你认为锐角 α 的度数应是
( D )
A．40° B．30° C．20° D．10°
9．为了测量被池塘隔开的 A，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中
AB⊥BE，EF⊥BE，AF 交 BE 于 D，C 在 BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠
ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出 A，B 间
距离的有( C )
A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组
10．如图，某人在大楼 30 米高(即 PH＝30 米)的窗口 P 处进行观测，测得山坡上 A 处的
俯角为 15°，山脚 B 处的俯角为 60°，已知该山坡的坡角 i 为 1∶ 3，点 P，H，B，C，A
在同一个平面上，点 H，B，C 在同一条直线上，且 PH⊥HC.则 A，B 两点间的距离是( B )
A．15 米 B．20 3米 C．20 2米 D．10 3米
二、细心填一填(每小题 3 分，共 24 分)
11．若 α 为锐角，cosα＝
3
5，则 sinα＝__
4
5__，tanα＝__
4
3__．
12．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝
5
12，△ABC 的周长为 18，则 S△ABC＝__
54
5 __．
13．在△ABC 中，若|2cosA－1|＋( 3－tanB)2＝0，则∠C＝__60°__．
14．如图，在顶角为 30°的等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，若过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
则∠BCD＝15°，根据图形计算 tan15°＝__2－ 3__．
,第 14 题图) ,第 15 题图)
,第 16 题图) ,第 17 题图)
15．(2017·仙桃)为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的
横断面是梯形 ABCD.已知迎水坡面 AB＝12 米，背水坡面 CD＝12 3米，∠B＝60°，加固后
拦水坝的横断面为梯形 ABED，tanE＝
3
13 3，则 CE 的长为__8__米．
16．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 BD 平分 AC.若 BD＝8，AC＝6，∠
BOC＝120°，则四边形 ABCD 的面积为__12 3__．(结果保留根号)
17．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝
4
3.点 D，E 分别是边 BC，AC 上的
点，且∠EDC＝∠A.将△ABC 沿 DE 所在直线对折，若点 C 恰好落在边 AB 上，则 DE 的长为__3
125
48 __．
18．(2017·舟山)如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan
∠BA2C＝
1
3，tan∠BA3C＝
1
7，计算 tan∠BA4C＝__
1
13__，…按此规律，写出 tan∠BAnC＝__
1
n2－n＋1__(用含 n 的代数式表示)．
三、用心做一做(共 66 分)
19．(10 分)解下列各题：
(1)先化简，再求代数式(
1
x＋
x＋1
x )÷
x＋2
x2＋x的值，其中 x＝ 3cos30°＋
1
2；
解：原式＝x＋1，当 x＝2 时，原式＝3
(2)已知 α 是锐角，且 sin(α＋15°)＝
3
2 .计算 8－4cosα－(π－3.14)0＋tanα
＋(
1
3)－1 的值．
解：α＝45°，原式＝3
20．(8 分)解下列各题：
(1)已知∠A，∠B，∠C 是锐角三角形 ABC 的三个内角，且满足(2 sinA－ 3)2 ＋
tanB－1＝0，求∠C 的度数；
解：75°
(2)(原创题)已知 tanα的值是方程 x2－x－2＝0 的一个根，求式子
3sinα－cosα
2cosα＋sinα的值．
解：∵方程的根为 x1＝2，x2＝－1.又∵tanα＞0，∴tanα＝2，∴原式＝
3tanα－1
2＋tanα ＝
3 × 2－1
2＋2 ＝
5
4
21．(10 分)如图，在△ABC 中，AD 是 BC 上的高，tanB＝cos∠DAC.
(1)求证：AC＝BD；4
(2)若 sinC＝
12
13，BC＝12，求 AD 的长．
解：(1)∵AD 是 BC 上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°，在 Rt△ABD 和
Rt△ADC 中，∵tanB＝
AD
BD，cos∠DAC＝
AD
AC，又 tanB＝cos∠DAC，∴
AD
BD＝
AD
AC，∴AC＝BD (2)
在 Rt△ADC 中，sinC＝
12
13，故可设 AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝ AC2－AD2＝5k.∵BC＝BD＋
CD，AC＝BD，∴BC＝13k＋5k＝18k，∴18k＝12，∴k＝
2
3，∴AD＝12k＝12×
2
3＝8
22．(8 分)(2017·绍兴)如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口
C 测得教学楼顶部 D 的仰角为 18°，教学楼底部 B 的俯角为 20°，量得实验楼与教学楼之
间的距离 AB＝30 m.
(1)求∠BCD 的度数；
(2)求教学楼的高 BD.(结果精确到 0.1 m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)
解：(1)过点 C 作 CE⊥BD，则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝
18°＋20°＝38° (2)由题意得：CE＝AB＝30 m，在 Rt△CBE 中，BE＝CE·tan20°≈
10.80(m)，在 Rt△CDE 中，DE＝CE·tan18°≈9.60(m)，∴教学楼的高 BD＝BE＋DE＝10.80
＋9.60≈20.4(m)，则教学楼的高约为 20.4 m
23．(8 分)(2017·南京)如图，港口 B 位于港口 A 的南偏东 37°方向，灯塔 C 恰好在 AB
的中点处．一艘海轮位于港口 A 的正南方向，港口 B 的正西方向的 D 处，它沿正北方向航行
5 km 到达 E 处，测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上，这时，E 处距离港口 A 有多远？(参考数
据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
解：过 C 作 CH⊥AD 于 H.设 CH＝x km，在 Rt△ACH 中，∠A＝37°，∵tan37°＝
CH
AH，∴5
AH＝
CH
tan37°＝
x
tan37°，在 Rt△CEH 中，∵∠CEH＝45°，∴CH＝HD. ∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴
CH∥BD，∴
AH
HD＝
AC
CB. ∵AC＝CB，∴AH＝HD，∴
x
tan37°＝x＋5，∴x＝
5·tan37°
1－tan37°≈15，∴AE
＝AH＋HE＝
15
tan37°＋15≈35(km)，∴E 处距离港口 A 有 35 km
24．(10 分)(2017·内江)如图，某人为了测量小山顶上的塔 ED 的高，他在山下的点 A
处测得塔尖点 D 的仰角为 45°，再沿 AC 方向前进 60 m 到达山脚点 B，测得塔尖点 D 的仰角
为 60°，塔底点 E 的仰角为 30°，求塔 ED 的高度．(结果保留根号)
解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30
°.又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°.∴∠DBE＝∠BDE.∴BE
＝DE.设 EC＝x m．则 DE＝BE＝2EC＝2x m，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x m，BC＝ BE2－EC2＝
（2x）2－x2＝ 3x，由题知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60，∴△ACD 为等腰直角
三角形，∴AC＝DC.∴ 3x＋60＝3x，解得：x＝30＋10 3，2x＝60＋20 3.答：塔高约为
(60＋2 3) m
25．(12 分)(2017·资阳)如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为 AB 的宣传牌，点
E 和点 D 分别是教学楼底部和外墙上的一点(A，B，D，E 在同一直线上)，小红同学在距 E
点 9 米的 C 处测得宣传牌底部点 B 的仰角为 67°，同时测得教学楼外墙外点 D 的仰角为 30
°，从点 C 沿坡度为 1∶ 3的斜坡向上走到点 F 时，DF 正好与水平线 CE 平行．
(1)求点 F 到直线 CE 的距离(结果保留根号)；
(2)若在点 F 处测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45°，求出宣传牌 AB 的高度(结果精确到
0.01)．(注：sin67°≈0.92，tan67°≈2.36， 2≈1.41， 3≈1.73)
解：(1)过点 F 作 FH⊥CE 于 H.∵FH∥DE，DF∥HE，∠FHE＝90°，∴四边形 FHED 是矩
形，则 FH＝DE，在 Rt△CDE 中，DE＝CE·tan∠DCE＝9×tan30°＝3 3(米)，∴FH＝DE＝3
3(米)．答：点 F 到 CE 的距离为 3 3米 (2)∵CF 的坡度为 1∶ 3，∴在 Rt△FCH 中，
CH＝ 3FH＝9(米)，∴EH＝DF＝18(米)，在 Rt△BCE 中，BE＝CE·tan∠BCE＝9×tan67°≈
21.24(米)，∴AB＝AD＋DE－BE＝18＋3 3－21.24≈1.95(米)．答：宣传牌 AB 的高度约为6
1.95 米
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