成都市“五校联考”高2014级第五学期九月考试题
数学（理）
时间120分钟总分150分
命题人：陈维军 审题人：张尧 何军
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
1．已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是
A．B．C．D．
2．已知集合，，则为
A．（1，2）B．（1，+∞）C．2，+∞）D．1，+∞）
3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
4．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，
若实数满足，则的取值范围是
A．B．C． D．
5．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数
A．B．
C．D．
6．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝
A．4 B．5 C．6 D．7
7．下列命题中是假命题的是
A．，使函数是偶函数;
B．，使得;
C．，使是幂函数，且在上递减;
D．．
8．若函数的图象
如图所示，则
A．B．
C．D．
9．已知函数的一条对称轴为直线，则要得到函数的图象，只需把函数的图象
A．沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍
B．沿轴向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍
C．沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍
D．沿轴向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍
10．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（ ）
A . B． C． D．
11．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为
A．1 B． C． D．
12．已知函数，其中，若对，
，使得成立，则实数的最小值为
A． B． C．6 D．8
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）．
13．计算__ ▲▲▲ ．
14．已知，设函数，
则__ ▲▲▲ ．
15．若函数的定义域为，其值域为，则这样的函数有__ ▲▲▲ ．个．（用数字作答）
16．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点……,则=__ ▲▲▲ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（本小题满分12分）已知向量，函数．
（1）若，，求的值；
（2）在中，角的对边分别是，且满足，求角B的取值范围．
18．（本小题满分12分）在一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下定义域为的函数：
，
（1）现在从盒子中任意取两张卡片，记事件A为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事件A的概率；
（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为，写出的分布列，并求其数学期望．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点、都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上．求面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若函数有两个不同的零点，求证：
请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分．
22、(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，AB为圆的直径，P为圆外一点，过P点作PCAB于C，交圆于D点，PA交圆于E点，BE交PC于F点．
（1）求证：P=ABE；
（2）求证：CD2=CF·CP．
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（为参数），曲线C2的极坐标方程为：，若曲线C1与C2相交于A、B两点．
（1）求|AB|的值；
（2）求点到A、B两点的距离之积．
24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围．
2017届高三数学六校联考（理科数学）
参考答案
一.选择:（12×5=60）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
A
C
A
B
D
D
A
C
B
D
二：填空(4×5=20)
13. 2 14 5 15. 243 16. 180
三、解答题（本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17. 解：（Ⅰ）
= ………2分
，又 ……4分
………6分
（Ⅱ）由得…………………8分
………10分
………12分
18． 解：（1）由题意得是奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数，所以P（A）=………………（4分）
（2）由题意可知，的所有可能取值为1,2,3,4
P（）=,P（2）=,P（）==,
P（）=………………（8分）
所以的分布列为：
1
2
3
4
P
………………（10分
所以E=1++3+4=。………………（12分）
19． 解：（Ⅰ）证明：取PD中点为M，连ME，MF．
∵E是PC的中点∴ME是△PCD的中位线，
∴ME平行且等于．∵F是AB中点且ABCD是菱形，∴AB平行且等于CD，∴ME平行且等于．
∴ME平行且等于FB∴四边形MEBF是平行四边形．从而BE∥MF．
∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，
∴BE∥平面PDF．……………………（4分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，
∴DF⊥PA．连接BD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．
∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．……………………（8分）
（Ⅲ）解：建立如图所示的坐标系，则P（0，0，1），C（，3，0），D（0，2，0），
F（，，0）由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，
∴是平面PAB的一个法向量，设平面PCD的一个法向量为
由，且由
在以上二式中令，则得x=﹣1，，
∴．设平面PAB与
平面PCD所成锐角为θ，则cosθ==
故平面PAB与平面PCD所成的锐角为60°．……………………（12分）
20． 解：（1）由题意得： ………2分
所以椭圆C的方程为 ………4分
（2）①法一、设，直线AB的斜率为
则………6分
又直线:,在线段上, 所以所以………8分
法二、设，直线AB的方程为，
则
由题意，所以 ………6分
又直线:,在线段上,
所以，所以 ………8分
法三、设，直线AB的方程为
则
由题意，所以 ………6分
又直线:,在线段上,
所以在直线上
解得： ………8分
设直线AB的方程为，
则，所以………9分
所以 ,原点到直线的距离 …10分
当且仅当时，等号成立.，所以面积的最大值…12分
21． 解：（1）因为点P（1，﹣1）在曲线y=f（x）上，所以﹣m=﹣1，解得m=1．
因为f′（x）=﹣1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y=﹣1．……（3分）
（2）因为f′（x）=﹣m=．
①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，
则f（x）max=f（e）=1﹣me．
②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max=f（e）=1﹣me．
③当1＜＜e，即＜m＜1时，
函数f（x）在（1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，
则f（x）max=f（）=﹣lnm﹣1．
④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，
函数f（x）在（1，e）上单调递减，则f（x）max=f（1）=﹣m．
综上，①当m≤时，f（x）max=1﹣me；
②当＜m＜1时，f（x）max=﹣lnm﹣1；
③当m≥1时，f（x）max=﹣m．……（8分）（分类时，每个1分，综上所述1分）
（3）不妨设x1＞x2＞0．
因为f（x1）=f（x2）=0，所以lnx1﹣mx1=0，lnx2﹣mx2=0，
可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1﹣lnx2=m（x1﹣x2）．
要证明x1x2＞e2，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．
因为m=，所以即证明＞，
即ln＞．令=t，则t＞1，于是lnt＞．
令（t）=lnt﹣（t＞1），则′（t）=﹣=＞0．
故函数（t）在（1，+∞）上是增函数，
所以（t）＞（1）=0，即lnt＞成立．所以原不等式成立．…（12分）
请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分．
22、证明：（Ⅰ），所以在中，在中,所以……………………………….5分
（Ⅱ）在中，，由①得∽,∴,
∴,所以CD2=CF·CP。………………….10分
23． 解：(Ⅰ),则的参数方程为：
为参数），代入得，
…………6分
(Ⅱ). ……….10分
24． 解：（Ⅰ）时，，……（2分）
∴当时，不合题意；……（3分）
当时，，解得；……（4分）
当时，符合题意．……（5分）
综上，的解集为．……（6分）
（Ⅱ）设，的图象和的图象如图：……（8分）
易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而．……（10分）
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