因式分解的应用测试题
时间：60分钟 总分： 100
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则△ABC是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. (3-x)(3+x)=9-x2 B. (y+1)(y-3)=(3-y)(y+1)
C. 4yz-2y2z+z=2y(2z-zy)+z D. -8x2+8x-2=-2(2x-1)2
3. 已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
4. 已知m2-m-1=0，则计算：m4-m3-m+2的结果为( )
A. 3 B. -3 C. 5 D. -5
5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. a(x-y)=ax-ay B. x3-x=x(x+1)(x-1)
C. (x+1)(x+3)=x2+4x+3 D. x2+2x+1=x(x+2)+1
6. 已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0，则三角形的形状是( )
A. 底与边不相等的等腰三角形 B. 等边三角形
C. 钝角三角形 D. 直角三角形
7. 若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则△ABC的面积是( )
A. 338 B. 24 C. 26 D. 30
8. △ABC的三边为a、b、c且满足a2(a-b)+b2(a-b)=c2(a-b)，则△ABC是( )
A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形 D. 直角三角形
9. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b，x-y，x+y，a+b，x2-y2，a2-b2分别对应下列六个字；州、爱、我、福、游、美.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A. 我爱美 B. 福州游 C. 爱我福州 D. 美我福州
10. 下列各式从左到右的变形属于分解因式的是( )
A. (a+1)(a-1)=a2-1 B. x2-4=(x+2)(x-2)
C. x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x D. x2-1=x(x-1x)
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3-7x2+4x-2017=______．
12. 已知x+y=3，xy=6，则x2y+xy2的值为______．
13. 利用因式分解计算：2022+202×196+982=______．
14. 已知x2-x+1=0，则x3-x2+x+5= ______ ．
15. 已知a2-6a+9与|b-1|互为相反数，计算a3b3+2a2b2+ab的结果是______ ．
16. 计算2002-400×199+1992的值为______ ．
17. 如果x+y=5，xy=2，则x2y+xy2=______．
第9页，共9页
1. 已知a=2005x+2006，b=2005x+2007，c=2005x+2008，则a2+b2+c2-ab-ac-bc=______．
2. 在实数范围内分解因式：x2-3=______．
3. 把下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解______ ．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
4. 利用因式分解计算：
(1)5032-4972
(2)1722+56×172+282．
5. 已知a、b、c、为△ABC的三边长，a2+5b2-4ab-2b+1=0，且△ABC为等腰三角形，求△ABC的周长．
6. 请你说明：当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除．
7. 已知a-3b=0，求a-ba2+2ab+b2⋅(a+b)的值．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
第9页，共9页
1. 已知在△ABC中，三边长a、b、c满足a2+8b2+c2-4b(a+c)=0，试判断△ABC的形状并加以说明．
2. 已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且满足b2+2ab=c2+2ac．
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若a=6，b=5，求△ABC的面积．
第9页，共9页
答案和解析
【答案】
1. C 2. D 3. C 4. A 5. B 6. D 7. D
8. A 9. C 10. B
11. -2020
12. 32
13. 90000
14. 5
15. 48
16. 1
17. 10
18. 3
19. (x+3)(x-3)
20. x2+3x+2=(x+2)(x+1)
21. 解：(1)原式=(503+497)×(503-497)=1000×6=6000；
(2)原式=1722+2×28×172+282=(172+28)2=2002=40000．
22. 解：∵a2+5b2-4ab-2b+1=0，
∴a2-4ab+4b2+b2-2b+1=0，
∴(a-2b)2+(b-1)2=0，
∴a-2b=0，b=1，
∴a=2，b=1，
∵等腰△ABC，
∴c=2，
∴△ABC的周长为5．
23. 解：原式=(n+7+n-5)(n+7-n+5)
=24(n+1)，
则当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除．
24. 解：原式=a-ba+b2⋅(a+b)
=a-ba+b，
由a-3b=0得：a=3b，
把a=3b代入原式=3b-b3b+b=12．
25. 解：三角形是等腰三角形．
a2+8b2+c2-4b(a+c)=0，
a2+8b2+c2-4ab-4bc=0，
a2-4ab+4b2+c2-4bc+4b2=0，
(a-2b)2+(c-2b)2=0，
则a=2b，c=2b，
∴a=c，
则三角形是等腰三角形．
第9页，共9页
26. 解：(1)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，
∴b2-c2+2ab-2ac=0，
因式分解得：(b-c)(b+c+2a)=0，
∴b-c=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)如图，作△ABC底边BC上的高AD．
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=DC=12BC=3，
∴AD=AB2-BD2=4，
∴△ABC的面积=12BC⋅AD=12×6×4=12．
【解析】
1. 解：移项得，a2c2-b2c2-a4+b4=0，
c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0，
(a2-b2)(c2-a2-b2)=0，
所以，a2-b2=0或c2-a2-b2=0，
即a=b或a2+b2=c2，
因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．
故选C．
移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．
本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．
2. 解：A、(3-x)(3+x)=9-x2，是整式的乘法运算，故此选项错误；
B、(y+1)(y-3)≠(3-y)(y+1)，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
C、4yz-2y2z+z=2y(2z-zy)+z，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
D、-8x2+8x-2=-2(2x-1)2，正确．
故选：D．
分别利用因式分解的定义分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的定义，正确把握定义是解题关键．
3. 解：已知等式变形得：(a+b)(a-b)-c(a-b)=0，即(a-b)(a+b-c)=0，
∵a+b-c≠0，
∴a-b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故选：C．
已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4. 解：∵m2-m-1=0
∴m2-m=1
m4-m3-m+2=m2(m2-m)-m+2=m2-m+2=1+2=3；
故选：A．
观察已知m2-m-1=0可转化为m2-m=1，再对m4-m3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m2-m作为一个整体代入，逐次降低m的次数，使问题得以解决．
此题考查的是因式分解的应用.解决本题的关键是将m2-m作为一个整体出现，逐次降低m
第9页，共9页
的次数．
5. 解：因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积，
故选(B)
根据因式分解的意义即可判断．
本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
6. 解：∵(a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0，
∴(a-5)2+|b-12|+(c-13)2=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形．
故选D．
根据给出的条件求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理来判定三角形的形状．
本题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是绝对值、偶次方的性质、勾股定理的逆定理、完全平方公式，关键是证出a，b，c之间的关系．
7. 解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，
得：(a2-10a+25)+(b2-24b+144)+(c2-26c+169)=0，
即：(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0，
a-5=0，b-12=0，c-13=0
解得a=5，b=12，c=13，
∵52+122=169=132，即a2+b2=c2，
∴∠C=90∘，
即三角形ABC为直角三角形．
S△ABC=12×5×12=30．
故选：D．
把已知的式子变形，利用完全平方公式分组因式分解，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c的数值，再进一步三处面积即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用、完全平方公式、非负数的性质.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
8. 解：∵a2(a-b)+b2(a-b)=c2(a-b)，
∴(a-b)(a2+b2-c2)=0，
∴a=b或a2+b2=c2．
当只有a-b=0成立时，是等腰三角形．
当只有a2+b2-c2=0成立时，是直角三角形．
当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形．
故选：A．
因为a，b，c为三边，根据a2(a-b)+b2(a-b)=c2(a-b)，可找到这三边的数量关系．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及对三角形形状的掌握．
9. 解：∵(x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a+b)(a-b)，
∵x-y，x+y，a+b，a-b四个代数式分别对应爱、我，福，州，
∴结果呈现的密码信息可能是“爱我福州”，
故选C．
对(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解，即可得到结论．
本题考查了因式分解的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
第9页，共9页
10. 解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、x2-4=(x+2)(x-2)，故B符合题意；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C不符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故D不符合题意；
故选：B．
分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式.因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
本题考查了因式分解的意义.这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．
11. 解：∵x2-2x-1=0，
∴x2-2x=1，
2x3-7x2+4x-2017
=2x3-4x2-3x2+4x-2017，
=2x(x2-2x)-3x2+4x-2017，
=6x-3x2-2017，
=-3(x2-2x)-2017=-3-2017
=-2020，
故答案为：-2020．
把2x2分解成x2与x2相加，然后把所求代数式整理成用x2-x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．
本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．
12. 解：∵x+y=3，xy=6，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=6×3=18
=32，
故答案为：32．
根据x+y=3，xy=6，可以求得x2y+xy2的值．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确因式分解的方法，利用题目中的已知条件解答．
13. 解：原式=2022+2x202x98+982
=(202+98)2=3002=90000．
通过观察，显然符合完全平方公式．
运用公式法可以简便计算一些式子的值．
14. 解：∵x2-x+1=0，
∴x3-x2+x+5=x(x2-x+1)+5=5．
此题可以将x3-x2+x+5变形得x(x2-x+1)+5，再把x2-x+1=0代入即可得到结果．
本题考查了因式分解的应用，关键在于对前三项提取公因式后整理成已知条件的形式．
15. 解：a2-6a+9=(a-3)2.依题意得
(a-3)2+|b-1|=0，则
a-3=0.b-1=0，
解得 a=3，b=1．
所以a3b3+2a2b2+ab=ab(a2b2+2ab+1)=ab(ab+1)2=3×16=48，
故答案为：48．
根据互为相反数的性质和非负数的性质求得a，b的值，再进一步代入求解．
此题考查了非负数的性质、互为相反数的性质.几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0；互为相反数的两个数的和为0．
第9页，共9页
16. 解：原式=2002-2×00×199+1992
=(200-199)2
=12
=1，
故答案为：1．
根据完全平方公式，可得答案．
本题考查了因式分解，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2是解题关键．
17. 解：∵x+y=5，xy=2，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=2×5=10．
故答案为：10．
直接提取公因式xy，进而求出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
18. 解：∵a=2005x+2006，b=2005x+2007，c=2005x+2008，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，
则原式=12(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)=12[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]=3．
故答案为：3．
已知等式整理变形后，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19. 解：x2-3=x2-(3)2=(x+3)(x-3).
把3写成3的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．
本题考查平方差公式分解因式，把3写成3的平方是利用平方差公式的关键．
20. 解：拼接如图：
长方形的面积为：x2+3x+2，还可以表示面积为：(x+2)(x+1)，
∴我们得到了可以进行因式分解的公式：x2+3x+2=(x+2)(x+1)．
故答案是：x2+3x+2=(x+2)(x+1)．
一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，长方形的面积为：x2+3x+2，拼成长方形的长为(x+2)，宽为(x+1)，由此画图解决问题．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法和数形结合是解本题的关键．
21. (1)原式利用平方差公式变形，计算即可得到结果；
(2)原式变形后，利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
22. 已知等式配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出三角形周长．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
23. 原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
24. 本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．先将分式的分母分解因式，再约分，然后将已知a-3b=0变形为a=3b代入原式即可求解．
25. 把原式根据完全平方公式进行因式分解，根据非负数的性质求出a、c的关系，判断即可．
本题考查的是因式分解的应用，掌握分组分解法、公式法因式分解的一般步骤是解题的关键．
第9页，共9页
26. (1)由已知条件得出b2-c2+2ab-2ac=0，用分组分解法进行因式分解得出(b-c)(b+c+2a)=0，得出b-c=0，因此b=c，即可得出结论；
(2)作△ABC底边BC上的高AD.根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=DC=12BC=3，利用勾股定理求出AD=AB2-BD2=4，再根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了因式分解的应用、等腰三角形的判定、勾股定理以及面积的计算；运用因式分解求出b=c是解决问题的关键．
第9页，共9页
微信/支付宝扫码支付