因式分解-十字相乘法测试
时间：90分钟 总分：100
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )
A. a2-1 B. a2+a
C. a2+a-2 D. (a+2)2-2(a+2)+1
2. 把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a，b的值分别是( )
A. a=-2，b=-3 B. a=2，b=3
C. a=-2，b=3 D. a=2，b=-3
3. 若x2+mx+n分解因式的结果是(x+2)(x-1)，则m+n=( )
A. 1 B. -2 C. -1 D. 2
4. 若多项式x2+mx+36因式分解的结果是(x-2)(x-18)，则m的值是( )
A. -20 B. -16 C. 16 D. 20
5. 多项式x2-3x+a可分解为(x-5)(x-b)，则a、b的值分别是( )
A. 10和-2 B. -10和2 C. 10和2 D. -10和-2
6. 如果多项式x2+ax+b可因式分解为(x-1)(x+2)，则a、b的值为( )
A. a=1，b=2 B. a=1，b=-2
C. a=-1，b=-2 D. a=-1，b=2
7. 如果多项式mx2-nx-2能因式分解为(3x+2)(x+p)，那么下列结论正确的是( )
A. m=6 B. n=1 C. p=-2 D. mnp=3
8. 下列因式分解结果正确的是( )
A. x2+3x+2=x(x+3)+2 B. 4x2-9=(4x+3)(4x-3)
C. x2-5x+6=(x-2)(x-3) D. a2-2a+1=(a+1)2
9. 若x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则mn的值为( )
A. 5 B. -5 C. 10 D. -10
10. 如果二次三项式x2+ax-1可分解为(x-2)⋅(x+b)，那么a+b的值为( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 若关于x的二次三项式x2-kx-3因式分解为(x-1)(x+b)，则k+b的值为______ ．
12. 若二次三项式x2-px+6在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值是______ ．
13. 若x2+mx-n能分解成(x-1)(x+4)，则m=______，n=______．
14. 已知多项式x2+px+q可分解为(x+3)(x-2)，则p= ______ ，q= ______ ．
15. 因式分解x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是(x+6)(x-2)，乙看错了b的值，分解的结果为(x-8)(x+4)，那么x2+ax+b分解因式正确的结果为_____________．
16. 已知x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，则二次三项式x2-2x-15可以因式分解为______ ．
17. x2-x-12分解因式得______ ．
18. 若x2+mx+n分解因式的结果是(x+2)(x-1)，则m+n的值为______．
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1. 分解因式：
(1)4x2-9= ______ ；
(2)x2+3x+2= ______ ；
(3)2x2-5x-3= ______ ．
2. 分解因式a3-a2-2a= ______ ．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
3. 分解因式：
(1)5x2+10x+5
(2)(a+4)(a-4)+3(a+2)
4. 因式分解：
(1)2(x2+y2)2-8x2y2
(2)6x2-5x-4．
5. 解方程：x(x-3)=4．
6. 把下列各式因式分解
(1)3x2-12y2
(2)(a+b)2-6c(a+b)+9c2
(3)x2-2x-8
(4)(m+n)2-4mn．
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四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
1. 阅读：分解因式x2+2x-3．
解：原式=x2+2x+1-1-3
=(x+2x+1)-4
=(x+1)2-4
=(x+1+2)(x+1-2)
=(x+3)(x-1)
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此題为用配方法分解因式．
请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：分解因式：4a2+4a-3．
2. 仔细阅读下面例题，解答问题；
例题，已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)
则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴m=3nn+3=-4
解得：n=-7，m=-21
∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+5x-m有一个因式是(3x-1)，求另一个因式以及m的值．
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答案和解析
【答案】
1. C 2. A 3. C 4. A 5. D 6. B 7. B
8. C 9. C 10. B
11. 1
12. 5，-5，7，-7
13. 3；4
14. 1；-6
15. (x-6)(x+2)
16. (x-5)(x+3)
17. (x-4)(x+3)
18. -1
19. (2x+3)(2x-3)；(x+1)(x+2)；(2x+1)(x-3)
20. a(a+1)(a-2)
21. 解：(1)原式=5(x2+2x+1)=5(x+1)2；
(2)原式=a2-16+3a+6=a2+3a-10=(a-2)(a+5)．
22. 解：(1)原式=2[(x2+y2)2-4x2y2]=2(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=2(x+y)2(x-y)2；
(2)原式=(2x+1)(3x-4)．
23. 解：x2-3x-4=0
(x-4)(x+1)=0
x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1．
24. 解：(1)原式=3(x2-4y2)=3(x+2y)(x-2y)；
(2)原式=(a+b-3c)2；
(3)原式=(x-4)(x+2)；
(4)原式=m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2．
25. 解：原式=4a2+4a+1-1-3
=(4a2+4a+1)-4
=(2a+1)2-4
=(2a+1+2)(2a+1-2)
=(2a+3)(2a-1)
26. 解：设另一个因式为(x+n)，得3x2+5x-m=(3x-1)(x+n)，
则3x2+5x-m=3x2+(3n-1)x-n，
∴-n=-m3n-1=5，
解得：n=2，m=2，
∴另一个因式为(x+2)，m的值为2．
【解析】
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1. 【分析】
先把各个多项式分解因式，即可得出结果.本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
【解答】
解：A.∵a2-1=(a+1)(a-1)，
B.a2+a=a(a+1)，
C.a2+a-2=(a+2)(a-1)，
D.(a+2)2-2(a+2)+1=(a+2-1)2=(a+1)2，
∴结果中不含有因式a+1的是选项C．
故选C．
2. 解：根据题意得：x2+ax+b=(x+1)(x-3)=x2-2x-3，
则a=-2，b=-3，
故选A
因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，以及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3. 解：∵x2+mx+n=(x+2)(x-1)=x2+x-2，
∴m=1，n=-2，
则m+n=1-2=-1，
故选C
根据因式分解的结果，利用多项式乘以多项式法则化简，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值．
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4. 解：x2+mx+36=(x-2)(x-18)=x2-20x+36，
可得m=-20，
故选A．
把分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m的值即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
5. 解：∵多项式x2-3x+a可分解为(x-5)(x-b)，
∴x2-3x+a=(x-5)(x-b)=x2-(b+5)x+5b，
故b+5=3，5b=a，
解得：b=-2，a=-10．
故选：D．
利用多项式乘法整理多项式进而得出a，b的值．
此题主要考查了整式的混合运算，得出同类项系数相等是解题关键．
6. 解：根据题意得：x2+ax+b=(x-1)(x+2)=x2+x-2，
则a=1，b=-2，
故选B
已知分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
7. 解：∵多项式mx2-nx-2能因式分解为(3x+2)(x+p)，
∴(3x+2)(x+p)=3x2+(3p+2)x+2p=mx2-nx-2，
∴p=-1，3p+2=-n，
解得：n=1．
故选：B．
直接利用多项式乘法运算法则得出p的值，进而得出n的值．
此题考查了因式分解的意义；关键是根据因式分解的意义求出p的值，是一道基础题．
8. 解：A、原式=(x+1)(x+2)，故本选项错误；
B、原式=(2x+3)(2x-3)，故本选项错误；
C、原式=(x-2)(x-3)，故本选项正确；
D、原式=(a-1)2，故本选项错误；
故选：C．
将各自分解因式后即可做出判断．
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此题考查了因式分解-十字相乘法，提公因式法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9. 解：由x2+mx-15=(x+3)(x+n)=x2+(3+n)x+3n，
比较系数，得m=3+n，-15=3n，
解得m=-2，n=-5，
则mn=(-2)×(-5)=10．
故选：C．
根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据对应项的系数相等列出方程，求解即可得到m、n的值，再代入计算即可．
本题考查了多项式的乘法法则，根据对应项系数相等列式是解题的关键．
10. 解：(x-2)(x+b)=x2+(b-2)x-2b，
∵二次三项式x2+ax-1可分解为(x-2)(x+b)，
∴a=b-2，-2b=-1，
解得a=-32，b=12，
∴a+b=-32+12=-1．
故选：B．
利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解题的关键．
11. 解：由题意得：x2-kx-3=(x-1)(x+b)=x2+(b-1)x-b，
∴-3=-b， -k=b-1，移项得：k+b=1．
故答案为1．
将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．
本题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．
12. 解：若二次三项式x2-px+6在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值为5，-5，7，-7，
故答案为：5，-5，7，-7
原式利用十字相乘法变形，即可确定出整数p的值．
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
13. 解：由题意得：x2+mx-n=(x-1)(x+4)=x2+3x-4，
则m=3，n=4，
故答案为：3；4．
利用十字相乘法判断即可确定出m与n的值．
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
14. 解：根据题意得：x2+px+q=(x+3)(x-2)=x2+x-6，
则p=1，q=-6，
故答案为：1；-6
因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，多项式乘以多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
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15. 解：甲看错了a的值：x2+ax+b=(x+6)(x-2)=x2+4x-12，
∴b=-12
乙看错了b的值：x2+ax+b=(x-8)(x+4)=x2-4x-32，
∴a=-4
∴x2+ax+b分解因式正确的结果：x2-4x-12=(x-6)(x+2)
根据因式分解法的定义即可求出答案．
本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型．
16. 解：原式=x2+(-5+3)x+(-5)×3=(x-5)(x+3)，
故答案为：(x-5)(x+3)
根据已知等式分解的方法，将原式分解即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
17. 解：x2-x-12=(x-4)(x+3)．
故答案是：(x-4)(x+3)．
因为-4×3=-12，-4+3=-1，所以利用十字相乘法分解因式即可．
本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
18. 解：∵x2+mx+n分解因式的结果是(x+2)(x-1)，
∴x2+mx+n=x2+x-2，
∴m=1，n=-2，
∴m+n=1-2=-1，
故答案为-1．
先把(x+2)(x-1)展开，求得m，n的值，再求m+n的值即可．
本题考查了因式分解-十字相乘法，求得m，n的值是解题的关键．
19. 解：(1)原式=(2x+3)(2x-3)；
(2)原式=(x+1)(x+2)；
(3)原式=(2x+1)(x-3)，
故答案为：(1)(2x+3)(2x-3)；(2)(x+1)(x+2)；(3)(2x+1)(x-3)
(1)原式利用平方差公式分解即可；
(2)原式利用十字相乘法分解即可；
(3)原式利用十字相乘法分解即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20. 解：原式=a(a2-a-2)
=a(a+1)(a-2)．
故答案为：a(a+1)(a-2)．
原式提取公因式a后，利用十字相乘法分解即可得到结果．
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
21. (1)原式提取5，再利用完全平方公式分解即可；
(2)原式整理后，利用十字相乘法分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22. (1)原式提取公因式，再利用平方差公式及完全平方公式分解即可；
(2)原式利用十字相乘法分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23. 把方程化成一般形式，用十字相乘法因式分解求出方程的根．
本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程化成一般形式，再用十字相乘法因式分解求出方程的根．
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24. (1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
(2)原式利用完全平方公式分解即可；
(3)原式利用十字相乘法分解即可；
(4)原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
25. 根据配方法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．
本题考查了因式分解，利用配方法得出平方差公式是解题关键，分解要彻底．
26. 首先设另一个因式为(x+n)，得3x2+5x-m=(3x-1)(x+n)，继而可得方程组-n=-m3n-1=5，解此方程即可求得答案．
此题考查了十字相乘法分解因式的知识.注意理解题意，结合题意求解是关键．
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