第22章 单元检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．抛物线y＝(x－2)2＋3的顶点坐标是( B )
A．(－2，3) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
2．(2018·武汉元调)二次函数y＝2(x－3)2－6( A )
A．最小值为－6 B．最大值为－6 C．最小值为3 D．最大值为3
3．与y＝2(x－1)2＋3形状相同的抛物线解析式为( D )
A．y＝1＋x2 B．y＝(2x＋1)2 C．y＝(x－1)2 D．y＝2x2
4．关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是( D )
A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
5．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( D )
A．m＝－1 B．m＝3 C．m≤－1 D．m≥－1
6．已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则( C )
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
下列说法正确的是( D )
A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是x＝－
8．在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a的图象可能是( C )
9．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，给出以下四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c＞0；③a＞b；④4ac－b2＜0.其中正确的结论有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
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10．二次函数y＝x2＋bx的对称轴为x＝1，若关于x的一元二次方程x2＋bx－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是( C )
A．t＜8 B．t＜3
C．－1≤t＜8 D．－1≤t＜3
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．已知二次函数y＝(x－2)2＋3，当x__＜2__时，y随x的增大而减小．
12．抛物线y＝(m－2)x2＋2x＋(m2－4)的图象经过原点，则m＝__－2__．
13．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋99的值为__100__．
14．如图是一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为__2__米．
,第15题图)
15．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为__1__．
16．(2017武汉四调改编)当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为__2或－__．
三、解答题(共72分)
17．(8分)已知二次函数y＝x2＋4x，用配方法把该函数化为y＝a(x＋h)2＋k(其中a，h，k都是常数，且a≠0)的形式，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【解析】∵y＝x2＋4x＝(x2＋4x＋4)－4＝(x＋2)2－4，∴二次函数y＝x2＋4x化为y＝a(x＋h)2＋k的形式是y＝(x＋2)2－4，∴对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2，－4)．
18．(8分)已知抛物线y＝－2x2＋8x－6.
(1)求此抛物线的对称轴；
(2)x取何值时，y随x的增大而减小？
(3)x取何值时，y＝0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0.
【解析】(1)对称轴为x＝－＝2.
(2)∵a＝－2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小．
(3)令y＝0，即－2x2＋8x－6＝0，解得x＝1或3，∵抛物线开口向下，∴当x＝1或x＝3时，y＝0；当1＜x＜3时，y＞0；当x＜1或x＞3时，y＜0.
19．(8分)已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
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【解析】(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴Δ＝22＋4m＞0，∴m＞－1.
(2)易知二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3，对称轴为直线x＝1，B(0，3)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∴解得∴直线AB的解析式为y＝－x＋3.把x＝1代入y＝－x＋3得y＝2，∴P(1，2)．
20．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)
【解析】(1)把点A(1，0)，B(3，2)分别代入直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c得0＝1＋m，∴m＝－1，b＝－3，c＝2，∴y＝x2－3x＋2.
(2)x2－3x＋2＞x－1，由图象得x＜1或x＞3.
21．(8分)已知关于x的方程：mx2－(3m－1)x＋2m－2＝0.
(1)求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；
(2)若关于x的二次函数y＝mx2－(3m－1)x＋2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．
【解析】(1)①当m＝0时，原方程可化为x－2＝0，解得x＝2；②当m≠0时，方程为一元二次方程，Δ＝[－(3m－1)]2－4m(2m－2)＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2≥0，故方程有两个实数根．∴无论m为何值，方程恒有实数根．
(2)∵二次函数y＝mx2－(3m－1)x＋2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2，
∴＝2，整理得3m2－2m－1＝0，解得m1＝1，m2＝－.∴抛物线解析式为y＝x2－2x或y＝－x2＋2x－.
22．(10分)(2018·武汉元调)投资1万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24 m，平行于墙的边的费用为200元/m，
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垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m.
(1)设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)若菜园面积为384 m2，求x的值；
(3)求菜园的最大面积．
【解析】(1)由题意知：200x＋2×150y＝10 000，∴y＝(0＜x≤24)．
(2)由题意知：xy＝384，∴x·＝384，解得：x1＝18，x2＝32，∵0＜x≤24，∴x＝18.
(3)设菜园面积为S，则S＝xy＝－x2＋x＝－(x－25)2＋，又∵0＜x≤24，∴当x＝24时，S最大值＝416，即菜园面积最大值为416 m2.
23．(10分)为满足市场需求，某超市在端午节来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？
(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．若超市想要每天获得不低于6 000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【解析】(1)由题意，得y＝700－20(x－45)＝－20x＋1 600.
(2)P＝(x－40)(－20x＋1 600)＝－20x2＋2 400x－64 000＝－20(x－60)2＋8 000，∵x≥45，a＝－20＜0，∴当x＝60时，P最大值＝8 000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P最大，最大利润是8 000元．
(3)由题意，得－20(x－60)2＋8 000＝6 000，解得x1＝50，x2＝70.∵抛物线P＝－20(x－60)2＋8 000的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6 000元的利润．又∵x≤58，∴50≤x≤58.∵在y＝－20x＋1 600中，k＝－20＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝58时，y最小值＝－20×58＋1 600＝440，即超市每天至少销售粽子440盒．
24．(12分)如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A(－1，0)，B(3，0)，点C三点．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BC，BD.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)如图②，在(2)的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′.在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式．
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【解析】(1)抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)存在．将点D代入抛物线解析式，得m＝3，∴D(2，3)．令x＝0，y＝3，∴C(0，3)，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠CBO＝45°.如图③，在y轴上取点G，使GC＝CD＝2，在△CDB与△CGB中，∵BC＝BC，∠DCB＝∠GCB，CD＝CG，∴△CDB≌△CGB(SAS)，∴∠PBC＝∠DBC.∵点G(0，1)，设直线BP：y＝kx＋1，代入点B(3，0)，得k＝－.∴直线BP：y＝－x＋1.联立直线BP和二次函数解析式解得或(舍)∴P(－，)．
(3)直线BC：y＝－x＋3，直线BD：y＝－3x＋9.当0≤t≤2时，如图④，设直线B′C′：y＝－(x－t)＋3，联立直线BD求得F(，)，S＝S△BCD－S△CC′E－S△C′DF＝×2×3－×t×t－×(2－t)(3－)，整理得S＝－t2＋3t(0≤t≤2)．当2＜t≤3时，如图⑤，H(t，－3t＋9)，I(t，－t＋3)，S＝S△HIB＝[(－3t＋9)－(－t＋3)]×(3－t)，整理得S＝t2－6t＋9(2＜t≤3)，综上所述：S＝
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