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第 13 章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．下列说法正确的是( C )
A．真命题的逆命题是真命题
B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．命题一定有逆命题
D．定理一定有逆定理
2．如图，四边形 ABCD 中，AC 垂直平分 BD，垂足为 E，下列结论不一定成立的是( C )
A．AB＝AD B．AC 平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
3．(海南中考)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )
A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB
,第 3 题图) ,第 4 题图)
,第 5 题图)
4．如图，已知 CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，BE，CD 相交于点 O，且 AO 平分
∠BAC，那么图中全等三角形共有( C )
A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对
5．(内江中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，AE∥BD 交 CB
的延长线于点 E.若∠E＝35°，则∠BAC 的度数为( A )
A．40° B．45° C．60° D．70°
6．如图，△ABC 是等边三角形，AD 是角平分线，△ADE 是等边三角形，DE 交 AB 于点
F，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝CD；④∠ABE＝60°.其中正确的有( A )
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
,第 6 题图) ,第 7 题图)
,第 8 题图) ,第 10 题图)2
7．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以 BC 为边画等腰三角形 BCD，使点 D 落在△ABC
的边上，则点 D 的位置有( B )
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
8．如图，轮船从 B 处以每小时 50 海里的速度沿南偏东 30°方向匀速航行，在 B 处观
测灯塔 A 位于南偏东 75°方向上，轮船航行半小时后到达 C 处，在 C 处观测灯塔 A 位于北
偏东 60°方向上，则 C 处与灯塔 A 的距离是( D )
A．45 海里 B．35 海里 C．50 海里 D．25 海里
9．(深圳中考)如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P，使得 PA
＋PC＝BC，则下列选项正确的是( D )
10．如图，在等边三角形 ABC 中，AB＝2，D 为△ABC 内一点，且 DA＝DB，E 为△ABC 外
一点，BE＝AB，且∠EBD＝∠CBD，连结 DE，CE，则下列结论：①∠DAC＝∠DBC；②BE⊥AC；③∠
DEB＝30°；④若 EC∥AD，则 S△EBC＝1.其中正确的有( C )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
11．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：__AB＝DE(答案
不唯一)__，使得△ABC≌△DEC.
,第 11 题图) ,第 12 题图)
,第 13 题图)
12．如图，△ABC 是不等边三角形，DE＝BC，以 D，E 为两个顶点作位置不同的三角形，
使所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以作出__4__个．
13．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，垂足为 E.若∠B＝35
°，则∠DAC 的度数为__75°__．
14．已知底边 a 和底边上的高 h，在用尺规作图作等腰△CDE，使 DE＝a，CB＝h 时，需
用到的作法有：①在 MN 上截取 BC＝h；②作线段 DE＝a；③作线段 DE 的垂直平分线 MN，与
DE 交于点 B；④连结 CD，CE，△CDE 就是所求的等腰三角形．则正确作图步骤的序号是
__②③①④__．
15．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是__有两边上的高相等的三角形是等
腰三角形__，这个逆命题为__真命题__．(填“真命题”或“假命题”)
16．在△ABC 中，AC＝BC，过 A 作△ABC 的高 AD，若∠ACD＝30°，则∠B＝__75°或 15
°__．
17．如图，在等边△ABC 和等边△DBE 中，点 A 在 DE 的延长线上，则∠AEC＝__60__
度．3
,第 17 题图) ,第 18 题图)
18．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC 的两条角平分线 BE 和 CD，BE
和 CD 交于点 P，连结 AP.有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP 平分∠BAC；③PD＝PE；④BD
＋CE＝BC；⑤S△PBD＋S△PCE＝S△PBC.其中正确的序号是__①②③④⑤__．
点拨：在 BC 上截取 BQ＝BD，连结 PQ.∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－
1
2
(∠ABC ＋ ∠ACB) ＝ 180 ° －
1
2(180 ° － 60 ° ) ＝ 120 ° ， ∴ ∠ BPD ＝ ∠CPE ＝ 60 ° ， 证
△BPD≌△BPQ，△CPE≌△CPQ，可知③④⑤均成立
三、解答题(共 66 分)
19．(8 分)如图，已知 AB⊥DC 于点 B，AB＝DB，点 E 在 AB 上，BE＝BC，延长 DE，交 AC
于点 F.求证：DE＝AC，DE⊥AC.
证明：易证△ABC≌△DBE，∴DE＝AC，∠D＝∠A，∵∠A＋∠C＝90°，∴∠D＋∠C＝90
°，即∠DFC＝90°，∴DE⊥AC
20．(8 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，求∠C 的度数．
解：∠C＝72°
21．(8 分)(南充中考)如图，△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：4
(1)△AEF≌△CEB；
(2)AF＝2CD.
证明：(1)∠EAF 与∠ECB 都与∠B 互余，∴∠EAF＝∠ECB，又∠AEF＝∠CEB＝90°，AE
＝CE，∴△AEF≌△CEB (2)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2CD，由△AEF≌△CEB，得 AF＝BC＝
2CD
22．(10 分)(曲靖中考)如图，过∠AOB 平分线上一点 C 作 CD∥OB 交 OA 于点 D，E 是线
段 OC 的中点，过点 E 画直线分别交射线 CD，OB 于点 M，N，探究线段 OD，ON，DM 之间的数
量关系，并证明你的结论．
解：OD＝ON＋DM.证明：易证△CEM≌△OEN，∴ON＝CM，易证∠DOC＝∠BOC＝∠DCO，∴
OD＝CD，∴OD＝CD＝DM＋CM＝DM＋ON
23．(10 分)如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE 交 CD
于点 F，BD 分别交 CE，AE 于点 G，H，试猜测线段 AE 和 BD 的数量和位置关系，并说明理
由．5
解：AE＝BD，AE⊥BD，易证△ACE≌△DCB，∴AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，∴∠AHB＝∠BDC＋
∠DFH＝∠EAC＋∠AFC＝90°，∴AE⊥BD
24．(10 分)(铜仁中考)已知，如图，点 D 在等边三角形 ABC 的边 AB 上，点 F 在边 AC
上，连结 DF 并延长交 BC 的延长线于点 E，EF＝FD.求证：AD＝CE.
证明：作 DG∥BC 交 AC 于 G，则∠DGF＝∠ECF，∴△DFG≌△EFC，∴GD＝CE.∵△ABC
是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∴∠
A＝∠ADG＝∠AGD，∴△ADG 是等边三角形，∴AD＝GD，∴AD＝CE
25．(12 分)将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝
90°，∠A＝∠D＝30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F.
(1)求证：AF＋EF＝DE；
(2)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 α，且 0°＜α＜60°，其他条件
不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立；
(3)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 β，且 60°＜β＜180°，其他条
件不变，如图③，你认为(1)中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，
请写出 AF，EF 与 DE 之间的关系，并说明理由．
解：(1)证明：连结 BF，用“H.L.”证△BCF≌△BEF，∴CF＝EF，∴AF＋EF＝AF＋CF＝
AC＝DE (2)图略，仍然成立 (3)不成立．应为 AF－EF＝DE，连结 BF，用“H.L.”证
△BCF≌△BEF，∴CF＝EF，∴AF－EF＝AF－CF＝AC＝DE
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