期中检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．方程x2＝4的解是( C )
A．x1＝4，x2＝－4 B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝4
2．下列四个图形中，不是中心对称图形的是( C )
3．将y＝x2＋4x＋1化为y＝a(x－h)2＋k的形式，h，k的值分别为( B )
A．2，－3 B．－2，－3 C．2，－5 D．－2，－5
4．在同一坐标系中一次函数y＝ax－b和二次函数y＝ax2＋bx的图象可能为( C )
5．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是( A )
A．40° B．30°
C．38° D．15°
6．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为( C )
A．(x－3)2＝ B．3(x－1)2＝ C．(x－1)2＝ D．(3x－1)2＝1
7．某商品原价800元，连续两次降价a%后售价为578元，下列所列方程正确的是( B )
A．800(1＋a%)2＝578 B．800(1－a%)2＝578
C．800(1－2a%)＝578 D．800(1－a2%)＝578
8．将抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式是( C )
A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x＋2)2－3 C．y＝3(x－2)2＋3 D．y＝3(x－2)2－3
9．把一个物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h＝v0t－gt2(其中g是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是( C )
A．1.05米 B．－1.05米 C．0.95米 D．－0.95米
6
10．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列4个结论：①b2－4ac＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2.其中正确结论的个数是( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．在平面直角坐标系内，若点P(－1，p)和点Q(q，3)关于原点O对称，则pq的值为__－3__．
12．已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为__1__．
13．已知二次函数的图象经过点(1，3)和(3，3)，则此函数图象的对称轴与x轴的交点坐标是__(2，0)__．
14．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则m(m＋1)2－m2(m＋3)＋4的值为__3__．
15．如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O分斜边AB为BO∶OA＝1∶，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC＝__105°__．
16．已知函数y＝若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为__3__．
三、解答题(共72分)
17．(8分)解下列方程：
(1)2x2－x＝1; (2)x2＋4x＋2＝0.
【解析】(1)x1＝－，x2＝1. (2)x1＝－2＋，x2＝－2－.
18．(8分)如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
(1)求证：EF＝FM；
(2)当AE＝2时，求EF的长．
6
【解析】(1)∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°，∴F，C，M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF＋∠FDM＝90°.∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴EF＝MF.
(2)设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
19．(8分)已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为x1，x2，求x＋x的最小值．
【解析】(1)∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)∵方程的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝2m＋1，x1·x2＝m(m＋1)，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝(2m＋1)2－2m(m＋1)＝2m2＋2m＋1＝2(m＋)2＋，∴x＋x的最小值为.
20．(8分)如图，矩形ABCD的长AD＝5 cm，宽AB＝3 cm，长和宽都增加x cm，那么面积增加y cm2.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)当增加的面积y＝20 cm2时，求相应的x是多少？
【解析】(1)由题意可得(5＋x)(3＋x)－3×5＝y，化简得：y＝x2＋8x.
(2)把y＝20代入解析式y＝x2＋8x中，得x2＋8x－20＝0，解得x1＝2，x2＝－10(舍去)．∴当增加的面积为20 cm2时，相应x为2 cm.
21．(8分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心P点的坐标．
6
,)
22．(10分)观察下表：
序号
1
2
3
…
图形
x x
y
x x
x x x
y y
x x x
y y
x x x
x x x x
y y y
x x x x
y y y
x x x x
y y y
x x x x
…
我们把某格中字母的和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x＋y.回答下列问题：
(1)第2格的“特征多项式”为__9x＋4y__，第n格的“特征多项式”为__(n＋1)2x＋n2y__；(n为正整数)
(2)若第1格的“特征多项式”的值为－8，第2格的“特征多项式”的值为－11.
①求x，y的值；
②在此条件下，第n格的“特征多项式”是否有最小值？若有，求最小值和相应的n值；若没有，请说明理由．
【解析】(2)①∵第1格的“特征多项式”的值为－8，第2格的“特征多项式”的值为－11，
∴根据题意，可得解得②有最小值，将x＝－3，y＝4代入(n＋1)2x＋n2y＝－3(n＋1)2＋4n2＝n2－6n－3＝(n－3)2－12，当n＝3时，多项式有最小值为－12.
6
23．(10分)已知∠MAN＝135°，正方形ABCD绕点A旋转．
,图①) ,图②) ,图③)
(1)当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部(顶点A除外)时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN.
①如图①，若BM＝DN，则线段MN与BM＋DN之间的数量关系是__MN＝BM＋DN__；
②如图②，若BM≠DN，请判断①中的数量关系关系是否仍成立？并说明理由；
(2)如图③，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部(顶点A除外)时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．
【解析】(1)①如图①，若BM＝DN，则线段MN与BM＋DN之间的数量关系是MN＝BM＋DN.理由：△ADN≌△ABM(SAS)，∴AN＝AM，∠NAD＝∠MAB.∵∠MAN＝135°，∠BAD＝90°，∴∠NAD＝∠MAB＝(360°－135°－90°)＝67.5°.作AE⊥MN于点E，则MN＝2NE，∠NAE＝∠MAN＝67.5°.∴△ADN≌△AEN(AAS)，∴DN＝EN.∵BM＝DN，MN＝2EN，∴MN＝BM＋DN.②如图②，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由：将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，易知N，D，E三点共线．∵AM＝AE，∠MAE＝90°，∴∠EAN＝360°－∠MAN－∠MAE＝360°－135°－90°＝135°，∴∠MAN＝∠NAE，∴△ANM≌△ANE(SAS)，∴MN＝EN.∵EN＝DE＋DN＝BM＋DN，∴MN＝BM＋DN.
(2)结论：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由：如图③，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接NE，∵∠MAE＝90°，∠MAN＝135°，∴∠NAE＝360°－∠MAN－∠MAE＝135°，∴∠EAN＝∠MAN.∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN，∴MN＝EN.∵∠ADE＝∠ABM＝∠BDA＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴DN2＋DE2＝NE2.∵BM＝DE，MN＝EN，∴DN2＋BM2＝MN2，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．
24．(12分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点D重合)．
(1)求∠OBC的度数；
(2)连接CD，BD，DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE＝S四边形OCDB，求此时P点的坐标；
(3)过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．
6
【解析】(1)A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，D(1，－4)．∵OC＝OB＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°.
(2)过点D作DH⊥x轴于点H，此时S四边形OCDB＝S梯形OCDH＋S△HBD，∵OH＝1，OC＝3，HD＝4，HB＝2，∴S梯形OCDH＝·(OC＋HD)·OH＝，S△HBD＝·HD·HB＝4，∴S四边形OCDB＝.∴S△OCE＝S四边形OCDB＝＝·OC·OE，∴OE＝5，∴E(5，0)．∴lDE：y＝x－5.∵DE交抛物线于P，设P(x，y)，∴x2－2x－3＝x－5，解得 x＝2 或x＝1(D点，舍去)，∴xP＝2，代入lDE：y＝x－5，∴P(2，－3)．
(3)如答图，lBC：y＝x－3.∵F在BC上，∴yF＝xF－3.∵P在抛物线上，∴yP＝x－2xP－3，∴PF＝yF－yP＝xF－3－(x－2xP－3)．∵xP＝xF，∴PF＝－x＋3xP＝－(xP－)2＋(1＜xP＜3)，∴当xP＝时，线段PF长度最大，最大值为.
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