江西省赣州中学2019届高三上学期9月模拟考试卷理科数学word解析版.doc

江西省赣州中学2019届高三上学期9月模拟考试卷 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】集合，，则，故选B．‎ ‎2．若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】由，得，‎ 得，即的取值范围为，故选B．‎ ‎3．下列关于命题的说法正确的是（ ）‎ A．命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题 C．命题“，”的否定是“，”‎ D．命题“若，则”的逆否命题是真命题 ‎【答案】B ‎【解析】逐一分析所给命题的真假：‎ A．命题“若，则”的否命题是“若，则”，题中说法错误；‎ B．命题“若，则，互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确；‎ C．命题“，”的否定是“，”，题中说法错误；‎ D．命题“若，则”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误；‎ 故选B．‎ ‎4．已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（ ）‎ A．它们的焦距相等 B．它们的焦点在同一个圆上 C．它们的渐近线方程相同 D．它们的离心率相等 ‎【答案】D ‎【解析】由题知．则两双曲线的焦距相等且，焦点都在圆的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为，由于实轴长度不同故离心率不同．‎ 故本题答案选D．‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为的扇形，‎ 高是4的圆锥体．容易算得底面面积，‎ 所以其体积，应选答案D．‎ ‎6．执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由程序框图则，；，；，；，，‎ 由规律知输出．‎ 故本题答案选B．‎ ‎7．已知平面向量，，满足，，，则（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得：，且：，即，，，由平面向量模的计算公式可得：．故选B．‎ ‎8．已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知，又，即，‎ 所以．则，图象过点，则，‎ 即，所以，又，则．故，‎ 令，得，令，可得其中一个对称中心为．‎ 故本题答案选C．‎ ‎9．已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 可设为椭圆的左焦点，连接，，‎ 根据椭圆的对称性可得四边形是平行四边形，∴，∴，取，∵点到直线的距离不小于，∴，解得，，‎ ‎∴，∴椭圆的离心率的取值范围是，故选B．‎ ‎10．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题知结果有三种情况．（1）甲、乙、丙三名同学全参加，有种情况，其中甲、乙相邻的有种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有种情况；‎ ‎（2）甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有种情况；‎ ‎（3）甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有种情况，故本题答案选B．‎ 已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线的离心率，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把，转化为，从而求得点的横坐标．再在三角形中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形中，利用中位线定理得出，从而解决问题．‎ 解：由题意知：、，内切圆与轴的切点是点，作图 ‎∵，及圆的切线长定理知，，‎ 设内切圆的圆心横坐标为，则|，∴，在三角形中，‎ 由题意得，它是一个等腰三角形，，‎ ‎∴在三角形中，有，故选A．‎ ‎12．定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以在上的值域是，在上的值域是，‎ 所以函数在上的值域是，‎ 因为，所以，‎ 所以在上的值域是，‎ 当时，为增函数，在上的值域为，‎ 所以，解得；‎ 当时，为减函数，在上的值域为，‎ 所以，解得，‎ 当时，为常函数，值域为，不符合题意，‎ 综上，的范围是，故选D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知数列的首项为3，等比数列满足，且，则的值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】因为，且，所以，， ，‎ 相乘可得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，故答案为3．‎ ‎14．已知实数，满足不等式组，且的最大值为，‎ 则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出可行域，目标函数可变为，令，作出，由平移可知直线过时取最大值，则．‎ 则．故本题应填．‎ ‎15．已知半径为的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】如图，设四棱锥的侧棱长为，底面正方形的边长为，棱锥的高为．‎ 由题意可得顶点在地面上的射影为底面正方形的中心，则球心在高上．‎ 在中，，，，∴，‎ 整理得．又在中，有，‎ ‎∴，∴，∴．‎ 设，则，‎ ‎∴当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减．‎ ‎∴当时取得最大值，即四棱锥的体积取得最大值，‎ 此时，解得．‎ ‎∴四棱锥的体积最大时，底面边长等于，故答案为．‎ ‎16．如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，‎ 去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为，并且，，若将点到正八角星16个顶点的向量都写成，、的形式，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 设圆的半径为1，则，过作，交轴于，‎ 则为等腰三角形，∴，‎ ‎∴，此时，‎ 同理，此时，，此时，‎ ‎，此时，在顶点，，，处，，‎ ‎∴的最大值为，最小值为，故答案为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足：，，‎ 且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）设的公差为，则由已知得，‎ 即，解之得：或（舍），所以；‎ 因为，所以的公比，所以．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎18．（12分）如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心 ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）如图，延长交于点．因为为的重心，所以为的中点．‎ 因为为的中点，所以．因为是圆的直径，所以，‎ 所以．‎ 因为平面，平面，所以．又平面，平面，，所以平面．即平面，又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，．平面即为平面，设平面的一个法向量为，‎ 则令，得．‎ 过点作于点，由平面，易得，又，‎ 所以平面，即为平面的一个法向量．‎ 在中，由，得，则，．‎ 设，，，．‎ 所以．‎ 设二面角的大小为，则．‎ ‎19．（12分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组，，…，，并整理得到如图频率分布直方图：‎ ‎（1）估计其阅读量小于60本的人数；‎ ‎（2）一只阅读量在，，内的学生人数比为2:3:5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用表示所选学生阅读量在内的人数，求的分布列和数学期望；‎ ‎（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．‎ ‎【答案】（1）20；（2）；（3）第五组．‎ ‎【解析】（1）（人）．‎ ‎（2）由已知条件可知：内的人数为：，‎ 内的人数为2人，内的人数为3人，内的人数为5人．‎ 的所有可能取值为0，1，2，‎ ‎，，，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎．‎ ‎（3）估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第五组．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形．若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意可得，所以．由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得．所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）直线的解析式为，设，，的中点为．‎ 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，‎ 则．由，得，故，‎ 所以，．‎ 因为，所以，即，所以．‎ 当时，，所以；‎ 当时，，所以．‎ 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：．‎ ‎【答案】（1）在区间上为增函数；在区间上为减函数；‎ ‎（2）；（3）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）函数定义域为，；‎ 在区间上，为增函数；在区间上，为减函数；‎ ‎（2）令，‎ 在区间，为，为减函数；‎ 在区间，为，为增函数；，‎ 由（1）得，‎ 若关于的方程有实数解等价于．‎ 即：，．‎ ‎（3）原不等式等价于．‎ 由（1）得，当且仅当时取等号，‎ 即，当且仅当时取等号．‎ 令，，所以函数在上为增函数，‎ 所以，即，‎ 由此得，即．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）射线：（其中）与曲线交于，两点，与直线交于点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴直线的极坐标方程是，‎ 由，消参数得，∴曲线的极坐标方程是．‎ ‎（2）将分别代入，，得，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的值域；‎ ‎（2）若，试比较，，的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），‎ 根据函数的单调性可知，当时，．‎ 所以函数的值域．‎ ‎（2）因为，所以，所以．‎ ‎，，．‎ ‎，，，，，‎ 所以，所以．‎