2018-2019学年初三年级数学第一学期单元测试卷（二次函数）
一、选择题：（本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A、y=（x-1）2+2 B、y=（x+1）2+2 C、y=（x-1）2-2 D、y=（x+1）2-2
2、已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（ ）
A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限
3、将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（ )
A、y=（x+1）2+4 B、y=（x-1）2+4 C、y=（x+1）2+2 D、y=（x-1）2+2
4、设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（ ）
A、c=3 B、c≥3 C、1≤c≤3 D、c≤3
5、已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1 ， y2 ， y3 ，则y1 ， y2 ， y3的大小关系正确的是( )
A、y3＜y2＜y1 B、y1＜y2＜y3 C、y2＜y1＜y3 D、y3＜y1＜y2
6、已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A、有最小值0，有最大值3 B、有最小值﹣1，有最大值0
C、有最小值﹣1，有最大值3 D、有最小值﹣1，无最大值
7、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（ ）
A、B、C、D、
8、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为
A、B、C、D、
二、填空题（共5题；共20分）
9、函数y=（x﹣1）2+3的最小值为 ________．
10、已知二次函数 ，当 时，y有最小值1，则a=________．
11、如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同外，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中抽取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为________ ．
12、抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是________ .
13、老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数的图象经过第一、二、四象限；
乙：当x＜2时，y随x的增大而减小．
丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点．
已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数________．
三、解答题（共6题；共56分）
14、已知二次函数y=2x2﹣8x．（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．
15、已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标．
16、拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为多少米？
17、抛物线y=－与y轴交于（0,3），⑴求m的值；⑵求抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标；⑶当x取何值时，抛物线在x轴上方？⑷当x取何值时，y随x的增大而增大？
18、某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：
（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？（3）如果公司想要在这段时间内获得2 250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
19、如图，二次函数的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）请直接写出点D的坐标：（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
2018-2019学年初三年级数学第一学期单元测试卷（二次函数）
答案解析
一、单选题
1、【答案】A
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【解答】将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x-1)2+2，
故选：A．
2、【答案】D
【考点】二次函数的性质，一次函数的性质
【解析】
【分析】二次函数图象的开口向上时，二次项系数a＞0；一次函数y=kx+b（k≠0)的一次项系数k＞0、b＜0时，函数图象经过第一、三、四象限．
【解答】∵二次函数y=ax2的图象开口向上，
∴a＞0；
又∵直线y=ax-1与y轴交于负半轴上的-1，
∴y=ax-1经过的象限是第一、三、四象限．
故选D．
3、【答案】D
【考点】二次函数的三种形式
【解析】
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
【解答】y=x2-2x+3=x2-2x+1-1+3=（x-1)2+2．
故选：D．
【点评】二次函数的解析式有三种形式：
（1)一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数)；
（2)顶点式：y=a（x-h)2+k；
（3)交点式（与x轴)：y=a（x-x1)（x-x2)．
4、【答案】B
【考点】二次函数的性质，二次函数与不等式（组），二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
【分析】因为当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，所以函数图象过（1，0)点，即1+b+c=0①，由题意可知当x=3时，y=9+3b+c≤0②，所以①②联立即可求出c的取值范围．
【解答】∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴函数图象过（1，0)点，即1+b+c=0①，
∵当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，
①②联立解得：c≥3，
故选B．
5、【答案】B
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据抛物线的性质，开口向上的抛物线，其上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，x取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，即可得到答案．
【解答】∵二次函数y=a（x-2)2+c（a＞0)，
∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
∵x取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，
∴y3＞y2＞y1 ．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
6、【答案】C
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【解析】【分析】根据函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即是函数的最值．
【解答】根据图象可知此函数有最小值-1，有最大值3．
故选C．
【点评】此题主要考查了根据函数图象判断函数的最值问题，结合图象得出最值是利用数形结合，此知识是部分考查的重点．
7、【答案】C
【考点】一次函数的图象，二次函数的图象
【解析】【解答】解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
故选：C．【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．
8、【答案】B
【考点】二次函数的图象
【解析】【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，应用排它法求解，而不一定要通过求解析式来解决：
∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，
∴AN=1。∴当点M位于点A处时，x=0，y=1。
①当动点M从A点出发到AM=的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；
②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等，故排除A、C。
故选B。
二、填空题
9、【答案】3
【考点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据非负数的性质，（x﹣1）2≥0，
于是当x=1时，
函数y=（x﹣1）2+3的最小值y等于3．
故答案为：3．
【分析】根据顶点式得到它的顶点坐标是（1，3），再根据其a＞0，即抛物线的开口向上，则它的最小值是3．
10、【答案】
【考点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵ y = x2−2ax+3 =（x-a）2-a2+3，
∴抛物线对称轴为直线x=a，开口向上，
①当-1a2时，
即对称轴在 − 1 ≤ x ≤ 2之间，y的最小值是顶点的纵坐标值，
即-a2+3=1，解得：a1=，a2=（与-1a2矛盾，舍去）.
②当a-1时，
即对称轴在 − 1 ≤ x ≤ 2左侧，则当x=-1时，y有最小值，
即（-1-a）2-a2+3=1，解得：a=.
③当a2时，
即对称轴在 − 1 ≤ x ≤ 2右侧，则当x=2时，y有最小值，
即（2-a）2-a2+3=1，解得：a=（与a2矛盾，舍去）.
综上，a=或.
故答案为：或.
【分析】把二次函数解析式整理成顶点式，然后得出对称轴为直线x=a，再分 ①当-1a2时， ②当a-1时， ③当a2时三种情况，利用二次函数增减性讨论求解.
11、【答案】
【考点】正比例函数的图象和性质，反比例函数的性质，二次函数的图象，概率公式，一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵4张卡片中只有第2个经过第四象限，
∴取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为，
故答案为：．
【分析】用不经过第四象限的个数除以总个数即可确定答案．
12、【答案】y=﹣2x2﹣4x﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3
【分析】根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．
13、【答案】y=（x﹣2）2
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵当x＜2时，y随x的增大而减小．当x＜2时，y＞0．
∴可以写一个对称轴是x=2，开口向上的二次函数就可以．
∵函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象与坐标轴只有两个交点．
∴所写的二次函数的顶点可以在x轴上，
顶点是（2，0），并且二次项系数大于0的二次函数，就满足条件．
如y=（x﹣2）2 ， 答案不唯一．
【分析】当x＜2时，y随x的增大而减小，对称轴可以是x=2，开口向上的二次函数．函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象与坐标轴只有两个交点，则顶点坐标为（2，0）二次函数的顶点在x轴上．顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．
三、解答题
14、【答案】解：（1）y=2x2﹣8x=2（x2﹣4x+4﹣4）=2（x﹣2）2﹣8；
（2）在y=2x2﹣8x中令y=0，则2x2﹣8x=0，解得：x1=0，x2=4，
则A的坐标是（0，0），B的坐标是（4，0）；
（3）y=2（x﹣2）2﹣8沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位后的解析式是：y=2x2﹣5．
【考点】二次函数图象与几何变换，抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】（1）利用配方法即可直接求解；
（2）在解析式中令y=0，求得x即可求得A和B的横坐标；
（3）根据二次函数的平移法则即可直接写出平移后的解析式．
15、【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，
∴△=4﹣4（k﹣1）≥0．
∴k≤2．
∵k为正整数，
∴k=1，2；
（2）设方程x2+2x+k﹣1=0的两根为x1 ， x2 ， 则
x1+x2=﹣2，x1•x2=k﹣1，
当k=1时，方程x2+2x+k﹣1=0有一个根为零；
当k=2时，方程x2+2x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1．
k=2符合题意．
二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2 ，
对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，0）．
【考点】根的判别式，二次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，可推△≥0，求出k的取值范围，得出k的数值即可；
（2）分别把k的值代入方程2x2+4x+k﹣1=0，解得结果根据方程有两个非零的整数根进行分析，确定k的值，进一步利用二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．
16、【答案】解：以桥顶为坐标原点建立直角坐标系，如图示：
水面和y轴的交点坐标是（0，-）
水面和拱桥的交点的纵坐标也是-，
当y=-时，-=-
=25 或
水面的宽度：5-（-5）=10（米）
【考点】二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据题意，把y=直接代入求解即可．本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
17、【答案】（1）由抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）得：m=3．
∴抛物线为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4．
列表得：
X
-1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
图象如图：
（2）由-x2+2x+3=0，得：x1=-1，x2=3．
∴抛物线与x轴的交点为（-1，0），（3，0）．
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4
∴抛物线顶点坐标为（1，4）．
（3）由图象可知：
当-1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．
（4）由图象可知：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
【考点】二次函数的性质，二次函数与不等式（组），二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）直接把点（0，3）代入抛物线解析式求m，确定抛物线解析式，根据解析式确定抛物线的顶点坐标，对称轴，开口方向，与x轴及y轴的交点，画出图象．
（2）、（3）、（4）可以通过（1）的图象及计算得到．
18、【答案】解：（1）y=（x-50）•w=（x-50）•（-2x+240）=-2x2+340x-12000，
因此y与x的关系式为：y=-2x2+340x-12000．
（2）y=-2x2+340x-12000=-2（x-85）2+2450，
∴当x=85时，在50＜x≤90内，y的值最大为2450．
（3）当y=2250时，可得方程-2（x-85）2+2450=2250，
解这个方程，得x1=75，x2=95；
根据题意，x2=95不合题意应舍去．
答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．
【考点】二次函数的最值，二次函数的应用
【解析】【分析】（1）利用每千克销售利润×销售量=总销售利润列出函数关系式，整理即可解答；
（2）利用配方法可求最值；
（3）把函数值代入，解一元二次方程解决问题．
19、【答案】（1）（﹣3，4）；
（2）设PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴
∴l=﹣
∴当t=时，l有最大值
即P为AO中点时，OE的最大值为；
（3）存在．
①点P点在y轴左侧时，P点的坐标为（﹣4，0）
由△PAD∽△OEG得OE=PA=1
∴OP=OA+PA=4
∵△ADG∽△OEG
∴AG：GO=AD：OE=4：1
∴AG=，
∴重叠部分的面积=；
②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），
此时重叠部分的面积为.
【考点】二次函数的最值
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；
（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；
（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．
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