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第十二章 全等三角形过关测试
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
3．如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
4．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等
5．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
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A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
6．如图，△ABC≌△BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AD=DC B．AC=BD C．∠A=∠B D．∠D=∠C
7．如图，△ABC≌△EBD，∠E=50°，∠D=62°，则∠ABC的度数是（ ）
A．68° B．62° C．60° D．50°
8．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
9．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．225°
10．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距高，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使得CD=BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
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二．填空题
11．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为 ．
12．在学习“用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB”时，教科书介绍如下：*作法：（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E；
（2）分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C；
（3）作射线OC．
则OC就是所求作的射线．
小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC就是∠AOB的平分线．
小华的思路是连接DC、EC，可证△ODC≌△OEC，就能得到∠AOC=∠BOC．其中证明△ODC≌△OEC的理由是 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= cm．
14．如图，直线l1∥l2∥l3，l1与l2的距离为2，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为 ．
15．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于 ．
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16．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则
∠3= ．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则∠A的度数是 度．（用含α的代数式表示）
18．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有①，②，③，④的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块．
三．解答题
19．如图，在△ABC中，∠C=90°．
（1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
（2）若AB=10cm，CD=4cm，求△ABD的面积．
20．如图，△ADF≌△BCE，∠B=32°，∠F=28°，BC=5cm，CD=1cm
求：（1）∠1的度数
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（2）AC的长
21．如图，完成下列推理过程：
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠3，∠E=∠C，AE=AC，求证：△ABC≌△ADE．
证明：∵∠E=∠C（已知），
∠AFE=∠DFC（ ），
∴∠2=∠3（ ），
又∵∠1=∠3（ ），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴ +∠DAC= +∠DAC（ ），
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∵
∴△ABC≌△ADE（ ）．
22．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD=EC+ED．
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23．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥FB．
24．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
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答案：
1-10： BBDD BACB C
11． 4 ． 12． SSS ． 13． 7 ． 14． ． 15． 4 ．
16． 55° ． 17． 180°﹣2α 度．（用含α的代数式表示） 18． ① ．
19．【解】：（1）如图所示，AD即为所求；
（2）如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=CD=4，
∴S△ABD=AB×DE=×10×4=20cm2．
20．【解】：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F=28°，
∴∠E=∠F=28°，
∴∠1=∠B+∠E=32°+28°=60°；
（2）∵△ADF≌△BCE，BC=5cm，
∴AD=BC=5cm，又CD=1cm，
∴AC=AD+CD=6cm．
21．【证明】：∵∠E=∠C（已知），
∠AFE=∠DFC（对顶角相等），
∴∠2=∠3（三角形内角和定理），
又∵∠1=∠3（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式的性质），
即∠BAC=∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
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故答案为：对顶角相等；三角形内角和定理；已知；∠1；∠2；等式的性质；SAS．
22．【证明】：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°．
∴∠ABD=∠DAC．
∵在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
∴BD=AE，EC=AD．
∵AE=AD+DE，
∴BD=EC+ED．
23．【证明】：∵AD=BC，∴AC=BD，
在△ACE和△BDF中，，
∴△ACE≌△BDF（SSS）
∴∠A=∠B，
∴AE∥BF；
24．【解】：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
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即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
则，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
则，
解得：；
综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．
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