3.3 垂径定理(1)
(1)圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴.(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.
1.如图所示，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是(B).
A.6 B.5 C.4 D.3
(第1题)(第2题)(第3题)(第4题)
2.如图所示，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连结CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中，正确的是(D).
A.AD=2OB B.CE=EO C.∠OCE=40° D.∠BOC=2∠BAD
3.如图所示，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是(C).
A.3 B.6 C.9 D.12
4.如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为(D).
A.8 B.10 C.16 D.20
5.如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点P，且AB=CD=8，则OP的长为(C).
A.3 B.4 C.32 D.42
(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)
6.如图所示，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD=8，则△ACD的面积是 32 ．
7.如图所示，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(1，0)，以点P为圆心，AP长为半径作弧，与x轴交于点B，则点B的坐标为 (7，0) ．
8.如图所示，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 2 .
(第9题)
9.如图所示，在同一平面内，有一组平行线l1，l2，l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为点A，B，AB=12，求⊙O的半径．
【答案】如答图所示，连结OA，过点O作OD⊥AB于点D.
（第9题答图）
∵AB=12，∴AD=AB=6.∵相邻两条平行线之间的距离均为4，∴OD=8.在Rt△AOD中，∵AD=6，OD=8，∴OA===10.∴⊙O的半径为10.
（第10题）
10.如图所示，在平面直角坐标系中，以点C(2，3)为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点.
(1)求A，B两点的坐标.
(2)若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的表达式.
【答案】(1)过点C作CM⊥x轴于点M，则MA=MB，连结AC，如答图所示.
（第10题答图）
∵点C的坐标为(2，)，∴OM=2，CM=.在Rt△ACM中，CA=2，∴AM==1.∴OA=OM-AM=1，OB=OM+BM=3.∴点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(3，0).
(2)将点A(1，0)，B(3，0)代入y=x2+bx+c，得,解得.∴二次函数的表达式为y=x2-4x+3.
11.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为点M，则AC的长为(C).
A.2cm B.4cm C.2cm或4cm D.2cm或4cm
12.如图所示，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是(B).
A.4 B.3 C.3 D.3+
(第12题)(第13题) （第14题）(第15题)
13.如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=10，AB=16，∠A=∠B=60°，则BC的长为(B).
A.20 B.26 C.28 D.30
（第16题）
14.如图所示，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结BO并延长交⊙O于点E，连结CE，若AB=4，CD=1，则CE的长为 .
15.如图所示，⊙O的半径是4，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点E，F，G，连结EF.若OG=1，则EF= ．
16.如图所示，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=8，OC=6，则AB= .
(第17题)
17.如图所示，已知在⊙O中，AB，CD两弦互相垂直于点E，AB被分成4cm和10cm两段．
(1)求圆心O到CD的距离．
(2)若⊙O半径为8cm，求CD的长是多少.
【答案】(1)如答图所示，作OG⊥CD于点G，OF⊥AB于点F.∵∠OGE＝∠GEF＝∠OFE＝90°，
∴四边形OGEF是矩形.∴OG＝EF.
（第17题答图）
∵OF⊥AB，∴AF＝AB＝×(4＋10)＝7(cm).∴OG＝EF＝AF－AE＝3(cm).∴点O到CD的距离为3cm.
(2)如答图所示，连结OD，在Rt△ODG中，OD＝8cm，OG＝3cm，∴GD＝＝
(cm).∵OG⊥CD，∴CD＝2GD＝2 (cm).
(第18题)
18.如图所示，四边形ADFE和四边形BCDG都为正方形，且点F，D，C在半圆O的直径上，点E，A，B在半圆O的圆弧上，若小正方形边长为4，求该半圆的半径．
（第18题答图）
【答案】如答图所示，连结OA，OB，OE.∵四边形ADFE为正方形，∴EF=AD.∵OE=OA，OF=，OD=，∴OD=OF.设OD=x，则OC=x+4，AD=2x.在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2=x2+(2x)2=5x2，
在Rt△OBC中，OB2=OC2+BC2=(x+4)2+42，∵OA=OB，∴(x+4)2+42=5x2,解得x1=4，x2=-2(舍去).∴OA=x=4，即该半圆的半径为4.
（第19题）
19.【阿坝州】如图所示，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(D).
A.2cm B. cm C.2cm D.2cm
20.【雅安】⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是 4≤OP≤5 .
（第21题）
21.如图所示，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=120°，点C是上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．
(1)当BC=4时，求线段OD的长．
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)∵OD⊥BC，∴BD=BC=2.∴OD==2.
（第21题答图）
(2)存在，DE的长度不变.理由如下：如答图所示，连结AB.过点O作AB的垂直平分线，与交于点F，与AB交于点M，则OM平分∠AOB与AB，∴∠AOF=60°.∴在Rt△AOF中，∠FAO=30°.∵OA=2，∴OF=.∴AF==3.∴AB=2AF=6.由垂径定理可知，点D，E分别是BC和CA的中点，∴DE是△ABC的中位线.∴DE=AB=3.
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