第3章综合测评卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，D是AB边的中点，以点C为圆心、2.4cm为半径作圆，则点D与⊙C的位置关系是(B).
A.点D在⊙C上 B.点D在⊙C外
C.点D在⊙C内 D.不能确定
2.如图所示，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为(D).
A.40° B.50° C.80° D.100°
(第2题) （第3题）（第4题）（第5题）
3.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B=3∠BAC，则∠ADC等于(B).
A.100° B.112.5° C.120° D.135°
4.运用图形变化的方法研究下列问题：如图所示，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8，则图中阴影部分的面积是(A).
A. π B.10π C.24+4π D.24+5π
5.如图所示，在⊙O中，半径OC垂直弦AB，垂足为点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是(C).
A.3 B.2.5 C.2 D.1
6.观察下列图片及相应推理，其中正确的是(B).
A. B. C. D.
7.如图所示，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的上，且∠1=∠2，若扇形EOF的面积为3π，则菱形OABC的边长为(C).
A. B.2 C.3 D.4
(第7题)(第8题)(第9题)
8.如图所示，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为(D).
A.πcm B.2πcm C.3πcm D.4πcm
9.如图所示，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B是
的中点.P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为(A).
A. B.1 C.2 D.2
10.如图1所示为一张圆形纸片，小芳对其进行了如下连续操作：将纸片左右对折，折痕为AB，如图2所示；将纸片上下折叠，使A，B两点重合，折痕CD与AB相交于点M，如图3所示；将纸片沿EF折叠，使B，M两点重合，折痕EF与AB相交于点N，如图4所示；
连结AE，AF，如图5所示．经过以上操作，小芳得到了以下结论：①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF是等边三角形；④S△AEF∶S圆3∶4π.以上结论正确的有(D).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(第10题)
二、填空题(每题4分，共24分)
11.一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的圆周角为 75°或105° ．
12.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，P，Q分别是边AB，BC上的点，且BP=CQ，则∠POQ= 72° .
（第12题） (第13题)(第15题)
13.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm．
14.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y=kx－3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为 24 ．
15.如图所示，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C是上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E.若DE=1，则扇形AOB的面积为 ．
16.正方形和圆都是人们比较喜欢的图形，给人以美的感受.某校数学兴趣小组在学习中发现：
(第16题)
(1)如图1所示，研究在以AB为直径的半圆中，裁剪出面积最大的正方形CDEF时惊喜地发现，点C和点F其实分别是线段AF和BC的黄金分割点.如果设圆的半径为r，此时正方形的边长a1= r ．
(2)如图2所示，如果在半径为r的半圆中裁剪出两个同样大小且分别面积最大的正方形的边长a2= r .如图3所示，并列n个正方形时的边长an= 2 ．
(3)如图4所示，当n=9时，我们还可以在第一层的上面再裁剪出同样大小的正方形，也可以再在第二层的上面再裁剪出第三层同样大小的正方形，则最多可以裁剪到第 5 层.
三、解答题(共66分)
17.（6分）如图所示，在扇形AOB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2 时，求阴影部分的面积.
（第17题） （第17题答图）
【答案】如答图所示，连结OC.∵在扇形AOB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD=45°.∴OD＝CD＝2.∴OC==4.∴S阴影=S扇形BOC-S△ODC=×π×42-×(2)2=2π-4.
(第18题)
18.(8分)如图所示，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点M在x轴上，⊙M半径为2，⊙M与直线l相交于A，B两点，若△ABM为等腰直角三角形，求点M的坐标．
【答案】
（第18题答图）
如答图所示，过点M作MC⊥l于点C.∵△MAB是等腰直角三角形，∴MA＝MB.∴∠BAM＝∠ABM＝45°.∵MC⊥直线l，∴∠BAM＝∠CMA＝45°.∴AC＝CM.在Rt△ACM中，∵AC2＋CM2＝AM2，
∴2CM2＝4，即CM＝.在Rt△OCM中，∠COM＝30°，∴OM＝2CM＝2.∴M(2，0).
根据对称性，在负半轴的点M(－2，0)也满足条件.∴点M的坐标为(2，0)或(-2，0).
19.(8分)赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.若桥跨度AB约为40m，主拱高CD约10m.
(1)如图1所示，请通过尺规作图找到桥弧所在圆的圆心O(保留作图痕迹).
(2)如图2所示，求桥弧AB所在圆的半径R.
图1图2（第19题） 图1图2
（第19题答图）
【答案】(1)如答图1所示.
(2)如答图2所示，连结OA.由(1)中的作图可知：△AOD为直角三角形，D是AB的中点.∴AD=
AB=20（m）.∵CD=10m，∴OD=(R-10)m.在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2=AD2+OD2，即R2=202+(R-10)2，解得R=25.∴桥弧AB所在圆的半径R为25m.
(第20题)
20.(10分)如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，C是上一点(不与点A，B重合)，设∠OAB=α，∠C=β．
(1)当α=35°时，求β的度数．
(2)猜想α与β之间的关系，并给予证明．
【答案】
（第20题答图）
(1)如答图所示，连结OB，则OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=35°.∴∠AOB=110°.∴β=∠AOB=55°.
(2)α+β=90°.证明：∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=α.∴∠AOB=180°-2α.
∴β=∠AOB=90°-α.∴α+β=90°.
21.（10分）如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，E为上任意一点，连结DE，AE.
(1)求∠AED的度数.
(2)如图2所示，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连结AF，AF=1，AE=4，求DE的长.
图1图2（第21题） 图1图2
（第21题答图）
【答案】(1)如答图1所示，连结OA，OD.∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°.∴∠AED=
∠AOD=45°.
(2)如答图2所示，连结CF，CE，CA，BD，过点D作DH⊥AE于点H.∵BF∥DE，∴∠FBD＝∠EDB.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD.∴∠ABD＝∠CDB.∴∠ABF＝∠CDE.∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°.∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF.∴CE=AF=1.∴AC==.∴AD=AC=
.∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°.∴DH=HE.设DH=EH=x.在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴（）2=(4-x)2+x2，解得x=或.∴DE=DH=或.
22.(12分)已知⊙O中，AB=AC，P是∠BAC所对弧上一动点，连结PB，PA．
(1)如图1所示，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，求证：P，C，Q三点在同一条直线上．
(2)如图2所示，连结PC，若∠BAC=60°，试探究PA，PB，PC之间的关系，并说明理由．
(3)若∠BAC=120°，(2)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．
(第22题) 图1图2
（第22题答图）
【答案】(1)如答图1所示，连结PC.∵把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，∴∠ABP=∠ACQ.
∵四边形ABPC为⊙O的内接四边形，∴∠ABP+∠ACP=180°.∴∠ACQ+∠ACP=180°.∴P，C，Q三点在同一条直线上.
(2)PA=PB+PC.理由如下：如答图2所示，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ.∴P，C，Q三点在同一条直线上，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ.∵∠BAC=60°，即∠BAP+∠PAC=60°，∴∠PAC+∠CAQ=60°，即∠PAQ=60°.∴△APQ为等边三角形.∴PQ=PA.∴PA=PC+CQ=PC+PB.
(3)(2)中的结论不成立. PA=PB+PC.
23.(12分)
某班学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求：杯口直径AB=6cm，杯底直径CD=4cm，杯壁母线AC=BD=6cm.请你和他们一起解决下列问题：
(1)小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图(如图2所示，忽略拼接部分)，得到图形是圆环的一部分．
①图2中的长为 6πcm ，的长为 4πcm ，ME=NF= 6cm .
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定MN所在圆的圆心O，如图3所示.小顾同学发现之间存在以下关系：，请你帮她证明这一结论.
③根据②中的结论，求所在圆的半径r及它所对的圆心角的度数n°．(2)小顾同学计划利用矩形、正方形纸各一张，分别按如图4、图5所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长．
(第23题)
【答案】(1)6πcm 4πcm 6cm
②设MN所在圆的半径为r，所对的圆心角度数为n°，则，
∴.
③∵，解得r=12.∵=，∴=4π，
解得n=60.∴所在圆的半径r为12cm，它所对的圆心角的度数为60°.
(2)如答图所示，连结EF，延长EM，FN交于点O，
（第23题答图）
设RS与交于点P，OP交ZX于点Q.∵∠MON=60°，∴△MON和△EOF是等边三角形，∴EF=12+6=18，∵OQ⊥MN，MQ=QN，∴∠QON=30°.∴OQ=6.∴长方形的宽为(18-6)cm.
设正方形边长为x（cm）.∵EF=18，∴BE=BF=9.在Rt△AOE中，AO2+AE2=OE2，即x2+(x-9)2=182，解得x= (±)，∴正方形边长为 (+)cm.
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