2018年高2017级10月
数 学试 题
（时间：120分钟，满分：150分）
命题人： 审题人：
班级 姓名 考号
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．3
2、点P(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为( )
A．1 B．2 C. D.
3、直线3x＋y＋1＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．120° D．135°
4、方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A．m－ C．m≤－ D．m≥－
5、若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为
A. 1，-1 B. 2，-2 C. 1 D. -1
6、已知空间两点A（2，﹣1，﹣3），B（﹣2，3，﹣1），则A，B两点之间的距离是（ ）
A．6 B． C． D．
7、若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．±1 D．0
8、已知θ为直线y=3x﹣5的倾斜角，若A（cosθ，sinθ），B（2cosθ+sinθ，5cosθ﹣sinθ），则直线AB的斜率为（ ）
A．3 B．﹣4 C． D．﹣
9、过点P(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0
10、已知A（﹣3，0），B（0，4），点C在圆（x﹣m）2+y2=1上运动，若△ABC的面积的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
11、已知方程kx+3﹣2k=有两个不同的解，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12、如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数（m＞0，m≠1）的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）
A．[，） B．（，] C．[，] D．（，）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13、已知直线l1：2x﹣y+1=0，l2：ax+4y﹣2=0，若l1⊥l2 ， 则a的值为
14、两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线的条数是________．
15、已知两点A(1,2),B(3,4)到直线的距离相等，则=_________.
16、若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、(本小题10分)
已知直线l过直线l1：3x﹣5y﹣10=0和l2：x+y+1=0的交点，且平行与l3：x+2y﹣5=0，求直线l的方程．
18、(本小题12分)
19、(本小题12分)
已知一圆C的圆心为（-1，2），且该圆被直线l：2x﹣y﹣1=0 截得的弦长为4，
（Ⅰ）求该圆的方程.
（Ⅱ）求过点P（-4，-2）的该圆的切线方程．
20、(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．
（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；
（2）求证：EF⊥B1C．
21、(本小题12分)
已知圆C：x2＋y2－2x－2ay＋a2－24＝0(a∈R)的圆心在直线2x－y＝0上．
(1)求实数a的值；
(2)求圆C与直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)相交弦长的最小值．
22、(本小题12分)
已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
（1）求圆C的方程；
N
（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2018年秋高2017级10月数学试题答案
一、选择题: 1-4：ACCB 5-8：DACD 9-12：ADBC
8、解：∵θ为直线y=3x﹣5的倾斜角，∴tanθ=3，
∵A（cosθ，sinθ），B（2cosθ+sinθ，5cosθ﹣sinθ），
∴直线AB的斜率为：k====﹣．
9、解：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得＝，即3x－y－5＝0.答案：A
10、解：如图，∵圆（x﹣m）2+y2=1的圆心为（m，0），半径为1，
过圆心作AB所在直线的垂线，交圆于C，此时△ABC的面积最小．
直线AB的方程为4x﹣3y+12=0，|AB|=5，
∴圆心到直线AB的距离为d=，
∴三角形ABC的面积的最小值为S=×5×||=，
解得：m=﹣3（舍），m=，m=﹣．∴实数m的值为或．
11、由题意得，半圆y=和直线y=kx﹣2k+3有两个交点，又直线y=kx﹣2k+3过定点C（2，3），如图：
当直线在AC位置时，斜率k==．
当直线和半圆相切时，由半径2=，
解得k=，故实数k的取值范围是（，]，
12、解：∵当x+1=0，即x=﹣1时，y=f（x）=mx+1+1=1+1=2，
∴函数f（x）的图象恒过一个定点（﹣1，2）；
又直线2ax﹣by+14=0过定点（﹣1，2），∴a+b=7①；
又定点（﹣1，2）在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，
∴（﹣1﹣a+1）2+（2+b﹣2）2≤25，即a2+b2≤25②；
由①②得，3≤a≤4，∴≤≤，∴==﹣1∈[，]；
二、填空题: （本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13、2 14、2
15、 16、30－10
16、把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+2）2=25，
则圆心A坐标为（1，﹣2），圆的半径r=5，
设圆上一点的坐标为（x，y），原点O坐标为（0，0），
则|AO|=，|AB|=r=5，
所以|BO|=|AB|﹣|OA|=5﹣．
则x2+y2的最小值为（5﹣）2=30﹣10．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解：联立方程组：，解得：交点坐标：…………4分
∵直线所求直线l与l3：x+2y﹣5=0平行
∴直线l的斜率k=2……………………7分
∴所求直线l的方程为：16x﹣8y﹣23=0……………………10分
18、（1）
（2）
19、解：（Ⅰ）设圆C的方程是（x+1）2+（y-2）2=r2（r＞0），
则弦长P=2，
其中d为圆心到直线2x﹣y﹣1=0的距离，
∴P=4，∴r2=9，
∴圆的方程为（x+1）2+（y-2）2=9…（4分）
（Ⅱ）当切线的斜率存时，设切线方程为y+2=k（x+4）
由，得k=
所以切线方程为 …（10分）
当切线斜率不存在的时候，切线方程为：x=－4．
故圆的切线方程为或x=－4．…（12分）
20、证明：（1）由题知，EF是△AA1B的中位线，
所以EF∥A1B……………（2分）
由于EF⊄平面BC1A1，A1B⊂平面BC1A1，
所以EF∥平面BC1A1．……………（5分）
（2）由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1．……（6分）
又∠A1C1B1=∠ACB=90°，所以A1C1⊥C1B1．
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面A1C1B1，A1C1⊂平面A1C1B1，从而A1C1⊥CC1，
又CC1∩C1B1=C1，CC1，C1B1⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，
又B1C⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C..……………（9分）
因为A1C1∩BC1=C1，A1C1，BC1⊂平面BC1A1，所以B1C⊥平面BC1A1．……………（10分）
又A1B⊂平面BC1A1，所以B1C⊥A1B．
又由于EF∥A1B，所以EF⊥B1C．……………（12分）
21、解：(1)圆C的方程可化为(x－1)2＋(y－a)2＝25，将圆心坐标(1，a)代入直线方程2x－y＝0中，得a＝2.……………………4分
(2)因为直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)，
所以l恒过点M(3，1)．由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短，
又|CM|＝＝，
所以弦长为l＝2＝2＝4.………………12分
22、解：（1）设圆心C（a，0）（a＞﹣），
∵直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，
∴d=r，即 =2，解得：a=0或a=﹣5（舍去），
则圆C方程为x2+y2=4； …（5分）
（2）当直线AB⊥x轴，则x轴必平分∠ANB，
此时N可以为x轴上任一点，当直线AB与x轴不垂直时，
若x轴平分∠ANB，设N为（t，0）
则kAN=﹣kBN，即+=0，
整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，即+2t=0，
解得：t=4，
当点N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．…（12分）
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