2018年秋期四川省棠湖中学高三第一学月考试
文科数学
第I卷 选择题（共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知向量，则向量的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
B
A
C
3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为
A． B．
C． D.
4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．设,是两条不同的直线, ,,是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若，，，则； ②若，，则；
③ 若，，，则；④ 若，，，则．
其中错误命题的序号是
A．①③ B．①④ C．②③④ D．②③
6. 函数的零点所在区间为
A. B. C. D.
7．如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点
恰好取自阴影部分的概率为
A． B． C． D．
8．，则
A. B. C.错误！未找到引用源。 D.
9．若是等差数列，首项公差，，且,则使数列的前n项和成立的最大自然数n是
A．4027 B．4026 C．4025 D．4024
10.已知函数在R上是减函数，则的取值范围是
A． B C． D．
11. 定义在上的函数若关于的方程恰好有5个不同的实数解，则
A. B. C. D.1
12已知函数。若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C.错误！未找到引用源。 D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.点在不等式组 表示的平面区域内，则的最大值为_______.
14．当函数取得最大值时， .
15.四面体中，，，
，则四面体外接球的表面积为 ．
16.若对任意的，都有，且，，则的值为 .
三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
设函数．
（Ⅰ）求的最小正周期．
（Ⅱ）若函数与的图象关于直线对称，求当时的最大值．
18.（本小题满分12分）
某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（Ⅰ）已知选取的是1月至6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；
（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？
参考公式：回归直线的方程，其中，．
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，，且底面，为棱的中点．
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）当四面体的体积最大时，求四棱锥的体积．
20.（本题满分12分）
如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在轴上，抛物线上的点A到F
的距离为2，且A的横坐标为1. 过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；
若不过某定点，请说明理由.
21．（本题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；
（Ⅱ）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。
（二） 选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答至选做题答题区域，标清题号 . 如果多做，则按所做第一题计分.
22. （本小题满分10分）
已知直线， (为参数，为倾斜角).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为.
（Ⅰ）将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的取值范围.
23.（本小题满分10分）
已知函数.
（Ⅰ）当时求函数的最小值；
（Ⅱ）若函数在上恒成立求实数的取值范围.
2018年秋期四川省棠湖中学高三第一学月考试
文科数学答案
1-5：BCACB 6-10：DCCBD 11-12：DA
13. 6 14．； 15. 16.-1
17.解：（Ⅰ）
. ………………4分
故的最小正周期为 ………………6分
（Ⅱ）解法一： 在的图象上任取一点，它关于的对称点 …………………………8分
由题设条件，点在的图象上，从而
…………………………………………10分
当时，， ………………………11分
因此在区间上的最大值为………………12分
解法二：因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于x = 1对称，故在上的最大值就是在上的最大值………10分
由（Ⅰ）知,当时，………11分
因此在上的最大值为 . ……………12分
18．解：（Ⅰ）由数据求得，
，
，
由公式求得，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为．
（Ⅱ）当x=10时，，；
同样，当x=6时，，．
所以，该协会所得线性回归方程是理想的．
19（1）因为，设为的中点，所以，
又平面，平面，所以，又，
所以平面，又，所以平面．
（2），设，，
则四面体的体积，
当，即时体积最大，
又平面，平面，所以，因为，
所以平面，
．
20.解：⑴设抛物线方程为C：，……………………………2分
由其定义知，又，
所以，……………4分
⑵易知，设，
DE方程为…6分
把DE方程代入C，并整理得，
………………………………8分
由及得
，所以，代入DE方程得：
，即………………………………………10分
故直线DE过定点…………………………………………………12分
21.解：（Ⅰ） ------1分
由题意得： ------2分
得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ------4分
（Ⅱ）设； 则过切点的切线方程为 ------5分
令；则
切线与曲线只有一个公共点只有一个根
，且 -----6分
（1）当时，
得：当且仅当时，
由的任意性，不符合条件 ------7分
（2）当时，令
①当时，
当且仅当时，在上单调递增
只有一个根 ------8分
②当时，
得：，又
存在两个数使，
得：又
存在使，与条件不符。 --10分
③当时，同理可证，与条件不符 ----11分
从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点 12分
22. 解：（Ⅰ）由及，得，即
所以曲线的极坐标方程为
（II）将的参数方程代入，得
∴ 所以，又，
所以，且
所以
由，得，所以.
故的取值范围是
23.（1）当时,
,当且仅当,即时等号成立,
所以．(5分)
（2）由题意得在上恒成立,
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