南康中学2018-2019学年度第一学期高二第一次大考
数学(理科)试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．若表示点,表示直线,表示平面,则下列叙述中正确的是( )
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,,则
2．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图的面积为( )
A． B． C． D．
3．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则 ( )
A． B． 10 C． D．12
4.下列结论中正确的是( )
A.若直线上有无数个点不在平面内，则//．
B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都平行．
C．若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线都垂直．
D．四边形确定一个平面．
5．已知半径为1的动圆与定圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．
B．或
C．
D．或
6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A．60 B．30
C．20 D．10
7．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A． 向左平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度
C． 向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度
8． 在正方体中，M和N分别为和的中点，那么直线 和所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图,在中,,直线过点且垂直于,动点,当点P逐渐远离点A时,的大小( )
A．变大 B．变小
C．不变 D．有时变大有时变小
10．如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,其中分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面，其中恒成立的为（ ）
A． ①③ B． ③④ C． ①④ D． ②③
11．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
12. 在等腰直角中，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是（ ）
A. 线段为定长 B.
C. D. 点的轨迹是圆弧
二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．
13．若在圆的直径上,则直线的方程是_______.
14．已知中，角A、B、C的对边分别为且，则______．
15．如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使，则线段B1F的长为_____．
16．在直三棱柱中,底面为等腰直角三角形, , , 若、、别是棱、、的中点,则下列三个说法:
； ②三棱锥的外接球的表面积为；
③三棱锥的体积为；
其中正确的说法有__________．(把所有正确命题的序号填在答题卡上)
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．
17、已知圆与直线相交于不同的两点，为坐标原点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值.
18、如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点．
（）求证：平面．
（）求证：平面．
19．记为各项为正数的等比数列的前项和，已知.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）令，求的前项和.
20．己知分别为三个内角的对边，且．
(I)求角的大小；
(II)若，且的面积为，求的值．
21．如图，四棱锥中，为正三角形. 且.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若点到底面的距离为2，是线段上一点，且//平面，求四面体的体积.
22．如图1，在长方形中，为的中点，为线段上一动点．现将沿折起，形成四棱锥.
图1 图2 图3
（Ⅰ）若与重合，且 (如图2).证明：平面；
（Ⅱ）若不与重合，且平面平面 (如图3)，设，求的取值范围.
南康中学2018-2019学年度第一学期高二第一次大考
数学(理科)参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
D C C C D D D A D C A B C
10．A【解析】分析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP;（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．
11．【解析】在 取BC的中点M，连结，
根据题意，结合线面面面平行的性质，得到满足条件的截面为等腰梯形，
由正方体的棱长为1，可求得该梯形的上底为，下底为，高为，
利用梯形的面积公式可求得，故选B.
12.【解析】由于平面，所以，所以同理，由（1）可知点轨迹为圆弧，长度最小值为，最大值为，所以C选项错误.
二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．
13．x-y-1=0 14．5 15. 16．①②③
16.【解析】根据题意画出如图所示的直三棱柱：
其中，底面为等腰直角三角形, , ， 、、别是棱、、的中点.对于①，取中点，连接，
交于点，连接.∵为中点， ， ∴四边形为正方形，则
在中， ， 分别为， 的中点，则∥，且.
∵为的中点，且∥∴∥且
∴四边形为平行四边形∴∥∴，故正确；
对于②，易得，则.∵
∴，即∵
∴三棱锥的外接球的球心在线段的中点处，则外接球的半径为
∴三棱锥的外接球的表面积为，故正确；
对于③，易得， .
在中， ， ， ，同理可得，则三棱锥为正四面体，其体积为，故正确；
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．
17、解析：（1）由 消去得，----------2分
由已知得，得，得实数的取值范围是；---5分
（2）因为圆心到直线的距离为， ----7分
所以由已知得，解得.---10分
18、【解析】解：
（）证明：取中点为，
∵在中，是中点，是中点，
∴，且，------------------2分
又∵底面是菱形，
∴，
∵是中点，
∴，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，∴，--------------------------------4分
又平面，平面，
∴平面．--------------------------------6分
（）证明：设，则是中点，
∵底面是菱形，
∴，-------------------------8分
又∵，是中点，
∴，-----------------------------10分
又，
∴平面．----------------------------12分
19、解析：（Ⅰ）=，，
=或-4（舍去）------------------------3分
故,， ．-------------------------------6分
（Ⅱ），-------------------9分
故.-----------------------12分
20．【解析】
（Ⅰ）由正弦定理得，，∵，---------------2分
∴，即．--------------------------------4分
∵∴，∴∴．-------------------6分
（Ⅱ）由：可得．∴，--------------------8分
∵，
∴由余弦定理得：，-----------10分
∴.-----------------------------12分
21．解析：（Ⅰ）证明：，且， ，又为正三角形，所以，又，，所以，-------------------2分
又，//，，--------------------------------4分
，
所以平面，--------------------------------5分
又因为平面，所以平面平面.---------------------------6分
（Ⅱ）如图，连接，交于点，因为//，
且，所以，--------------------7分
连接，因为//平面，所以//，则，---9分
由（Ⅰ）点到平面的距离为2，
所以点到平面的距离为，----------10分
所以，
即四面体的体积为.-----------------12分
22．解析：（Ⅰ）由与重合，则有,--------------------------2分
因为，,所以
,----------------------4分
,所以平面. --------------------6分
（Ⅱ） 如图，作于,作于，连接.
由平面平面且可得平面,故,由可得平面,故在平面图形中，三点共线且.--------------------8分
设，由，故,-------------------10分
，所以， .---------------------12分
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