2018-2019学年九年级上《第4章相似三角形》综合测评卷（含答案）.docx

第4章综合测评卷 一、选择题（每题3分，共30分）‎ ‎1.若x∶y=2∶3，则下列各式中不成立的是(D).‎ ‎2.下列图形中，一定相似的一组是(B).‎ A.邻边对应成比例的两个平行四边形 B.有一个内角相等的两个菱形 C.腰长对应成比例的两个等腰三角形 D.有一条边相等的两个矩形 ‎3.如图所示，E为ABCD的边AD上的一点，且AE∶ED=3∶2，CE交BD于点F，则BF∶FD为(D).‎ A.3∶5 B.5∶3 C.2∶5 D.5∶2‎ ‎（第3题）（第4题） （第5题）‎ ‎4.网球单打比赛场地的宽度为8m，长度在球网的两侧各为12m，球网高度为0.9m（即图中AB的高度）.网球比赛中，某运动员退出场地在距球网14m的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为(B).‎ A.1.65m B.1.75m C.1.85m D.1.95m ‎5.如图所示，△PQR在由边长为1个单位的小正方形组成的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点A，B，C，D也是小正方形的顶点，那么与△PQR相似的是(B).‎ A.以点P，Q，A为顶点的三角形 B.以点P，Q，B为顶点的三角形 C.以点P，Q，C为顶点的三角形 D.以点P，Q，D为顶点的三角形 ‎6.如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，△DEF的面积等于2，则正方形ABCD的面积等于(B).‎ A.6 B.12 C.16 D.20‎ ‎（第6题）（第7题）（第8题） （第9题）‎ ‎7.如图所示，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D在腰AC上，且BD=BC，那么下列结论中正确的是(C).‎ ‎8.如图所示，在四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AB⊥BC，BC⊥CD，E为AD的中点，F为线段BE上的点，且FE=BE，则点F到边CD的距离是(C).‎ A.3 B. C.4 D. ‎ ‎9.如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于(C).‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎ （第10题）‎ ‎10.如图所示，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE，DB相交于点M，N，则MN的长为(B).‎ 二、填空题（每题4分，共24分）‎ ‎11.在比例尺为1∶50000的地图上，某地区的图上面积为20cm2，则实际面积为 5 km2．‎ ‎12.如图所示，在△ABC与△ADE中, =,要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是 ∠B=∠E ．‎ ‎（第12题）（第13题） （第15题）（第15题答图）‎ ‎13.如图所示，测量小玻璃管管径的量具ABC，AB的长为5mm，AC被分为50等份.如果玻璃管的管径DE正好对着量具上30等份处（DE∥AB），那么小玻璃管的管径DE= 3 mm．‎ ‎14.在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D，E分别在AB，AC上.若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED=1∶8，则AD= 2或 cm.‎ ‎15.如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于点H，点O是AB的中点，连结OH，则OH= .‎ ‎【解析】如答图所示，在BD上截取BE=CH，连结CO，OE.在Rt△BCD中，CD=1,BC=3,∴BD=10.‎ ‎∵∠ACB=90°，CH⊥BD，易证△CDH∽△BDC.∴，解得CH=‎ ‎，DH=.∵△ACB是等腰直角三角形，O是AB中点，∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°.∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°.∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD.在△CHO与△BEO中，∵,∴△CHO≌△BEO.∴OE=OH，∠BOE=∠HOC.∵OC⊥BO，∴∠EOH=90°，即△HOE是等腰直角三角形.∵EH=BD-DH-CH=-‎ ‎-=，∴OH=EH×=.‎ ‎16.设△ABC的面积为1，如图1所示，将边BC，AC分别二等分，BE1，AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图2所示，将边BC，AC分别三等分，BE1，AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2……依此类推，则S2= ，Sn可表示为 .（用含n的代数式表示，其中n为正整数）‎ 图1图2图3‎ ‎（第16题）‎ 三、解答题（共66分）‎ ‎17.（6分）已知线段a，b，c，且==．‎ ‎（1）求的值．‎ ‎（2）若线段a，b，c满足a+b+c=60，求a，b，c的值．‎ ‎(2)∵a+b+c=60,∴3k+4k+5k=60，解得k=5.∴a=3k=15,b=4k=20,c=5k=25.‎ ‎18.（8分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，连结BM交AC于点N，BM的延长线交CD的延长线于点E．‎ ‎ ‎ ‎（第18题）‎ ‎（1）求证：=．‎ ‎（2）若MN=1cm，BN=3cm，求线段EM的长．‎ ‎【答案】(1)∵AD∥BC，∴△MED∽△BEC.∴=.∵M是AD的中点，∴AM=MD.∴=.‎ ‎(2)∵AD∥BC,∴.∵EB=ME+MB，MB=BN+NM=4(cm)，∴=.∴EM=2(cm).‎ ‎19.（8分）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点,AE=ED,DF=DC,连结EF并延长交BC的延长线于点G，连结BE．‎ ‎（第19题）‎ ‎（1）求证：△ABE∽△DEF．‎ ‎（2）若正方形的边长为4，求BG的长．‎ ‎【答案】(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°.∵AE=ED，∴.，∴△ABE∽△DEF.‎ ‎(2)∵四边形ABCD为正方形，∴ED∥BG.∴=.∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6.∴BG=BC+CG=10.‎ ‎20.（10分）如图所示，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合.小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m，量得CE=2m，EC1=6m，C1E1=3m．‎ ‎（第20题）‎ ‎（1）△FDM∽ △FBG ，△F1D1N∽ △F1BG ．‎ ‎（2）求电线杆AB的高度．‎ ‎【答案】(1)△FBG △F1BG ‎(2)∵△F1D1N∽△F1BG,∴.∵△FDM∽△FBG，∴=.∵D1N=DM，∴，即.∴GM=16(m).∵.∴BG=13.5(m).∴AB=BG+GA=15（m）.∴电线杆AB的高度为15m.‎ ‎（第21题）‎ ‎21.(10分)如图所示，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连结DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，交BD于点P.‎ ‎（1）求证：AD=DE.‎ ‎（2）若CE=2，求线段CD的长.‎ ‎（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积.‎ ‎【答案】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∵AB=BC，∴D是AC的中点，∠ABD=∠CBD.∴AD=DE.‎ ‎(2)∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB.∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB.∴=.‎ ‎∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD=.‎ ‎（第21题答图）‎ ‎(3)如答图所示，延长EF交⊙O于点M.BE=BC-CE=10-2=8，在Rt△ABD中，AD=CD=，AB=10，∴BD=3.∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴=.∴∠BEP=∠EDB.∴△BPE∽△BED.∴‎ ‎=.∴BP=.∴DP=BD-BP=.∴S△DPE∶S△BPE=DP∶BP=13∶32.∵S△BCD=××3=15，S△BDE∶S△BCD=BE∶BC=4∶5，∴S△BDE=12.∴S△DPE=.‎ ‎ （第22题）‎ ‎22.（12分）如图所示，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），P是AB边上的任意一点（不与点A，B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD交直线BC于点Q．‎ ‎（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由.‎ ‎（2）连结AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）．‎ ‎（3）若△PQD为等腰三角形，求以点P，Q，C，D为顶点的四边形的面积S关于m的函数表达式，并写出m的取值范围．‎ ‎【答案】(1)存在点P.假设存在一点P，使点Q与点C重合，如答图1所示，设AP的长为x，则BP=10-x.在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2=42+x2.在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2=42+（10-x）2.‎ 在Rt△PCD中，CD2=DP2+PC2，即102=42+x2+42+（10-x）2，解得x=2或8.故当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP=2或8.‎ ‎(2)连结AC，设BP=y，则AP=m-y.∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC.∴=，即 ‎=.∵DP⊥PQ，∴∠APD+∠BPQ=90°.∵∠BPQ+∠BQP=90°，∴∠APD=∠BQP.∴△APD∽△BQP.∴=，即=.∴BQ=.‎ ‎(3)①当点Q在BC上时，如答图3所示，连结DQ.∵PQ⊥PD，∴只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形.∵△APD∽△BQP,∴△BQP≌△APD.∴PB=DA=4，AP=BQ=m-4.∴以点P，Q，C，D为顶点的四边形的面积S=S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP=4m-×4×（m-4）-×4×（m-4）=16(m≤8).‎ ‎②当点Q在BC延长线上时，如答图4所示，连结DQ，PC.∵DP=PQ,∴△DAP≌△PBQ.∴PB=AD=4,‎ AB=BQ=m-4.∴S=S四边形ABQD-S△DAP-S△PBC=×(4+m-4)×m-×4×(m-4)- ×4×4=m2-2m(m>8).‎ ‎∴S=.‎ 图1图2图3图4（第22题答图）‎ ‎23.(12分)如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB及BC的延长线分别相交于点M，N.‎ ‎【问题引入】‎ ‎（1）若点O是AC的中点，=，求的值.温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.‎ ‎【探索研究】‎ ‎（2）若点O是AC上任意一点（不与点A，C重合），求证：··=1.‎ ‎【拓展应用】‎ ‎（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若=，=，求的值.‎ 图1图2（第23题） （第23题答图）‎