3.7 正多边形
各边相等、各个内角也相等的多边形叫做正多边形，任何正多边形都有一个外接圆．
1.正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是(B).
A. B.2 C. D.2
（第1题）(第3题)(第4题)
2.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的是(A).
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
3.如图所示，边长为a的正六边形内有两个斜边长为a,有一个角是60°的直角三角形，则的值为(C).
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为(C).
A.16 B.12 C.8 D.6
5.如图所示，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= 72° ．
(第5题)(第6题)(第7题)
6.如图所示，若干全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需 7 个五边形．
7.如图所示，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则该正八边形的面积为 40 cm2．
8.如图所示，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在正六边形内作正方形ABMN，连结MC.求∠BCM的大小．
(第8题)
【答案】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠ABC=120°，AB=BC.∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM=90°，AB=BM.∴∠MBC=120°-90°=30°，BM=BC.∴∠BCM=∠BMC=75°.
9.如图所示，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形
ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连结OM，ON．
(1)求图1中∠MON的度数．
(2)图2中∠MON的度数为 90° ，图3中∠MON的度数为 72° ．
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．
(第9题)
【答案】(1)连结OB，OC.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵OC=OB，点O是外接圆的圆心，∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.∴∠OBM=∠OCN=30°.∵BM=CN，OC=OB，∴△OMB≌△ONC.∴∠BOM=∠NOC.∴∠MON=∠BOC.∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°.∴∠MON=120°.
(2)90° 72°
(3)∠MON=.
10.蜂巢的构造非常美丽、科学.如图所示为由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示，若△ABC是直角三角形，则这样的三角形有(D).
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
(第10题) (第12题) (第13题)
11.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(A).
A. B. C. D.
【解析】如答图1所示，∵OC=2，∴OD=1.
图1图2图3
（第11题答图）
如答图2所示，∵OB=2，∴OE=.如答图3所示，∵OA=2，∴OD=.∴该三角形的三边分别为1，，.∵(1)2+()2=()2，∴该三角形是直角三角形.∴
该三角形的面积是×1×=.故选A.
12.如图所示，平面上有两个全等的正十边形，其中点A与点A′重合，点C与点C′重合.则∠BAJ′的度数为 108° ．
13.如图所示，正六边形ABCDEF的边长为23，延长BA，EF交于点O.以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是 (2，4) ．
14.如图所示，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
(1)在剩余的顶点B，C，D，E，F，H中，连结两个顶点，使连结的线段与AG平行，并说明理由．
(2)两边延长AB，CD，EF，GH，使延长线分别交于点P，Q，M，N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
(第14题) （第14题答图）
【答案】(1)如答图所示，连结BF，BF∥AG.理由如下：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴它的内角都为135°.∵HA=HG，∴∠1=22.5°.∴∠2=135°-∠1=112.5°.∵正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，∴∠3=×135°=67.5°.∴∠2+∠3=180°.∴BF∥AG.
(2)由题意可知∠PHA=∠PAH=45°，∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°.∴四边形PQMN是矩形.
∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，∴△PAH≌△QCB≌△MED.∴PA=QB=QC=MD.∴PQ=QM.∴四边形PQMN是正方形.在Rt△PAH中，∵PA=PH,AH=AB=2，
∴PA=.∴PQ=PA+AB+BQ=+2+=2+2.∴S四边形PQMN=(2+2)2=12+8.
15.如图1所示，已知在正五边形ABCDE中.
(1)AC与BE相交于点P，求证：四边形PEDC为菱形.
(2)延长CD，AE交于点M，连结BM交CE于点N，如图2所示，求证：CN=EP.
图1图2（第15题） （第15题答图）
【答案】(1)∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD=∠BAE=108°，CD＝DE＝BC＝AB=AE.
∴∠ABE=∠AEB=36°.∴∠CBE=72°.∴∠DCB+∠CBE=180°.∴CD∥BE.同理可证AC∥DE，∴四边形PEDC是平行四边形.又CD=DE，∴四边形PEDC是菱形.
(2)如答图所示，连结AN.由(1)知四边形PEDC是平行四边形.∴∠ACE＝∠PEC＝
∠ACD＝36°.∵∠MCA=∠MAC=72°，∴MC=MA.∵BC=BA，∴BM垂直平分线段AC.∴NC=NA.∴∠NCA=∠NAC=36°.易知∠PAE=∠NEA=72°，∴∠PEA=∠NAE=36°.∵AE=EA，∴△PAE≌△NEA.∴PE＝AN.∴CN=PE.
16.【河北】已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间的距离可能是(C).
A.1.4 B.1.1 C.0.8 D.0.5
【解析】如答图所示，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的粗实线，
观察图象可知点B，M间的距离d的取值范围是2-≤d≤1.故选C.
（第16题） （第16题答图） （第17题）
17.【威海】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 2 .
18.(1)如图1所示，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点P为上一动点，求证：PA=PB+PC．
(2)如图2所示，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA=PC+PB．
(3)如图3所示，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
（第18题） 图1图2图3
（第18题答图）
【答案】(1)如答图1所示,延长BP至点E，使PE=PC，连结CE.∵A，B，P，C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC=180°.∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠EPC=60°.∵PE=PC,∴△PCE是等边三角形.∴CE=PC，∠ECP=60°.∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP.
∵△ABC，△ECP为等边三角形，∴CE=PC，BC=AC.∴△BEC≌△APC.∴PA=BE=PB+PC.
(2)如答图2所示，过点B作BE⊥PB交PA于点E.∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3.
∵∠APB=45°,∴BP=BE，PE=PB.∵AB=BC，∴△ABE≌△CBP.∴PC=AE.∴PA=AE+PE=PC+PB.
(3)PA=PC+PB.证明：如答图3所示，过点B作BM⊥AP于点M，在AP上截取AQ=PC，连结BQ.∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，∴△ABQ≌△CBP.∴BQ=BP.∴MP=QM.∵∠APB=30°，∴PM=PB.∴PQ=PB.∴PA=AQ+PQ=PC+PB.
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