3.4 圆心角(1)
(1)圆有旋转不变性，即绕着圆心旋转任意角度，仍与原来重合.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是(A).
A.相等的弦所对的弧相等 B.相等的弦所对的圆心角相等
C.相等的圆心角所对的弧相等 D.相等的圆心角所对的弦相等
2.已知AB是⊙O的弦，且OA=AB，则∠AOB的度数为(C).
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.如图所示，AB是⊙O的直径，C，D是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COD的度数为(A).
A.40° B.60° C.80° D.120°
(第3题)(第4题)(第5题)
4.如图所示，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，作AE∥CD，交⊙O于点E，则的度数为(D).
A.65° B.70° C.75° D.80°
5.如图所示，在⊙O中，∠B=37°，则劣弧的度数为 106° ．
6.如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是的中点，则∠ACD= 125° ．
(第6题) (第7题) (第8题)
7.如图所示，直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合，若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120°，交AD于点E，则∠DEF= 60° ．
8.如图所示，C为的中点，CN⊥OB于点N，CD⊥OA于点M，CD=4cm，则CN= 2 cm．
9.如图所示，在⊙O中，C为优弧AB的中点，AD=BE，求证：CD=CE.
（第9题） （第9题答图）
【答案】如答图所示，连结OC.∵C为优弧AB的中点，∴∠AOC=∠BOC.∵AD=BE，OA=OB，∴OD=OE.在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE(SAS).∴CD=CE.
(第10题)
10.如图所示，AB为⊙O的直径，∠DOC=90°，∠DOC绕点O旋转，D，C两点不与点A，B重合．
(1)求证：．
(2)AD+BC=CD成立吗？为什么？
（第10题答图）
【答案】(1)∵AB为⊙O的直径，∠DOC=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠DOC=90°.∴.
(2)不成立，AD+BC＞CD.理由如下：如答图所示，
，∴DE=AD，BC=EC.在△DEC中，DE+EC＞DC，∴AD+BC＞CD.
11.如图所示，AB是⊙O的直径，，∠COD=34°，则∠AEO的度数是(A).
A.51° B.56° C.68° D.78°
（第11题）（第12题） (第13题)
12.如图所示，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于(A).
A.8 B.10 C.11 D.12
13.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向行走.按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于上，此时∠AOE=52°，则α的度数是(A).
A.51.5° B.60° C.72° D.76°
14.如图所示，AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，AB=a，则OA= a .
(第14题) (第15题)
15.如图所示，点A1，A2，A3，A4，A5在⊙O上，且，B，C分别是A1A2，A2A3上两点，A1B=A2C，A5B与A1C相交于点D，则∠A5DC的度数为 108° ．
16.如图所示，在△ABO中，∠A=∠B，⊙O与OA交于点C，与OB交于点D，与AB交于点E，F．
(第16题)
(1)求证：．
(2)写出图中所有相等的线段(不要求证明)．
【答案】(1)连结OE，OF，则OE=OF.∴∠OEF=∠OFE.∵∠A=∠B，∴∠AOE=∠BOF.∴.
(2)OA=OB，OC=OD，AC=BD，AE=BF，AF=BE.
(第17题)
17.如图所示为⊙O的部分图形，OA，OB是⊙O的两条互相垂直的半径，点M是弦AB的中点，过点M作MC∥OA，交于点C.求证：=．
（第17题答图）
【答案】如答图所示，连结OC，延长CM交OB于点D.∵点M是弦AB的中点，MC∥OA，∴点D为OB的中点.∴OD=OB=OC.∵OA⊥OB,∴CD⊥OB.∴∠DCO=30°.∴∠AOC=∠AOB.∴=.
18.如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，E，且．
(1)求证：AC=AE．
(2)利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线相交于点F(保留作图痕迹，不写作法)，求证：EF平分∠CEN．
(第18题) （第18题答图）
【答案】(1)如答图1所示，作OP⊥AM于点P，OQ⊥AN于点Q，连结AO，BO，DO.
∵，∴BC=DE，∴CP＝EQ＝BP=DQ.∵OB=OD，∴△OBP≌△ODQ.∴OP=OQ.在Rt△APO和Rt△AQO中，∵AO=AO，OP=OQ，∴△APO≌△AQO.∴AP=AQ.∵CP=EQ，∴AC=AE.
(2)如答图2所示，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，AF为CE的垂直平分线.∴∠ECM=∠CEN，CF=EF.
∴∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN.∴EF平分∠CEN.
19.【兰州】如图所示，在⊙O中，若C是的中点，∠A=50°，则∠BOC的度数为(A).
A.40° B.45° C.50° D.60°
（第19题） (第20题)
20.【菏泽】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为 50° ．
（第21题）
21.如图所示，点A是半圆上一个三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为多少？
【答案】如答图所示，作点A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则点A′必在圆上，
连结BA′交MN于点P，连结PA，此时PA+PB最小，PA+PB=PA′+PB=A′B.连结OA，OA′，OB.
（第21题答图）
∵=，∴∠AON=∠A′ON=60°.∵，∴∠BON=∠AON=30°.∴∠A′OB=90°.∴A′B===.∴AP+BP的最小值是.
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