期末检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共16小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，随机事件是( B )
A．任意画一个圆的内接四边形，其对角互补
B．现阶段人们乘高铁出行在购买车票时，采用网络购票方式
C．从分别写有数字1，2，3的三个纸团中随机抽取一个，抽到的数字是0
D．通常情况下，北京在大寒这一天的最低气温会在0 ℃以下
2．小明在解方程x2－4x－15＝0时，他是这样求解的：移项，得x2－4x＝15，两边同时加4，得x2－4x＋4＝19，∴x－2＝±，∴x－2＝±，∴x1＝2＋，x2＝2－，这种解方程的方法称为( B )
A．待定系数法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
3．如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为( A )
4．国产越野车“BJ40”中，哪个数字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形( D )
A．B B．J C．4 D．0
5．如果小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是( B )
A. B. C. D.
,(第5题图)) ,(第8题图)) ,(第12题图)) ,(第13题图))
6．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2016年约为12万人次，若2018年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是( C )
A．12(1＋x)＝17 B．17(1－x)＝12
C．12(1＋x)2＝17 D．12＋12(1＋x)＋12(1＋x)2＝17
7．若关于x的方程mx2－mx＋2＝0有两个相等的实数根，则m的值为( B )
6
A．0 B．8 C．4或8 D．0或8
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于( A )
A. B. C. D.
9．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( A )
A. B. C. D.
10．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
黑棋数
1
3
0
2
3
4
2
1
1
3
根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为( C )
A．60枚 B．50枚 C．40枚 D．30枚
11．已知2是关于x的方程x2－(m＋1)x＋m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为( C )
A．6 B．4 C．5 D．4或5
12．如图，点O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中点E在△ABC的外部，下列叙述正确的是( B )
A．点O是△AEB的外心，点O是△AED的外心
B．点O是△AEB的外心，点O不是△AED的外心
C．点O不是△AEB的外心，点O是△AED的外心
D．点O不是△AEB的外心，点O不是△AED的外心
13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0.其中所有正确的结论是( D )
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
14．若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为( B )
A．－13 B．12 C．14 D．15
15．如图，四边形ABCD中，AD平行于BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过点F的直线MN为⊙O的切线，MN交BC于点M，交CD于点N，则△MCN的周长为( A )
A．9 B．10 C．3 D．2
,(第15题图)) ,(第16题图)) ,(第17题图)) ,(第19题图))
6
16．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt－2(a，b是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为( A )
A．3.75分钟 B．4.00分钟 C．4.15分钟 D．4.25分钟
二、填空题(本大题共3小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上)
17．如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则点Q的坐标为(－2，0)．
6
18.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为ab＝a2－b2－5a，则方程(x＋2)＝0的所有解的和为1．
19．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于点C，连接AC，BC.则四边形ACBP的形状是菱形；若⊙O半径为1，则四边形ACBP的面积是．
三、解答题(本大题共7小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)如图，点E是正方形ABCD内一点，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，点A，E，F恰好在同一直线上．求证：AF⊥CF.
证明：由旋转的性质可得△ABE≌△CBF，∠EBF＝90°，∴BE＝BF，∠AEB＝∠CFB，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BEF＝∠BFE＝45°.∴∠AEB＝∠CFB＝180°－45°＝135°.∴∠CFE＝∠CFB－∠EFB＝135°－45°＝90°.∴AF⊥CF.
21．(9分)甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色的即为游戏搭档，现甲、乙两人各抽取了一张，求两人恰好成为游戏搭档的概率．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
解：根据题意画树状图如图所示：
∴共有12种等可能的情况，从4张牌中任意摸出2张牌拿到相同颜色的有4种可能，所以两人恰好成为游戏搭档的概率P＝＝.
22．(9分)如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD.
(1)求证：AD＝AN；
(2)若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．
解：(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠CEB＝90°.∴∠C＋∠B＝90°，同理∠C＋∠CNM＝90°.∴∠CNM＝∠B，∵∠CNM＝∠AND，∴∠AND＝∠B，∵＝，∴∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD.(2)设OE的长为x，连接OA，图略．∵AN＝AD，CD⊥AB，∴DE＝NE＝x＋1，∴OD＝OE＋
6
ED＝x＋x＋1＝2x＋1，∴OA＝OD＝2x＋1，又AE＝AB＝4，∴在Rt△OAE中，OE2＋AE2＝OA2，∴x2＋42＝(2x＋1)2.解得x＝或x＝－3(不合题意，舍去)，∴OA＝2x＋1＝2×＋1＝，即⊙O的半径为.
23．(9分)为了让学生亲身感受河北省承德市的变化，某中学九(1)班组织学生进行“环避暑山庄一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：①如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；②如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3 150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
解：∵100×30＝3 000＜3 150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设共有x名同学参加了研学游活动，由题意，得x[100－2(x－30)]＝3 150, 解得x1＝35，x2＝45，当x＝35时，人均旅游费用为100－2(35－30)＝90＞80，符合题意；当x＝45时，人均旅游费用为100－2(45－30)＝70＜80，不符合题意，应舍去．答：共有35名同学参加了研学游活动．
24．(10分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(2，4)和点B(6，0)．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
(2)直接写出它的开口方向、顶点坐标；
(3)点(x1，y1)，(x2，y2)均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1 ________ y2(填“＞”“＝”或“＜”)．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx经过点A(2，4)和点B(6，0)，∴解得∴这条抛物线所对应的二次函数的解析式为y＝－x2＋3x.(2)因为y＝－x2＋3x＝－(x－3)2＋，该抛物线开口向下，顶点坐标为(3，)．(3)∵x1＞x2＞4，对称轴为x＝3，a＝－＜0，∴y1 ＜y2.
25．(11分)如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C在⊙O上，过点D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于点E，且CD＝DE.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若AB＝12，且BC＝CE时，求BD的长．
解：(1)证明：连接OC，图略．∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ECD＝90°，在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠E＝90°－∠A，∠ABC＝90°－∠A, ∴∠E＝∠ABC，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠E＝∠OCB，又∵CD＝DE，∴∠E＝∠ECD，∴∠OCB＝∠ECD，∴∠OCB＋∠BCD＝90°，即OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．(2)由(1)知，∠OBC＝∠OCB＝∠DCE＝∠
6
E，在△OBC和△DCE中，∴△OBC≌△DCE(ASA), ∴OC＝CD＝6，Rt△OCD中，OC＝CD＝6，∠OCD＝90°，∴OD＝6，即BD＝OD－OB＝6－6.
26．(12分)某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为：
p＝日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系如图所示．
(1)求日销售量y与时间t的函数解析式；
(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2 400元？
(4)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m(m＜7)元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
解：(1)设解析式为y＝kt＋b，将(1，198)，(80，40)代入，得解得∴y＝－2t＋200(1≤t≤80，t为整数)．(2)设日销售利润为w，则w＝(p－6)y，①当1≤t≤40时，w＝(t＋16－6)(－2t＋200)＝－(t－30)2＋2 450，∴当t＝30时，w最大＝2 450；②当41≤t≤80时，w＝(－t＋46－6)(－2t＋200)＝(t－90)2－100，∴当t＝41时，w最大＝2 301，∵2 450＞2 301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2 450元．(3)由(2)得，当1≤t≤40时，w＝－(t－30)2＋2 450，令w＝2 400，即－(t－30)2＋2 450＝2 400, 解得t1＝20，t2＝40，由函数w＝－(t－30)2＋2 450的性质可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2 400元，而当41≤t≤80时，w最大＝2 301＜2 400，∴t的取值范围是20≤t≤40, ∴共有21天符合条件．(4)设日销售利润为w′，根据题意，得w′＝(t＋16－6－m)(－2t＋200)＝－t2＋(30＋2m)t＋2 000－200m，其函数图象的对称轴为t＝2m＋30，∵w′随t的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函数的图象及其性质可知2m＋30＞39.5，解得m＞，又m＜7，∴＜m＜7.
6
微信/支付宝扫码支付