(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“任意x∈R，ex＞x2”的否定是( )
A．存在x∈R，使得ex≤x2
B．任意x∈R，使得ex≤x2
C．存在x∈R，使得ex＞x2
D．不存在x∈R，使得ex＞x2
解析：选A.此命题是全称命题，其否定为：“存在x∈R，使得ex≤x2”．
2．原命题“若x≤－3，则x＜0”的逆否命题是( )
A．若x＜－3，则x≤0
B．若x＞－3，则x≥0
C．若x＜0，则x≤－3
D．若x≥0，则x＞－3
解析：选D.逆否命题是对原命题的条件和结论否定后再对换，故该命题的逆否命题为“若x≥0，则x＞－3”．
3．已知条件p：x＞0，条件q：x≥1，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.因为{x|x≥1}{x|x＞0}，所以p是q的必要不充分条件．
4．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．aα，b⊥β，α∥β D．aα，b∥β，α⊥β
解析：选C.因为b⊥β，α∥β，所以b⊥α，又aα，所以a⊥b.
5．命题p：将函数y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图像；命题q：函数y＝sin(x＋)cos(－x)的最小正周期是π，则命题“p或q”“p且q”“非p”中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.将函数y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度得到函数y＝sin 2(x－)＝sin(2x－)的图像，所以命题p是假命题，“非p”是真命题，“p且q”是假命题．
函数y＝sin(x＋)cos(－x)＝cos(－x－)·cos(－x)＝cos2(－x)＝＋，最小正周期为π，命题q为真命题，所以“p或q”为真命题，故真命题有2个，故选C.
6．命题“存在x∈R，2x＋x2≤1”的否定是( )
A．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，假命题
B．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，真命题
C．存在x∈R，2x＋x2＞1，假命题
D．存在x∈R，2x＋x2＞1，真命题
解析：选A.因为x＝0时，20＋02＝1≤1，所以该命题的否定“对于任意的x∈R，2x＋x2＞1”是假命题．
7．已知平面α，直线l⃘α，直线mα，则“直线l∥α”是“l∥m”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.l∥α，l⃘α，mα，l与m可能平行或异面；反过来，若l∥m，l⃘α，mα，则l∥α.
8．命题p：“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.因为p真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B.
9．已知命题p：函数f(x)＝|sin 2x|的最小正周期为π；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是( )
A．p且q B．p或q
C．(非p)且(非q) D．p或(非q)
解析：选B.函数f(x)＝|sin 2x|的最小正周期为知命题p为假命题；若函数f(x＋1)为偶函数，则f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)关于x＝1对称，据此可知命题q为真命题，根据真值表可得“p或q”为真命题．
10．下列判断正确的是( )
A．命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“若a＋b不是偶数，则a，b都不是偶数”
B．若“p或q”为假命题，则“非p且非q”是假命题
C．已知a，b，c是实数，关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，必有a＞0且Δ≤0
D．x2≠y2⇔x≠y且x≠－y
解析：选D.对于A：其逆否命题为“若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数”，排除A.
对于B.若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题，非p、非q均为真命题，故非p且非q为真命题，排除B.
对于C：ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，
当a＝0时，可得b＝0，c＞0，
当a≠0时，可得，排除C，故选D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则c＝________.
解析：由题意x＝2⇒x2－2x＋c＝0，所以22－2×2＋c＝0，所以c＝0.
答案：0
12．若命题“存在x＜2 015，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：因为“存在x＜2 015，x＞a”是假命题，所以其否定：“对任意x＜2 015，x≤a”为真命题，所以a≥2 015.
答案：[2 015，＋∞)
13．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的________条件．
解析：若a·b＝a·c，则a·b－a·c＝0，即a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)；反之，若a⊥(b－c)，则a·(b－c)＝0，即a·b－a·c＝0，所以a·b＝a·c.从而有a·b＝a·c⇔a⊥(b－c)．
答案：充要
14．已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0；q：对任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若“p或q”为假，则实数m的取值范围是________．
解析：“p或q”为假，则非p和非q均为真．
非p：对任意x∈R，mx2＋1＞0为真时，m≥0；非q：存在x∈R，x2＋mx＋1≤0为真时，Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2，故m的取值范围是{m|m≥0}∩{m|m≤－2或m≥2}＝{m|m≥2}．
答案：[2，＋∞)
15．如图，正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角PAD1C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1.
其中真命题的编号是________．
解析：对①，P在直线BC1上运动时，S△AD1P为定值，C到底面AD1P的距离为定值，①为真命题；
对②，P在直线BC1上运动时，P到底面ACD1的距离PO(O为垂足)不变，但线段OA的长是变化的；所以②是假命题；
对③，由于BC1∥AD1，③为真命题；
对④，由于直线D1A1上任一点到点D和C1距离相等，又D1A1平面A1B1C1D1，④为真命题．
答案：①③④
三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)判断下列命题的真假．
(1)“π是无理数”，及其逆命题；
(2)“若实数a，b不都为0，则a2＋b2≠0”；
(3)命题“对于任意x∈(0，＋∞)，有x＜4且x2＋5x－24＝0”的否定．
解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；
(2)原命题的逆否命题为“若a2＋b2＝0，则实数a，b同时为0”，显然为真，故原命题为真；
(3)原命题的否定为：存在x∈(0，＋∞)，使x≥4或x2＋5x－24≠0显然为真命题．
17．(本小题满分10分)已知命题p：实数x满足x2－2x－8≤0；命题q：实数x满足|x－2|≤m(m＞0)．
(1)当m＝3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；
(2)若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：(1)若p真：－2≤x≤4；当m＝3时，若q真：－1≤x≤5，
因为“p且q”为真，所以
所以实数x的取值范围为[－1，4]．
(2)因为非p是非q的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，
因为若q真：2－m≤x≤2＋m，
所以且等号不同时取得，
所以m≥4.
18．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m0，使不等式m0＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．
解：(1)不等式m0＋f(x)＞0可化为m0＞－f(x)，即m0＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使
m0＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m0＞－4即可．
故存在实数m0使不等式m0＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m0＞－4.
(2)不等式m－f(x0)＞0可化为m＞f(x0)，
若存在一个实数x0使不等式m＞f(x0)成立，只需m＞f(x0)min.
又f(x0)＝(x0－1)2＋4，
所以f(x0)min＝4，
所以m＞4.
所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知p：≥2，q：x2－ax≤x－a，若非p是非q的充分条件，求实数a的取值范围．
解：因为p：≥2，
所以≤0，所以1≤x＜3.
因为q：x2－ax≤x－a，
所以x2－(a＋1)x＋a≤0.
①当a＜1时，a≤x≤1；
②当a＝1时，x＝1；
③当a＞1时，1≤x≤a.
因为非p是非q的充分条件，
所以q是p的充分条件．
设q对应集合A，p对应集合B，则A⊆B，
当a＜1时，AB，不合题意；
当a＝1时，A⊆B，符合题意；
当a＞1时，1≤x≤a，要使A⊆B，则1＜a＜3.
综上，a的取值范围为a∈[1，3)．
20．(本小题满分13分)已知a＞0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1)当b＞0时，若对任意x∈R，都有f(x)≤1，证明：a≤2；
(2)当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
证明：(1)此题等价于对所有x∈R有ax－bx2≤1，即bx2－ax＋1≥0，
因为b＞0，所以Δ＝a2－4b≤0.
又因为a＞0，所以a≤2.
(2)①必要性：设对所有x∈[0，1]，有|f(x)|≤1，即－1≤ax－bx2≤1.
令x＝1∈[0，1]，则有－1≤a－b≤1，即b－1≤a≤b＋1.
因为b＞1，所以－≤≤＋.
这说明∈[0，1]．
所以f≤1，即－b·≤1.
所以a2≤4b，a≤2.
综上所述，有b－1≤a≤2.
②充分性：设b－1≤a≤2.
因为b＞1，所以＝·＜1.
所以当x∈[0，1]时f(x)的最大值为f(x)max＝f＝a·－b·＝＜1.
又因为f(x)的图像是开口向下的抛物线，
所以当x∈[0，1]时，f(x)的最小值f(x)min＝
min{f(0)，f(1)}＝min{0，a－b}≥－1.
所以当x∈[0，1]时，|f(x)|≤1.
综合①②可知，当b＞1时，对任意x∈[0，1]有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
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