(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a与c所在直线平行
B．向量a，b，c共面即它们所在直线共面
C．空间任意两个向量共面
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
解析：选C.对于A：当b＝0时，a与c所在直线可重合、平行、相交或异面；当b≠0时，a与c所在直线可重合，排除A；对于B：它们所在直线可异面，排除B；对于D：b＝0时不满足，排除D.
2．已知两非零向量e1，e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则( )
A．a∥e1
B．a∥e2
C．a与e1，e2共面
D．以上三种情况均有可能
解析：选C.对于A：a∥e1，所以a＝ke1，得μ＝0，λ＝k，与已知矛盾．对于B：a∥e2，所以a＝ke2，得μ＝k，λ＝0，与已知矛盾．故选C.
3．已知A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1，2，－1)，下列四个点中在平面ABC内的点是( )
A．(2，3，1) B．(1，－1，2)
C．(1，2，1) D．(1，0，3)
解析：选D.设该点为D.当D的坐标为(1，0，3)时，＝(1，0，3)＝2－，其他三个坐标均不符合要求．
4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ等于( )
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
解析：选C.cos〈a，b〉＝＝＝，得λ＝－2或λ＝.
5．向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( )
A．a∥b，a⊥b B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
解析：选C.a·b＝－4＋0＋4＝0，所以a⊥b，又c＝2a，所以a∥c，故选C.
6．已知向量m、n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选A.设l与α所成角为θ，所以sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，θ∈[0°，90°]，所以θ＝30°.选A.
7．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为( )
A．1 B．0
C．3 D.
解析：选D.因为点M在平面ABC内，所以＝λ1＋λ2，即：－＝λ1(－)＋λ2(－)，
＝(1－λ1－λ2)＋λ1＋λ2，
由＝x＋＋，得x＝1－－＝.
8．已知向量a，b，c是空间的一基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(1，2，3)，则向量p在基底a＋b，a－b，c下的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设p在基底a＋b，a－b，c下的坐标为(x，y，z)，
则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc得即
9．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
解析：选B.a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．
因为(a＋2b)∥(2a－b)，
所以a＋2b＝λ(2a－b)，
可得λ＝，x＝，y＝－4.
10.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是( )
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥ABEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
解析：选D.建立如图坐标系，B1(0，1，1)，D1(1，0，1)，B(0，1，0)，是平面B1BDD1的法向量，
BE平面B1BDD1，故AC⊥BE，故A正确；是平面ABCD的法向量，＝(0，0，1)，
＝·＝(－，，0)，
·＝0，故⊥，故EF∥平面ABCD，故B正确；VABEF＝S△BEF·h
＝×||·||·||
＝||·||·||＝，
故C正确．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11．已知空间向量a＝(0，1，1)，b＝(x，0，1)，若a，b的夹角为，则实数x的值为________．
解析：cos〈a，b〉＝＝＝cos，得x＝±1.
答案：±1
12．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用，，表示向量，则＝________．
解析：＝＋＋
＝＋＋＝＋＋(＋BB1)
＝＋＋.
答案：＋＋
13.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为________．
解析：因为A1B1∥平面D1EF，
所以G到平面D1EF之距等于A1点到平面D1EF之距，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，F(1，1，)，E(1，0，)，设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，由
易求得平面D1EF的一个法向量n＝(1，0，2)，＝(0，0，－)，
所以d＝
＝.
答案：
14．直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________．
解析：法一：由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，可将三棱柱补成正方体，建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A(0，0，0)，B(2，2，0)，M(1，1，2)，N(0，1，2)，所以＝(1，1，2)－(2，2，0)＝(－1，－1，2)，＝(0，1，2)．
所以cos〈，〉＝＝
＝＝.
法二：如图(2)，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成角．设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，因此cos∠AND＝＝.
答案：
15．给出命题：①在▱ABCD中，＋＝；②在△ABC中，若·>0，则△ABC是锐角三角形；③在梯形ABCD中，E，F分别是两腰BC，DA的中点，则＝(＋)；④在空间四边形ABCD中，E，F分别是边BC，DA的中点，则＝(＋)．以上命题中，正确命题的序号是________．
解析：对于①：＝＋＝＋，故①正确；对于②：·＝||||cos A>0，得∠A为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形，故②不正确；对于③：＝＋＋，＝＋＋，两式相加得：＝(＋)，故③正确；对于④：取BD中点为H，则＝，＝，＝＋＝(＋)，故④正确．
答案：①③④
三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)设O为坐标原点，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，求点Q的坐标．
解：设＝λ，
所以＝－＝－λ
＝(1，2，3)－λ(1，1，2)
＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ
＝(2，1，2)－λ(1，1，2)
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
则·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)
＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)
＝6λ2－16λ＋10，
所以当λ＝时，·取得最小值．
又＝λ＝(1，1，2)
＝.
所以点Q的坐标为.
17．(本小题满分10分)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1⊥平面ABCD，且AD＝AA1＝1，AB＝2.
(1)求证：平面BCD1⊥平面DCC1D1；
(2)求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．
解：(1)证明：在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，
DD1⊥平面ABCD，
所以DD1⊥BC.
因为底面ABCD是矩形，所以DC⊥BC.
又DD1∩DC＝D，所以BC⊥平面DCC1D1.
又BC平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面DCC1D1.
(2)取DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为AD＝AA1＝1，AB＝2，
则D(0，0，0)，C(0，2，0)，
D1(0，0，1)，A1(1，0，1)．
所以＝(0，－2，1)，＝(1，0，1)，
所以cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线CD1与A1D所成角的余弦值是.
18．(本小题满分10分)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
(1)求||的长；
(2)求cos〈，〉的值；
(3)求证：A1B⊥C1M.
解：如图，建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0，1，0)、N(1，0，1)，所以||＝＝.
(2)依题意得A1(1，0，2)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、B1(0，1，2)，
所以＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
·＝3，||＝，||＝，
所以cos〈，〉＝＝.
(3)证明：依题意，得C1(0，0，2)、M，＝(－1，1，－2)，
＝，所以·＝－＋＋0＝0，所以⊥，所以A1B⊥C1M.
19．(本小题满分12分)在空间直角坐标系中(O为坐标原点)，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，D(0，0，2)，E(0，2，1)．
(1)求证：直角BE∥平面ADO；
(2)求直线OB和平面ABD所成的角；
(3)在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由题意，点A，D，O所在的平面就是xOz平面，
取其法向量为n＝(0，1，0)，
而＝(－2，0，1)，所以·n＝0，即⊥n，
又显然点B，E不在平面ADO上，
所以BE∥平面ADO.
(2)设平面ABD的法向量为m＝(a，b，c)，
因为＝(0，2，0)，＝(－2，0，2)，
所以所以可取m＝(1，0，1)．
又＝(2，2，0)，
设OB与平面ABD所成的角为θ，
所以sin θ＝|cos〈，m〉|＝＝＝.
所以直线OB和平面ABD所成的角为.
(3)假设存在点P(x，y，z)，使得直线AP与直线BD垂直．
设＝λ，即(x－2，y－2，z)＝(－2λ，0，λ)．
所以所以＝(－2λ，2，λ)．
又＝(－2，－2，2)，
所以·＝4λ－4＋2λ＝0，
解得λ＝，所以在直线BE上存在点P，使得直线AP与直线BD垂直，
点P的坐标为.
20.(本小题满分13分)已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝1，棱BB1＝2，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.
(1)求证：A1C⊥平面EBD；
(2)求点A到平面A1B1C的距离；
(3)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值．
解：(1)证明：以A为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，那么A(0，0，0)、B(1，0，0)、C(1，1，0)、D(0，1，0)、A1(0，0，2)、B1(1，0，2)、C1(1，1，2)、D1(0，1，2)，＝(1，1，－2)，＝(－1，1，0)，
设E(1，1，z)，则＝(0，1，z)，＝(0，－1，2)，因为BE⊥B1C，所以·＝－1＋2z＝0，z＝，所以E(1，1，)，＝(0，1，)，因为·＝－1＋1＋0＝0，·＝0＋1－1＝0，
所以A1C⊥BD，A1C⊥BE，又BD∩BE＝B，所以A1C⊥平面EBD.
(2)连接AC，A到平面A1B1C的距离，即三棱锥AA1B1C的高，设为h，
S△A1B1C＝，VCA1B1A＝，由VAA1B1C＝VCA1B1A
得：×h＝，h＝，所以点A到平面A1B1C的距离是.
(3)连接DF，因为A1C⊥BE，B1C⊥BE，A1C∩B1C＝C，所以BE⊥平面A1B1C，所以DF是DE在平面A1B1C上的射影，∠EDF是DE与平面A1B1C所成的角，设F(1，y，z)，那么＝(0，y，z)，＝(0，y－1，z)，＝(0，1，－2)，因为·＝0，
所以y－2z＝0①，
因为∥，所以z＝2－2y②，
由①、②得y＝，z＝，＝(1，0，)，＝(0，－，－)．
在Rt△FDE中，DE＝，EF＝.所以sin∠EDF＝＝，因此，DE与平面A1B1C所成的角的正弦值是.
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