(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上)
1．椭圆＋＝1的焦距为6，则k的值为________．
解析：由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29.
答案：11或29
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.
解析：由题意知，mb>0)，则有，即
①÷②得e＝.
答案：
4．与x2－4y2＝1有相同的渐近线，且过M(4，)的双曲线方程为________．
解析：设方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，将M(4，)代入方程得λ＝4，所以方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
5．已知双曲线3x2－y2＝9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________．
解析：即求离心率，双曲线化为标准方程－＝1，
可知a＝，c＝＝＝2，e＝＝＝2.
答案：2
6．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
解析：椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，而抛物线y2＝2px的焦点为(，0)，则＝2，故p＝4.
答案：4
7．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．
解析：由题意得F(1,0)，设A(，y0)，则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，由·＝－4，解得y0
＝±2，此时点A的横坐标为＝1，故点A的坐标是(1，±2)．
答案：(1，±2)
8．设P是椭圆＋＝1上的任意一点，又点Q的坐标为(0，－4)，则PQ的最大值为________．
解析：设P的坐标(x，y)，则PQ2＝x2＋(y＋4)2＝25(1－)＋(y＋4)2＝－(y－)2＋(－4≤y≤4)，
当y＝4时，PQ2最大，
此时PQ最大，且PQ的最大值为
＝8.
答案：8
9．以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．
解析：由题意知圆心坐标应为(5,0)．又因为点(5,0)到渐近线y＝±x的距离为4，
所以圆的方程为x2＋y2－10x＋9＝0.
答案：x2＋y2－10x＋9＝0
10．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆方程为________．
解析：由题意知，解得，
椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
11．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________．
解析：设P(x，y)，M(－2,0)，N(2,0)，则＝(4,0)，||＝4，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)；
由||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，
化简整理得y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
12．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2且·＝1，则点P的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)，则Q(－x，y)，又设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0.
于是＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)，由＝2可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0.
又＝(－a，b)＝(－x,3y)，
由·＝1可得x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．
答案：x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
13．抛物线y2＝x上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，则m的取值范围是____________．
解析：法一：设两对称点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)
且AB所在直线的方程可设为：y＝－x＋b，
代入y2＝x，得y2＋my－mb＝0，
∴y1＋y2＝－m，
且Δ＝m2＋4mb＞0.①
设A、B的中点为(x0，y0)，则y0＝＝－，
又A、B的中点在直线y＝m(x－3)上，所以x0＝，
又(x0，y0)在直线y＝－x＋b上．
∴b＝y0＋x0＝－＋，
代入①并整理得：m2＜10，
∴－＜m＜，
∴m的取值范围是(－，)．
法二：设两对称点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A、B的中点为(x0，y0)，依题意，则有：
①－②得：(y1＋y2)(y1－y2)＝x1－x2，
将③④代入上式得：y0＝－，⑧
将⑧代入⑥得：x0＝，⑨
将⑧⑨代入⑦得2＜，
∴m2＜10，∴－＜m＜.
∴m的范围是(－，)．
答案：(－，)
14．已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0且a≠b)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题：
①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上；
②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上；
③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；
④△PF1F2的内切圆必通过点(a,0)．
其中真命题有________(写出所有真命题的代号)．
解析：设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则PA＝PB，F1A＝F1M，F2B＝F2M，又点P在双曲线右支上，所以PF1－PF2＝2a，故F1M－F2M＝2a，而F1M＋F2M＝2c，设M点坐标为(x,0)，则由F1M－F2M＝2a可得(x＋c)－(c－x)＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故①④正确．
答案：①④
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4 m 时，水面宽8 m.
(1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程；
(2)若水面上升1 m，求水面宽度．
解：(1)如图，以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
由已知条件可知，点B的坐标是(4，－4)，代入方程，得42＝－2p×(－4)，即p＝2.
所以，所求抛物线标准方程是x2＝－4y.
(2)若水面上升1 m，则y＝－3，代入x2＝－4y，
得x2＝－4×(－3)＝12，x＝±2，所以这时水面宽为4 m.
16．(本小题满分14分)已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．
解：(1)把椭圆方程化为标准形式为＋＝1，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)．
故设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则，解得，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由(1)知双曲线的右准线方程为x＝，即为抛物线的准线方程．故设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则有＝，故p＝.
所以抛物线的标准方程为y2＝－x.
17．(本小题满分14分)已知双曲线－＝1与点M(5,3)，F为右焦点，试在双曲线上求一点P，使PM＋PF最小，并求出这个最小值．
解：双曲线的右焦点F(6,0)，离心率e＝2，右准线为l：x＝.作MN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，则PF＝ePN＝2PN⇒PN＝PF.此时PM＋PF＝PM＋PN＝MN＝5－＝为最小值．
在－＝1中，令y＝3，x2＝12⇒x＝±2；
又∵x>0，∴取x＝2.
即当所求P点的坐标为(2，3)时，PM＋PF取最小值.
18．(本小题满分16分)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点N(－，1)在椭圆上，线段NF2与y轴的交点M满足＋＝0.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解：(1)由已知，点N(－，1)在椭圆上，
∴有＋＝1，①
又∵＋＝0，M在y轴上，∴M为NF2的中点，
∴－＋c＝0，c＝.∴有a2－b2＝2，②
由①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4，故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设PF1＝m，PF2＝n，
则S△F1PF2＝mnsin＝ mn.
由椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a，即m＋n＝4.①
又由余弦定理得PF＋PF－2PF1·PF2cos＝F1F，即m2＋n2－mn＝(2)2.②
由①2－②，得mn＝，∴S△F1PF2＝.
19．(本小题满分16分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
(3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)，
又∵F(1,0)，∴kFA＝；MN⊥FA，∴kMN＝－，
则FA的方程为y＝(x－1)，
MN的方程为y－2＝－x.
解方程组，得，
∴点N的坐标为(，)．
(3)由题意得，圆M的圆心是点(0,2)，半径为2.
当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时，直线AK与圆M相离，
当m≠4时，直线AK的方程为y＝(x－m)，
即为4x－(4－m)y－4m＝0，
圆心M(0,2)到直线AK的距离d＝，
令d>2，解得m>1.
∴当m>1时，直线AK与圆M相离；
当m＝1时，直线AK与圆M相切；
当m
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