2.3 用频率估计概率
当重复试验次数很大时，一个事件发生的频率稳定在相应的概率附近，所以可以通过大量重复的试验，用一个事件发生的频率来估计概率，特别注意实验次数要足够多．
1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是(D).
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2.用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9.下列说法中，正确的是(D).
A.种植10棵幼树，结果一定是9棵幼树成活
B.种植100棵幼树，结果一定是90棵幼树成活，10棵幼树不成活
C.种植10n棵幼树，恰好有n棵幼树不成活
D.种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
3.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有(D).
A.15个 B.20个 C.30个 D.35个
(第4题)
4.小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别在矩形ABCD的两边AD，BC上，EF∥AB，M，N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是(C).
A. B. C. D.
5.某同学做抛硬币实验，共抛10次，结果为3正7反.若再进行大量的同一实验，则出现正面朝上的频率将会接近于 0.5 ．
6.为了估计一个鱼塘里有多少条鱼，第一次打捞上来20条，做上记号放入水中，第二次打捞上来50条，其中4条有记号，鱼塘大约有 250 条鱼．
7.某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”“花开富贵”“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元.小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：
奖券种类
紫气东来
花开富贵
吉星高照
谢谢惠顾
出现张数
500
1000
2000
6500
求“紫气东来”奖券出现的频率．
【答案】=0.05
8.下表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据，回答下列问题：
投篮次数(n)
50
100
150
200
250
300
500
投中次数(m)
28
6
78
104
124
153
252
(1)估计这位同学投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1).
(2)根据此概率，这位同学投篮622次，投中的次数约是多少？
【答案】(1)投中的概率约是0.5.
(2)622×0.5=311（次）.∴这位同学投篮622次，投中的次数约是311次.
9.在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小鲍做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.如图所示为“摸到白色球”的概率折线统计图.
(1)当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.50 (精确到0.01)，估计盒子里白球有 15 个，假如摸一次，摸到白球的概率为 .
(2)如果要使摸到白球的概率为34，需要往盒子里再放入多少个白球？
（第9题）
【答案】(1)0.50 15
(2)设需要往盒子里再放入x个白球.根据题意得=，解得x=30.∴需要往盒子里再放入30个白球.
10.甲、乙两位同学在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是(D).
A.掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率
B.掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C.任意写出一个整数，能被2整除的概率
D.一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
（第10题） （第11题）（第12题）
11.如图所示为由四个全等的直角三角形围成的图形，若两条直角边分别为3和4，则向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是(不考虑落在线上的情形)(D).
A. B. C. D.
12.如图所示，将一个圆盘四等分，并把四个区域分别标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，只有区域Ⅰ为感应区域，中心角为60°的扇形AOB绕点O转动，在其半径OA上装有带指示灯的感应装置N，当扇形AOB与区域Ⅰ有重叠(原点除外)的部分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形AOB任意转动时，指示灯发光的概率为(D).
A. B. C. D.
13.在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下表所示的数据：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
黑棋数
1
3
0
2
3
4
2
1
1
3
根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为 40 枚.
（第14题）
14.如图所示，为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为2m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 1 m2.
15.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
63
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.63
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
(1)请估计：当实验次数为5000次时，摸到白球的频率将会接近 0.6 .(结果精确到0.1)
(2)假如你摸一次，你摸到白球的概率P(摸到白球)= 0.6 .
(3)试验估算这个不透明的盒子里黑球有多少个.
【答案】(1)0.6
(2)0.6
(3)盒子里黑球的个数为40×(1-0.6)=16（个）.
16.如图所示为两个形状不同的靶子，靶子1中的等边三角形被等分成A，B，C三部分，靶子2中A是半圆，B，C是四分之一圆.飞镖随机地掷在图中的靶子上．
(1)在每一个靶子中，飞镖投到区域A，B，C的概率分别是多少？
(2)在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？
(3)在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？
(4)用重复试验的方法验证第(3)题的结果，介绍你的试验过程和结果(要求列出频数表).
（第16题）
【答案】(1)图1中，飞镖投到区域A，B，C的概率分别是：,,；图2中，飞镖投到区域A，B，C的概率分别是,,.
(2)在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是+=.
(3)在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是+=.
(4)略
17.【北京】如图所示为计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.
（第17题）
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616;
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620.
其中合理的是(B).
A.① B.② C.①② D.①③
18.【呼和浩特】我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率.随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计.用计算机随机产生m个有序数对(x，y)(x，y是实数，且0≤x≤1，0≤y≤1)，它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部.如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，那么据此可估计π的值为 .(用含m，n的式子表示)
（第18题答图）
【解析】根据题意，点的分布如答图所示，则有=nm，∴π=.
19.小明在操场上做游戏，他发现地上有一个如图所示的不规则的封闭图形ABC，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
石子落在区域内
掷石子次数
50次
150次
300次
石子落在⊙O内(含⊙O上)次数m
14
43
93
石子落在阴影区域内次数n
29
85
186
（第19题）
你能否求出封闭图形ABC的面积？试试看．
【答案】由记录mn≈，∴P（落在⊙O内）=.∵P（落在⊙O内）=，S⊙O=π(m2).∴ =，SABC=3π（m2）.
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