湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考数学（理）试题Word版含答案.doc

www.ks5u.com 绝密★2018年10月4日17:00前 湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考 ‎ 理科数学试题 ‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎4．本卷答题时间120分钟，满分150分。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．已知命题：，，，则是（ ）‎ A．，，‎ B．，，‎ C．，，‎ D．，，‎ ‎3．已知直线是曲线的切线，则实数（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4．已知向量，且，则等于（ ）‎ A．1 B．3 C．4 D．5‎ ‎5．为了得到函数的图象，只需把上所有的点（ ）‎ A.先把横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位 B.先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移个单位 C. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左右移个单位 D.先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位 ‎6．将标号为1,2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片，选出每列标号最小的卡片，将这些卡片中标号最大的数设为；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设为．‎ 甲同学认为有可能比大，乙同学认为和有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中（ ）‎ A. 甲对乙不对B. 乙对甲不对C. 甲乙都对D. 甲乙都不对 ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．B． C． D．‎ ‎8．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A.B. C. D. ‎ ‎10．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( )‎ A. 360种 B. 432种 C. 456种 D. 480种 ‎11．设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎12．已知函数若当方程有四个不等实根，，，（）时，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）‎ A．B．C．D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．，互为共轭复数,且则=____________．‎ ‎14．设有四个数的数列，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于1，则的取值范围为________．‎ ‎15．△的三个内角为，，，若，则的最大值为．‎ ‎16．已知.若时，的最大值为2，则的最小值为.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17．已知数列的前项和为，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，证明：． ‎ ‎18．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．‎ ‎（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；‎ ‎（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．‎ ‎19．三棱柱的底面是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点在棱上，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎20．已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足， ．　‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积．‎ ‎21．设函数，其中．‎ ‎（1）讨论极值点的个数；‎ ‎（2）设，函数，若，（）满足且，证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程。‎ ‎23. [选修4–5：不等式选讲]‎ 已知，函数的最小值为1．‎ ‎（Ⅰ）证明：。‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大值。‎ 湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考 ‎ 理科数学试题参考答案及解析 ‎1．B.【解析】由题意得，，，∴，故选B.‎ 考点：集合的运算.‎ ‎2．C【解析】本题考查全称命题的否定.已知全称命题则否定为故选C.‎ 考点：全称命题的否定.‎ ‎3．C【解析】设切点为，∴切线方程是 ‎，‎ ‎∴，故选C.‎ 考点：导数的运用.‎ ‎4．D【解析】由向量，且，则，解得，所以，所以，所以，故选D．‎ 考点：向量的运算．‎ ‎5．A【解析】把上所有的点横坐标缩短到原来的倍可得到函数的图象，再把的图象向左平移个单位得到函数，故选A.‎ 考点：函数图象的平移变换与伸缩变换.‎ ‎6．B【解析】‎ 随意列表如下 ‎20‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎19‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎13‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎15‎ 比如此时每一列的最小值分别为17，1，2，9，11，此时最小值中最大的是 ‎，每一行中最大的分别是20，19，18，17，此时四个最大值中最小的是，此时，即乙说法正确，观察该表格，将表中数据无论怎么调换，始终有，即甲说法错误，故选B.‎ 考点：考查推理 ‎7．B【解析】几何体为锥与柱的组合体，其中锥的高为1，底面为四分之一个圆，圆半径为1；柱的高为1，底面为直角三角形，两个直角边长分别为1和2，所以体积为，选B.‎ 考点：三视图 ‎8．C【解析】由题设可得,故圆心在焦点上,故,设直线,代入得,所以,则 ‎,即,也即.故应选C.‎ 考点：直线与圆抛物线的位置关系及运用.‎ ‎9．C【解析】双曲线右焦点为，过右焦点的直线为，与双曲线方程联立消去可得到，由题意可知，当时，此方程有两个不相等的异号实根，所以，得，即；当时，此方程有两个不相等的同号实根，所以，得，；又，所以离心率的取值范围为．故本题正确选项为C.‎ 考点：双曲线的离心率，一元二次方程根的情况.‎ ‎10．A【解析】由容斥原理，全排减去2站两端的，再减去，1,3，5不相邻，再加上2 站两端且1,3，5不相邻，所以N=360一类：恰两个相邻，选1,3,5中3个选两个排，再与另外4,6，排，最后插入2，不插两端，方法数=72，二类，三个相邻，1,3,5捆绑在一起，再与4,5排，最后插入2，不插两端，方法数360.‎ 考点：容斥原理，排列组合问题。‎ ‎11．A【解析】设在平面上的射影为在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，则， ，设到距离为，则，即点在与直线平行且与直线距离为的直线上， 到的最短距离为，故选A.‎ 考点：正方体的性质、二面角的求法、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用 ‎12．B【解析】当时，，所以，由此画出函数的图象如下图所示，由于，故.且.所以，，由分离参数得，，令，则上式化为，即，此方程有实数根，判别式大于或等于零，即，解得，所以，故选B.‎ 考点：分段函数与不等式.‎ ‎13．【解析】设，代入得，所以，解得，所以.‎ 考点：复数运算.‎ 14． ‎【解析】 因为后3个数成等差数列且和为15,故可依次设后3个数为5-d,5,5+d,（d）‎ 又前3个数构成等比数列,‎ 则第一个数为,即+5-d+5=k,‎ 化简得=0,‎ 因为满足条件的数列的个数大于1,需要Δ>0,所以k>.‎ 再由d，得 故答案为：‎ 考点：本题主要考查等差数列，等比数列的性质，考查了函数与方程的思想，属于中档题。‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ ‎,,展开化简得,所以,则,当,所求的有最大值.‎ 考点：1.三角恒等变换；2.二次函数的最值.‎ ‎16．【解析】，所以，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线斜率小于零知直线过点取最大值，即，因此，当且仅当时取等号 考点：线性规划，基本不等式求最值 ‎17．（1）当时，，解得；‎ 当时，，解得．‎ 当时，，，‎ 以上两式相减，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ 当时，，‎ ‎∴‎ 考点：已知与的关系求数列通项，放缩法证明不等式．‎ ‎18．（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．‎ 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．‎ ‎（2）利用模型②得到的预测值更可靠．‎ 理由如下：‎ ‎（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．‎ ‎（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．‎ 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．‎ 考点：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点求参数.‎ ‎19．（1）连接，‎ 底面，底面，‎ ‎，且与底面所成的角为，即.‎ 在等边中，易求得.‎ 在中，由余弦定理，得 ‎，‎ ‎，即.‎ 又 又，‎ 平面，‎ 又平面，‎ ‎，‎ 又，‎ 平面.‎ ‎（2）如下图所示，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 则 故 由（1）可知 可得点的坐标为，‎ 平面的一个法向量是.‎ 设平面的法向量，由 得 令则 则，‎ 易知所求的二面角为钝二面角 ，‎ 二面角的平面角的余弦角值是 考点：1.线面垂直的判定定理；2.空间向量的应用.‎ ‎20．（1）由的焦点为的顶点，得的焦点， ．‎ 令的方程为，因为在上，所以．‎ 于是由解得， ，所以的方程为．‎ 由直线与椭圆交于、两点，知、关于原点对称，所以 ‎．‎ 令点， ，则， ，‎ ‎， ．‎ 于是由， ，得 即 两式相乘得．‎ 又因为点在上，所以，即，‎ 代入中，得．‎ 当时，得；‎ 当时，则点或，此时或，也满足方程．‎ 若点与点重合，即时，由解得或．‎ 若点与点重合时，同理可得或．‎ 综上，点的轨迹是椭圆除去四个点， ， ， ‎ ‎，其方程为（， ）．‎ ‎（2）因为点到直线的距离， ，‎ 所以的面积 ‎.‎ 当且仅当，即或，‎ 此时点的坐标为或．‎ ‎21．（1）函数的定义域为，．‎ 令．‎ ‎①当时，，，所以，函数在上单调递增，无极值；‎ ‎②当时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 且，所以，在上有唯一零点，从而函数在上有唯一极值点；‎ ‎③当时，若，即时，则在上恒成立，‎ 从而在上恒成立，函数在上单调递增，无极值；‎ 若，即，由于，‎ 则在上有两个零点，从而函数在上有两个极值点．‎ 综上所述：‎ 当时，函数在上有唯一极值点；‎ 当时，函数在上无极值点；‎ 当时，函数在上有两个极值点．‎ ‎（2），．‎ 假设结论不成立，则有 由①，得，∴，‎ 由③，得，∴，即，即．④‎ 令，不妨设，（），则，‎ ‎∴在上增函数，，‎ ‎∴④式不成立，与假设矛盾．‎ ‎∴．‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的极值；3、反证法．‎ ‎22．（1）的直角坐标方程为．‎ 当时，与交于两点．‎ 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎（2）的参数方程为为参数，．‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．‎ 于是，．又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是为参数，．‎ 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程。23．（Ⅰ ‎）证明： ，显然在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以的最小值为，即．‎ ‎（Ⅱ）因为恒成立，所以恒成立，‎ 当且仅当时，取得最小值，‎ 所以，即实数的最大值为．‎ 考点：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题。‎