南昌二中2018—2019学年度上学期第一次月考
高二数学（理）试卷
命题人：黄洁琼 审题人：曹玉璋
一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。）
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．若椭圆的一个焦点坐标为(1,0)，则m的值为( )
A． 5 B． 3 C． D．
3．如果两条直线l1 :与l2:平行，那么等于( )
A．2或 B．2 C． D．
4. 若满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．圆关于直线对称，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于、两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
7．设AB是椭圆（）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB
的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、… 、P99 ，F1为椭圆的左焦点，则+…的值是 （ ）
A. B. C. D.
8 .一条光线从点（-2， -3）射出，经y轴反射与圆相切，则反射光线所在的直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知点是直线上一动点，直线是圆的两条切线， 为切点， 为圆心，则四边形面积的最小值是（ ）
A. 2 B． C． D．4
11．已知椭圆 ，为长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，，则其短轴长为 （ ）
A. B. C. D.
12．已知椭圆C: 的左右焦点分别为，,点P在椭圆C上，线段
与圆： 相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值为（ ）
A． B. C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.圆与圆有_____条公切线．
14.已知圆和点,是圆上一点，线段的垂直平分线交
于点，则点的轨迹方程是__________．
15.已知是椭圆上的一点，是该椭圆的两个焦点，若的内切圆半
径为，则的值为__________．
16.在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则椭圆上一点P与直线上一点Q的“折线距离”的最小值为__________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．）
17、（本小题10分）
已知正方形的中心为直线和直线的交点，其一边所在直线方程为，
(1)写出正方形的中心坐标；
(2)求其它三边所在直线的方程（写出一般式）.
18、（本小题12分）
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点两点；
（2）在坐标轴上的一个焦点与短轴上两顶点的连线互相垂直，且过点.
19、（本小题12分）
红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长2997米，在南昌大桥和新八一大桥之间，也是国内最大的水下立交系统。已知隧道截面是一圆拱形（圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状），路面宽度米，高4米。车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5米，高为3.5米的货车能否驶入
这个隧道？请说明理由。
（参考数据：）
20、（本小题12分）
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）设点，记的轨迹方程所对应的曲线为，若过点且在两坐标轴上截距相等的直线与曲线相切，求的值及切线方程的斜截式．
21、（本小题12分）
已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于A， B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
22、（本小题12分）
如图，已知椭圆：的右焦点为F，点B、C分别是该椭圆的上、下顶点，点P是直线l：y=-2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M .
（1）当直线PM过点F时，求△FBM的面积；
（2）①记直线BM、BP的斜率分别为 ，求证：为定值；
②求的取值范围.
南昌二中2018—2019学年度上学期第一次月考
高二数学（理）试卷参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
C
B
B
C
D
D
B
A
B
B
13. 3
14.
15.
16.
详细解答：
11.解：由题意可知，且a=2；
如图，在Rt△AOC中，求得C（1，-1），代入椭圆方程得
∴c2=a2-b2=4- 。故答案为c。
12.解： 连接,
由为中位线，可得 , ,
圆，可得且，
由椭圆的定义可得，可得，
又，可得，
即有，即为，
化为，即，，即有，
则，
当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.
15.解：椭圆的a=2，b=，c=1．
根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，
不妨设P是椭圆上的第一象限内的一点，
S△PF1F2=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•==|F1F2|•yP=yP．
所以yp=．
则=（-1-xp，-yP）•（1-xP，-yP）=xp2-1+yp2
=4（1-）-1+yp2=3- =
16.解：设直线上的任意一点坐标，椭圆
上任意一点的坐标为由题意可知：分类讨论：①
②
解同上
③．
∴椭圆上一点与直线 上一点的“折线距离”的最小值为。
17、由，得：即中心坐标为
∵正方形一边所在直线方程为
∴可设正方形与其平行的一边所在直线方程为（）
∵正方形中心到各边距离相等，
∴ ∴或（舍）
∴这边所在直线方程为
设与垂直的两边所在直线方程为
∵正方形中心到各边距离相等
∴ ∴或
∴这两边所在直线方程为，
∴其它三边所在直线的方程为，，
18、(1) ;(2)
19、如图，建立平面直角坐标系，设圆心，
由得，，则圆方程为 ，
所以当 ，
即一辆宽为2.5米，高为3.5米的货车不能驶入这个隧道。
20、（1）设，，
∵为线段中点
则 ，整理得，
又点在圆上运动
∴，
即．
∴点M的轨迹方程为；
（2）设切线方程为和，
则和，
∴切线方程为: .
21.（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，
解得，所以，
故所求椭圆C的方程为．
（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
理由如下：
设点，，
将直线的方程代入，
并整理，得．（*）
则，．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以，即．
又，
于是，解得，
经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．
所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
22.
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