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第 21 章 一元二次方程
考试时间：120 分钟；满分：150 分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）
1．（4 分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+2=1 B． C．x2=0 D．ax2+bx+c=0
2．（4 分）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（ ）
A．﹣5 B．﹣9 C．0 D．5
3．（4 分）已知一元二次方程 x2+kx﹣3=0 有一个根为 1，则 k 的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
4．（4 分）方程 x2﹣9=0 的解是（ ）
A．x=3 B．x=﹣3 C．x=±9 D．x1=3，x2=﹣3
5．（4 分）一元二次方程 y2﹣y﹣ =0 配方后可化为（ ）
A．（y+ ）2=1 B．（y﹣ ）2=1 C．（y+ ）2= D．（y﹣ ）2=
6．（4 分）设 x1 为一元二次方程 2x2﹣4x= 较小的根，则（ ）
A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣
7．（4 分）解方程 x2+2x+1=4 较适宜的方法是（ ）
A．实验法 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法
8．（4 分）一元二次方程 x2﹣2x=0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x1x2 为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
9．（4 分）如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然
后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，求剪去的小正方形
的边长．设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为（ ）
092
12 =−+
xx
4
3
2
1
2
1
2
1
4
3
2
1
4
3
4
5
2
92
A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32
C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32
10．（4 分）某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市 2017 年“竹文化”
旅游收入约为 2 亿元．预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计该市 2018 年、2019
年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
评卷人 得 分
二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
11．（5 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n=0 有一个根是 2，则 m+n= ．
12．（5 分）对于实数 p，q，我们用符号 min{p，q}表示 p，q 两数中较小的数，如 min{1，2}=1，min{﹣2
，﹣3}=﹣3，若 min{（x+1）2，x2}=1，则 x= ．
13．（5 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 ．
14．（5 分）某商品的原价为 120 元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是 m，那么该商品
现在的价格是 元（结果用含 m 的代数式表示）．
评卷人 得 分
三．解答题（共 9 小题，满分 90 分）
15．（8 分）解方程：2x2﹣4x﹣30=0．
16．（8 分）已知 x=2 是关于 x 的方程 x2﹣mx﹣4m2=0 的一个根，求 m（2m+1）的值．
17．（8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0．
（1）已知 x=2 是方程的一个根，求 m 的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC 中 AB、AC（AB＜AC）的边长，当 BC= 时，△ABC 是等53
腰三角形，求此时 m 的值．
18．（8 分）阅读下列材料，解答问题
（2x﹣5）2+（3x+7）2=（5x+2）2
解：设 m=2x﹣5，n=3x+7，则 m+n=5x+2
则原方程可化为 m2+n2=（m+n）2
所以 mn=0，即（2x﹣5）（3x+7）=0
解之得，x1= ，x2=﹣
请利用上述方法解方程（4x﹣5）2+（3x﹣2）2=（x﹣3）2
19．（10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根大于 0 且小于 1，求 k 的取值范围．
20．（10 分）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2a+1）x+a2=0 有两个不相等的实数根，求 a 的取值范
围．
21．（12 分）某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月
份的生产成本是 361 万元．
假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测 4 月份该公司的生产成本．
22．（12 分）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售、增加
盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价
每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件．
（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？
23．（14 分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江
工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙
方案）进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当
年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算．第一年有 40 家工厂用乙方案治理，
共使 Q 值降低了 12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
（1）求 n 的值；
2
5
3
74
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年来用乙方
案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个相同的数值
a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因甲方案治理降低的 Q
值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5．求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及 a 的值．
5
2018 年九年级上学期 第 21 章 一元二次方程 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）
1．
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是 2 次的整式方
程，即可判断答案．
【解答】解：根据一元二次方程的定义：A、是二元二次方程，故本选项错误；
B、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；
C、是一元二次方程，故本选项正确；
D、当 a b c 是常数，a≠0 时，方程才是一元二次方程，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有 3 个条
件：①整式方程，②含有一个未知数，③所含未知数的项的次数是 1 次．
2．
【分析】一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0）中 a、b、c 分别是二次项系数、一次
项系数、常数项．
【解答】解：化为一般式，得
x2﹣5x﹣9=0，
一次项系数为﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0）特别要注意 a
≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是
常数项．其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把 x=1 代入方程得关于 k 的一次方程 1﹣3+k=0，然后解
一次方程即可．
【解答】解：把 x=1 代入方程得 1+k﹣3=0，6
解得 k=2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．
4．
【分析】先移项得到 x2=9，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2=9，
x=±3，
所以 x1=3，x2=﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如 x2=p 或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次
方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
5．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：y2﹣y﹣ =0
y2﹣y=
y2﹣y+ =1
（y﹣ ）2=1
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
6．
【分析】求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案．
【解答】解：2x2﹣4x= ，
8x2﹣16x﹣5=0，
4
3
4
3
4
1
2
1
4
57
，
∵x1 为一元二次方程 2x2﹣4x= 较小的根，
，
∵5＜ ＜6，
∴﹣1＜x1＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估
算无理数的大小．
7．
【分析】先移项，再将方程左边进行因式分解，转化成一次方程，求解即可．
【解答】解：移项得：x2+2x﹣3=0，
方程左边因式分解得：（x+3）（x﹣1）=0，
x+3=0 或 x﹣1=0，
解得：x1=﹣3，x2=1，
较适宜的方法是因式分解法，
故选：C．
【点评】本题考查解一元二次方程，掌握多种方法解一元二次方程，并针对不同的题目找到最适宜
的方法是解决本题的关键．
8．
【分析】根据根与系数的关系可得出 x1x2=0，此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣2x=0 的两根分别为 x1 和 x2，
∴x1x2=0．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键．
4
5
26
a
c8
9．
【分析】设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据
长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程
，此题得解．
【解答】解：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）=32．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
10．
【分析】设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，根据 2017 年及 2019 年
“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为 20%．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
11．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把 x=2 代入 x2+mx+2n=0 得到 4+2m+2n=0 得 n+m=﹣2，然后利
用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：∵2（n≠0）是关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n=0 的一个根，
∴4+2m+2n=0，
∴n+m=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一
元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程9
的解也称为一元二次方程的根．
12．
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到 x 的值．
【解答】解：当（x+1）2＜x2，即 x＜﹣ 时，方程为（x+1）2=1，
开方得：x+1=1 或 x+1=﹣1，
解得：x=0（舍去）或 x=﹣2；
当（x+1）2＞x2，即 x＞﹣ 时，方程为 x2=1，
开方得：x=1 或 x=﹣1（舍去），
综上，x=1 或﹣2，
故答案为：1 或﹣2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．
【分析】由于关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，可知其判别式为 0，据此列出
关于 m 的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴22﹣4m=0，
∴m=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实
数根，则可得△=0，此题难度不大．
14．
【分析】设每次降价的百分率都是 m，根据某商品的原价为 120 元，经过两次降价后的价格可用代
数式表示出．
【解答】解：设每次降价的百分率都是 m，
该商品现在的价格是；120（1﹣m）2．
2
1
2
110
故答案为：120（1﹣m）2．
【点评】本题考查理解题意的能力，知道原来的价格，知道降价的百分率，经过两次降价后可求出
现在的价格，是个增长率问题．
三．解答题（共 9 小题，满分 90 分）
15．
【分析】利用因式分解法解方程即可；
【解答】解：∵2x2﹣4x﹣30=0，
∴x2﹣2x﹣15=0，
∴（x﹣5）（x+3）=0，
∴x1=5，x2=﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解
法，属于中考基础题．
16．
【分析】根据 x=2 是关于 x 的方程 x2﹣mx﹣4m2=0 的一个根，将 x=2 代入方程变形即可求得所求式子
的值．
【解答】解：∵x=2 是关于 x 的方程 x2﹣mx﹣4m2=0 的一个根，
∴22﹣2m﹣4m2=0，
∴4=4m2+2m，
∴2=m（2m+1），
∴m（2m+1）=2．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答．
17．
【分析】（1）把 x=2 代入方程 x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0 得到关于 m 的一元二次方程，然后解关于 m
的方程即可；
（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到 x1=m+2，x2=m+1，则 AC=m+2，AB=m+1．然后讨论：当 AB=BC
时，有 m+1= ；当 AC=BC 时，有 m+2= ，再分别解关于 m 的一次方程即可．5 511
【解答】解：（1）∵x=2 是方程的一个根，
∴4﹣2（2m+3）+m2+3m+2=0，
∴m=0 或 m=1；
（2）∵△=（2m+3）2﹣4（m2+3m+2）=1，
=1；
∴x=
∴x1=m+2，x2=m+1，
∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，
∴AC=m+2，AB=m+1．
∵BC= ，△ABC 是等腰三角形，
∴当 AB=BC 时，有 m+1= ，
∴m= ﹣1；
当 AC=BC 时，有 m+2= ，
∴m= ﹣2，
综上所述，当 m= ﹣1 或 m= ﹣2 时，△ABC 是等腰三角形．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．也考查了等腰三角形的判定．
18．
【分析】设 m=4x﹣5，n=3x﹣2，则 m﹣n=（4x﹣5）﹣（3x﹣2）=x﹣3，代入后求出 mn=0，即可得
出（4x﹣5）（3x﹣2）=0，求出即可．
【解答】解：（4x﹣5）2+（3x﹣2）2=（x﹣3）2，
设 m=4x﹣5，n=3x﹣2，则 m﹣n=（4x﹣5）﹣（3x﹣2）=x﹣3，
原方程化为：m2+n2=（m﹣n）2，
整理得：mn=0，
即（4x﹣5）（3x﹣2）=0，
4x﹣5=0，3x﹣2=0，
2
132 ±+m
5
5
5
5
5
5 512
x1= ，x2= ．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成（4x﹣5）（3x﹣2）=0 是解此题的
关键．
19．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求得判别式△≥0 恒成立，因此得证，
（2）利用求根公式求根，根据有一个跟大于 0 且小于 1，列出关于 k 的不等式组，解之即可．
【解答】（1）证明：△=b2﹣4ac=[﹣（k+1）]2﹣4×（2k﹣2）=k2﹣6k+9=（k﹣3）2，
∵（k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴此方程总有两个实数根，
（2）解：
解得 x1=k﹣1，x2=2，
∵此方程有一个根大于 0 且小于 1，
而 x2＞1，
∴0＜x1＜1，
即 0＜k﹣1＜1．
∴1＜k＜2，
即 k 的取值范围为：1＜k＜2．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0 时，方程总有两个实数根”
，（2）正确找出不等量关系列不等式组．
20．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之即可得出
a 的取值范围．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2a+1）x+a2=0 有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2a+1）]2﹣4a2=4a+1＞0，
解得：a＞﹣ ．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
4
5
3
2
4
113
21．
【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据 2 月份、3 月份的生产成本，即可得出关于 x
的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由 4 月份该公司的生产成本=3 月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为 x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为 5%．
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．
答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次
方程；（2）根据数量关系，列式计算．
22．
【分析】（1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 3 元，则平均每天可
多售出 2×3=6 件，即平均每天销售数量为 20+6=26 件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【解答】解：（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 20+2×3=26 件．
故答案为 26；
（2）设每件商品应降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200，
整理，得 x2﹣30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于 25 元，
∴x2=20 应舍去，
解得：x=10．
答：每件商品应降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈
利=每天销售的利润是解题关键．14
23．
【分析】（1）直接利用第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12，得出等式求出答案
；
（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年来用
乙方案治理的工厂数量共 190 家得出等式求出答案；
（3）利用 n 的值即可得出关于 a 的等式求出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：40n=12，
解得：n=0.3；
（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，
解得：m1= ，m2=﹣ （舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），
（3）设第一年用乙方案治理降低了 100n=100×0.3=30，
则（30﹣a）+2a=39.5，
解得：a=9.5，
则 Q=20.5．
设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x，
第二年 Q 值因乙方案治理降低了 100n=100×0.3=30，
解法一：（30﹣a）+2a=39.5
a=9.5
x=20.5
解法二：
解得：
【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给
出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
2
1
2
7
=+
=+
5.392
30
ax
ax
=
=
5.9
5.20
a
x15
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