2018年秋九年级数学上册第23章旋转单元测试卷（含解析）（新版）新人教版.doc

1 第 23 章 旋转 考试时间：120 分钟；满分：150 分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 　 评卷人 得 分 一．选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分） 1．（4 分）下列运动属于旋转的是（　　） A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟表的钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．一个图形沿某直线对折的过程 2．（4 分）如图，△ODC 是由△OAB 绕点 O 顺时针旋转 40°后得到的图形，若点 D 恰好落在 AB 上， 且∠AOC=105°，则∠DOB 的度数是（　　） A．40° B．30° C．25° D．20° 3．（4 分）正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（　　） A．36° B．54° C．72° D．108° 4．（4 分）在平面直角坐标系中，把点 P（﹣5，4）向右平移 9 个单位得到点 P1，再将点 P1 绕原点 顺时针旋转 90°得到点 P2，则点 P2 的坐标是（　　） A．（4，﹣4） B．（4，4） C．（﹣4，﹣4） D．（﹣4，4） 5．（4 分）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点 O 称为极点；从点 O 出发引一条射线 Ox 称为极轴；线段 OP 的长度称为极径．点 P 的极坐标就可以用 线段 OP 的长度以及从 Ox 转动到 OP 的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即 P（3，60° ）或 P（3，﹣300°）或 P（3，420°）等，则点 P 关于点 O 成中心对称的点 Q 的极坐标表示不正确2 的是（　　） A．Q（3，240°） B．Q（3，﹣120°） C．Q（3，600°） D．Q（3，﹣500°） 6．（4 分）在平面直角坐标系中，点 P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5） 7．（4 分）下列各图，均是圆与等边三角形的组合，则不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 8．（4 分）将△AOB 绕点 O 旋转 180°得到△DOE，则下列作图正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（4 分）已知正方形的一条对角线长为 2，把正方形经过某种图形变换后的面积为 4，则图形变 换是（　　） A．相似变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．平移变换 10．（4 分）在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，从一个格 点移动到与之相距 的另一个格点的运动称为一次跳马变换，例如，在 4×4 的正方形网格图形中 （如图 1），从点 A 经过一次跳马变换可以到达点 B，C，D，E 等处．現有 10×10 的正方形网格图 形（如图 2），则从该正方形的顶点 M 经过跳马变换到达与其相对的顶点 N，最少需要跳马变换的次 数是（　　） 53 A．7 B．8 C．9 D．10 　 评卷人 得 分 二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 11．（5 分）如图，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°，得到△DEC，连接 AD，若∠BAC=25° ，则∠BAD=　 　． 12．（5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD=3，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，得到矩形 AEFG，点 B 的对应点 E 落在 CD 上，且 DE=EF，则 AB 的长为　 　． 13．（5 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（a，3），点 B 的坐标是（4，b），若点 A 与点 B 关于原点 O 对称，则 ab=　 　． 14．（5 分）如图，点 O 是▱ABCD 的对称中心，AD＞AB，E、F 是 AB 边上的点，且 EF= AB；G、H 是 BC 边上的点，且 GH= BC，若 S1，S2 分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则 S1 与 S2 之间的等量关系是　 　 ． 2 1 3 14 　 评卷人 得 分 三．解答题（共 9 小题，满分 90 分） 15．（8 分）如图所示，将△AOB 绕着点 O 旋转 180 度得到△DOC，过点 O 的一条直线分别交 BA、CD 的延长线于点 E、F，求证：AE=DF． 16．（8 分）如图，△ABO 与△CDO 关于 O 点中心对称，点 E，F 在线段 AC 上，且 AF=CE，求证：FD=BE ． 17．（8 分）在平面直角坐标系中，把点 P（﹣5，3）向右平移 8 个单位得到点 P1，P1 关于原点的对 称点是点 P2，求点 P2 的坐标及 P2 到原点的距离． 18．（8 分）如图，在 4×4 的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上． （1）在图 1 中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形； （2）在图 2 中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形； （ 3 ） 在 图 3 中 ， 画 出 △ ABC 绕 着 点 C 按 顺 时 针 方 向 旋 转 90° 后 的 三 角 形 ．5 19．（10 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E、F 分别是 AB、BC 边上的点，且∠EDF=45°， 将△DAE 绕点 D 按逆时针方向旋转 90°得到△DCM． （1）求证：EF=MF； （2）当 AE=1 时，求 EF 的长． 20．（10 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，若将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 180°得到△EFC，连接 AF、 BE． （1）求证：四边形 ABEF 是平行四边形； （2）当∠ABC 为多少度时，四边形 ABEF 为矩形？请说明理由． 21．（12 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC 绕点 C 顺时针旋转 60°至 CD，F 是 CD 的中点，连接 BF 交 AC 于点 E，连接 AD． 求证：（1）AC=BF； （2）四边形 ABFD 是平行四边形．6 22．（12 分）如图，已知 A（2，3）和直线 y=x． （1）分别写出点 A 关于直线 y=x 的对称点 B 和关于原点的对称点 C 的坐标． （2）若点 D 是点 B 关于原点的对称点，判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由． 23．（14 分）如图，矩形 ABCD 中，AC=2AB，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得到矩形 AB′C′D′，使点 B 的对应点 B'落在 AC 上，B'C'交 AD 于点 E，在 B'C′上取点 F，使 B'F=AB． （1）求证：AE=C′E． （2）求∠FBB'的度数． （3）已知 AB=2，求 BF 的长． 　7 2018 年九年级上学期 第 23 章 旋转 单元测试卷 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分） 1． 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【解答】解：A、滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转； B、钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转； C、气球升空的运动是平移，不属于旋转； D、一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转． 故选：B． 【点评】本题考查旋转的概念．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图 形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 　 2． 【分析】根据旋转的性质求出∠AOD 和∠BOC 的度数，计算出∠DOB 的度数． 【解答】解：由题意得，∠AOD=∠BOC=40°，又∠AOC=105°， ∴∠DOB=105°﹣40°﹣40°=25°． 故选：C． 【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转角的概念是解题的关键． 　 3． 【分析】根据旋转的定义，最小旋转角即为正五边形的中心角． 【解答】解：正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是 =72 度． 故选：C． 【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 【链接】旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种 图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 　 5 3608 4． 【分析】首先利用平移的性质得出 P1（4，4），再利用旋转变换的性质可得结论； 【解答】解：∵P（﹣5，4），点 P（﹣5，4）向右平移 9 个单位得到点 P1 ∴P1（4，4）， ∴将点 P1 绕原点顺时针旋转 90°得到点 P2，则点 P2 的坐标是（4，﹣4）， 故选：A． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转以及平移，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识， 属于中考基础题． 　 5． 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【解答】解：∵P（3，60°）或 P（3，﹣300°）或 P（3，420°）， 由点 P 关于点 O 成中心对称的点 Q 可得：点 Q 的极坐标为（3，240°），（3，﹣120°），（3，600° ）， 故选：D． 【点评】此题考查中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 　 6． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答． 【解答】解：点 P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5）， 故选：C． 【点评】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于 原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 　 7． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误．9 故选：B． 【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可 重合． 　 8． 【分析】根据旋转的性质，△AOB 绕点 O 旋转 180°得到△DOE，点 A 与点 D、B 与 E 关于点 O 成中心 对称解答． 【解答】解：∵△AOB 绕点 O 旋转 180°得到△DOE， ∴作图正确是 C 选项图形． 故选：C． 【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟记旋转的性质，判断出对应点关于点 O 对称是解题的关 键． 　 9． 【分析】根据正方形的性质利用勾股定理可求得其边长，从而就不难求得其面积，根据其面积不变 解答即可． 【解答】解：由题意得，正方形的边长为 ，故面积为 2，把正方形经过某种图形平移变换后的面 积为 4， 故选：D． 【点评】主要考查到正方形的性质和面积的求法．要注意：正方形的对角线和正方形的两条相邻的 边构成等腰直角三角形． 　 10． 【分析】根据从一个格点移动到与之相距 的另一个格点的运动称为一次跳马变换，计算出按 A﹣D﹣F 的方向连续变换 4 次后点 M 的位置，再根据点 N 的位置进行适当的变换，即可得到变换总 次数． 【解答】解：如图 1，连接 AD，DF，则 AF=3 ， ∴两次变换相当于向右移动 3 格，向上移动 3 格， 2 5 210 又∵MN=10 ， ∴10 ÷3 = ，（不是整数） ∴按 A﹣D﹣F 的方向连续变换 4 次后，相当于向右移动了 4÷2×3=6 格，向上移动了 4÷2×3=6 格， 此时 M 位于如图 2 所示的正方形网格的点 G 处，再按如图所示的方式变换 4 次即可到达点 N 处， ∴从该正方形的顶点 M 经过跳马变换到达与其相对的顶点 N，最少需要跳马变换的次数是 4+4=8 次， 故选：B． 【点评】本题主要考查了几何变换的类型以及勾股定理的运用，解题时注意：在平移变换下，对应 线段平行且相等，两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．解决问题的关键是找出 变换的规律． 　 二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 11． 【分析】根据旋转的性质可得 AC=CD，再判断出△ACD 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形 的性质求出∠CAD=45°，由∠BAD=∠BAC+∠CAD 可得答案． 【解答】解：∵Rt△ABC 绕其直角顶点 C 按顺时针方向旋转 90°后得到 Rt△DEC， ∴AC=CD， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠CAD=45°， 则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°， 故答案为：70°． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的 关键． 2 2 2 3 1011 　 12． 【分析】由旋转的性质得到 AD=EF，AB=AE，再由 DE=EF，等量代换得到 AD=DE，即三角形 AED 为等 腰直角三角形，利用勾股定理求出 AE 的长，即为 AB 的长． 【解答】解：由旋转得：AD=EF，AB=AE，∠D=90°， ∵DE=EF， ∴AD=DE，即△ADE 为等腰直角三角形， 根据勾股定理得：AE= =3 ， 则 AB=AE=3 ， 故答案为：3 【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 　 13． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 a，b 的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点 A 的坐标为（a，3），点 B 的坐标是（4，b），点 A 与点 B 关于原点 O 对称， ∴a=﹣4，b=﹣3， 则 ab=12． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出 a，b 的值是解题关键． 　 14． 【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出 = = ， = = ， 再由点 O 是▱ABCD 的对称中心，根据平行四边形的性质可得 S△AOB=S△BOC= S▱ABCD，从而得出 S1 与 S2 之间的等量关系． 【解答】解：∵ = = ， = = ， ∴S1= S△AOB，S2= S△BOC． 22 33 + 2 2 2 AOBS S ∆ 1 AB EF 2 1 BOCS S ∆ 2 BC GH 3 1 4 1 AOBS S ∆ 1 AB EF 2 1 BOCS S ∆ 2 BC GH 3 1 2 1 3 112 ∵点 O 是▱ABCD 的对称中心， ∴S△AOB=S△BOC= S▱ABCD， ∴ = = ． 即 S1 与 S2 之间的等量关系是 = ． 故答案为 = ． 【点评】本题考查了中心对称，三角形的面积，平行四边形的性质，根据同高的两个三角形面积之 比等于底边之比得出 = = ， = = 是解题的关键． 　 三．解答题（共 9 小题，满分 90 分） 15． 【分析】先利用旋转的性质得 OB=OC，AB=CD，∠B=∠C，再证明△OBE≌△OCF 得到 BE=CF，从而可 判断 AE=DF． 【解答】证明：∵△AOB 绕着点 O 旋转 180 度得到△DOC， ∴OB=OC，AB=CD，∠B=∠C， 在△OBE 和△OCF 中 ， ∴△OBE≌△OCF， ∴BE=CF， ∴BE﹣AB=CF﹣CD， 即 AE=DF． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质． 　 4 1 2 1 S S 3 1 2 1 2 3 2 1 S S 2 3 2 1 S S 2 3 AOBS S ∆ 1 AB EF 2 1 BOCS S ∆ 2 BC GH 3 1    ∠=∠ = ∠=∠ COFBOE OCOB CB13 16． 【分析】根据中心对称的性质可得 BO=DO，AO=CO，再利用等式的性质可得 FO=EO，然后再证明△FOD ≌△EOB，利用全等三角形的性质可得 DF=BE． 【解答】证明：∵△ABO 与△CDO 关于 O 点中心对称， ∴BO=DO，AO=CO， ∵AF=CE， ∴AO﹣AF=CO﹣CE， ∴FO=EO， 在△FOD 和△EOB 中 ， ∴△FOD≌△EOB（SAS）， ∴DF=BE． 【点评】此题主要考查了中心对称以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握关于中心对称的两个 图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 　 17． 【分析】先利用点平移的坐标规律，把点 P 的横坐标加上 8，纵坐标不变可得到 P1 点的坐标，再利 用关于原点对称的点的坐标特征写出 P2 点的坐标，然后利用两点间的距离公式计算点 P2 到原点的距 离． 【解答】解：∵点 P（﹣5，3）向右平移 8 个单位得到点 P1， ∴P1 点的坐标为（3，3）， ∵，P1 关于原点的对称点是点 P2， ∴P2 点的坐标为（﹣3，﹣3）， P2 到原点的距离= =3 ． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反 数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 　    = ∠=∠ = DOBO EOBFOD EOFO 22 33 + 214 18． 【分析】（1）根据中心对称的性质即可作出图形； （2）根据轴对称的性质即可作出图形； （3）根据旋转的性质即可求出图形． 【解答】解：（1）如图所示， △DCE 为所求作 （2）如图所示， △ACD 为所求作 （3）如图所示 △ECD 为所求作 【点评】本题考查图形变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基础题型． 　 19． 【分析】（1）由旋转的性质可得 DE=DM，∠EDM 为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°， 得到∠MDF 为 45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由 DF=DF，利用 SAS 可得出三角形 DEF 与三角形 MDF 全 等，由全等三角形的对应边相等可得出 EF=MF；15 （2）由第一问的全等得到 AE=CM=1，正方形的边长为 3，用 AB﹣AE 求出 EB 的长，再由 BC+CM 求出 BM 的长，设 EF=MF=x，可得出 BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形 BEF 中，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即为 EF 的长． 【解答】（1）证明：∵△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△DCM， ∴DE=DM，∠EDM=90°， ∵∠EDF=45°，∴∠FDM=45°， ∴∠EDF=∠FDM． 又∵DF=DF，DE=DM， ∴△DEF≌△DMF， ∴EF=MF； （2）解：设 EF=MF=x， ∵AE=CM=1，AB=BC=3， ∴EB=AB﹣AE=3﹣1=2，BM=BC+CM=3+1=4， ∴BF=BM﹣MF=4﹣x． 在 Rt△EBF 中，由勾股定理得 EB2+BF2=EF2， 即 22+（4﹣x）2=x2， 解得：x= ， 则 EF 的长为 ． 【点评】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用 了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 　 20． 【分析】（1）根据旋转得出 CA=CE，CB=CF，根据平行四边形的判定得出即可； （2）根据等边三角形的判定得出△ABC 是等边三角形，求出 AE=BF，根据矩形的判定得出即可． 2 5 2 516 【解答】（1）证明：∵将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 180°得到△EFC， ∴△ABC≌△EFC， ∴CA=CE，CB=CF， ∴四边形 ABEF 是平行四边形； （2）解：当∠ABC=60°时，四边形 ABEF 为矩形， 理由是：∵∠ABC=60°，AB=AC， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC， ∵CA=CE，CB=CF， ∴AE=BF， ∵四边形 ABEF 是平行四边形， ∴四边形 ABEF 是矩形． 【点评】本题考查了旋转的性质和矩形的判定、平行四边形的判定、等边三角形的性质和判定等知 识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 　 21． 【分析】（1）连接 AF，由旋转的旋转得到 AC=DC，∠ACD=60°，进而△ACD 是等边三角形，再证四 边形 ADCF 是矩形，根据矩形的对角线相等即可得到 AC=BF． （2）根据△ACD 是等边三角形，得到 AC=AD，进一步证明 AD=BF，再证明 AB=DF，即可得到四边形 ABFD 是平行四边形． 【解答】解：（1）如图，连接 AF， ∵AC 绕点 C 顺时针旋转 60°至 CD， ∴AC=DC，∠ACD=60°， ∴△ACD 是等边三角形， ∵F 是 CD 的中点，17 ∴AF⊥CD， ∴∠AFC=90°， ∵在△ABC 中，∠ABC=90°，∠BAC=60°， ∴∠ACD=30°， ∵∠ACD=60°， ∴∠BCD=90°， 又∵∠ADC=90°， ∴四边形 ADCF 是矩形， ∴AC=BF． （2）∵△ACD 是等边三角形， ∴AC=AD， ∵AC=BF， ∴AD=BF， ∵四边形 ABCF 是矩形， ∴AB=CF， ∵F 是 CD 的中点， ∴DF=CF， ∴AB=DF， ∴四边形 ABFD 是平行四边形． 【点评】本题考查了旋转的旋转，解决本题的关键是熟记矩形、平行四边形的性质定理与判定定理． 　 22． 【分析】（1）依据关于直线 y=x 的对称点的坐标特征以及关于原点的对称点的坐标特征，即可得到 B（3，2），C（﹣2，﹣3）； （2）先依据轴对称和中心对称的性质，得到四边形 ABCD 是平行四边形，再依据 AC=BD，即可得出 四边形 ABCD 是矩形． 【解答】解：（1）∵A（2，3）， ∴点 A 关于直线 y=x 的对称点 B 和关于原点的对称点 C 的坐标分别为：B（3，2），C（﹣2，﹣3）； （2）四边形 ABCD 是矩形．理由如下： ∵B（3，2）关于原点的对称点为 D（﹣3，﹣2），18 又∵点 B 点 D 关于原点对称， ∴BO=DO． 同理 AO=DO， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． ∵A 关于直线 y=x 的对称点为 B，点 A 关于原点的对称点 C， ∴AC=BD， ∴四边形 ABCD 是矩形． 【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征以及矩形的判定，解题时注意：对角线相等 的平行四边形是矩形． 　 23． 【分析】（1）在直角三角形 ABC 中，由 AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折叠的性质得到一对角相 等，利用等角对等边即可得证； （2）由（1）得到△ABB′为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为 60°，即可求出 所求角度数； （3）法 1：由 AB=2，得到 B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，过 B 作 BH⊥BF，在直角三角形 BB′H 中， 利用锐角三角函数定义求出 BH 的长，由 BF=2BH 即可求出 BF 的长； 法 2：连接 AF，过 A 作 AM⊥BF，可得△AB′F 是等腰直角三角形，△AB′B 为等边三角形，分别利 用三角函数定义求出 MF 与 AM，根据 AM=BM，即 BM+MF=BF 即可求出． 【解答】（1）证明：∵在 Rt△ABC 中，AC=2AB， ∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°， 由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°， ∴∠EAC′=∠AC′B′=30°， ∴AE=C′E； （2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形， ∴∠AB′B=60°， ∴∠FBB′=15°； （3）法 1：解：由 AB=2，得到 B′B=B′F=2，∠B′BF=15°， 过 B 作 B′H⊥BF，19 在 Rt△BB′H 中，cos15°= ，即 BH=2× = ， 则 BF=2BH= + （cos15°=cos（45°﹣30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°= × + × = ）； 法 2：连接 AF，过 A 作 AM⊥BF， （2）可得△AB′F 是等腰直角三角形，△AB′B 为等边三角形， ∴∠AFB′=45°， ∴∠AFM=30°，∠ABF=45°， 在 Rt△AMF 中，AM=BM=AB•cos∠ABM=2× = ， 在 Rt△AMF 中，MF= = = ， 则 BF= + ． BB BH ′ 4 26 + 2 26 + 6 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 26 + 2 2 2 AFM AM ∠tan 3 3 2 6 2 620 【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、直角三角形的性 质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．