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苏北四市高三年级摸底考试
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。
数学Ⅰ
参考公式：锥体的体积公式：，其中是锥体的底面面积，是高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知全集，集合，则 ▲ ．
开始
结束
Y
x←2，n←1
输出x
n←n+1
x←2x+1
n≤3
N
（第4题）
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为 ▲ ．
3．函数的最小正周期为 ▲ ．
4．右图是一个算法的流程图，则输出的值为 ▲ ．
5．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，
其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．
现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查
活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 ▲ 人．
6．若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个
数恰好为一奇一偶的概率为 ▲ ．
7．设实数，满足 则的最大值为 ▲ ．
8．设是等差数列的前项和，且，，
则的值为 ▲ ．
9．将斜边长为的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积
是 ▲ ．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为
y
（第10题）
x
O
F
A
B2
B1
椭圆的右、下、上顶点，是椭圆
的右焦点．若，则椭圆的离心率是 ▲ ．
11．若，且，则的值
为 ▲ ．
12．已知正数，满足，则的最小值为 ▲ ．
13．已知为圆的直径，为圆的弦上一动点，，，则的取值范围是 ▲ ．
14．已知函数，．若的最大值是，则实数的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15．（本小题满分14分）
在中，已知角，，所对的边分别为，，，且，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的长．
16．（本小题满分14分）
A
BA
CA
DA
EDA
A1
B11
C1
FF
（第16题）
如图，在正三棱柱中，已知，分别为，的中点，点在棱上，且．求证：
（1）直线∥平面；
（2）直线平面．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，．
（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，，求直线的方程；
y
（第17题）
x
O
B
A
C
（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．
18．（本小题满分16分）
某城市有一直角梯形绿地，其中，km，km．现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管，将绿地分成面积相等的两部分．
（1）如图①，若为的中点，在边界上，求灌溉水管的长度；
A
B
C
D
（第18题图②）
E
F
A
B
C
D
（第18题图①）
E
F
（2）如图②，若在边界上，求灌溉水管的最短长度．
19．（本小题满分16分）
在数列中，已知，，，设为的前项和．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求；
（3）是否存在正整数，，，使成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分16分）
设函数，为正实数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：；
（3）若函数有且只有个零点，求的值．
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
A
B
C
D
E
F
(第21－A题)
O
如图，是圆的直径，弦，的延长线相交于点，过作的延长线的垂线，垂足为．求证：．
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
求椭圆在矩阵对应的变换作用下所得的曲线的方程．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程．
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设，，，求证：．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥中，平面，， ，，为的中点．
（1）求异面直线，所成角的余弦值；
A
B
C
D
N
P
MB
（第22题）
（2）点在线段上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
23．（本小题满分10分）
设，．
（1）求，，的值；
（2）证明：对任意正整数，是8的倍数．
参考答案与评分标准
一、填空题
1． 2．1 3． 4．23 5．8 6． 7． 8．81
9． 10． 11． 12．36 13． 14．
二、解答题
15．（1）因为，，，
所以…………………………………2分
，………………………………4分
又，所以．……………………………………………………6分
（2）因为，且，
又，所以，……………………………………………8分
同理可得，． …………………………………………………10分
A
BA
CA
DA
EDA
A1
B11
C1
FF
（第16题）
由正弦定理，得．……………………………14分
16．（1）连结，因为，分别为，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，…………………2分
所以且，又且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，…………………4分
所以，又因为，，
所以直线平面．…………………………………………………7分
（2）在正三棱柱中，平面，
又平面，所以，
又是正三角形，且为的中点，所以，……………9分
又平面，，
所以平面，
又平面，所以，……………………………………11分
又，平面，，
所以直线平面．…………………………………………………14分
17．（1）圆的标准方程为，所以圆心，半径为．
因为，，，所以直线的斜率为，
设直线的方程为， ……………………………………………2分
则圆心到直线的距离为．…………………………4分
因为，
而，所以， ……………………………6分
解得或，
故直线的方程为或．…………………………………8分
（2）假设圆上存在点，设，则，
，
即，即， ………………………………10分
因为，……………………………………12分
所以圆与圆相交，
所以点的个数为．…………………………………………………………14分
A
B
C
（第18题图①）
E
F
G
D
18．（1）因为，，，
所以，……………………………………2分
取中点，
则四边形的面积为，
即，
解得，…………………………………………6分
A
B
C
D
（第18题图②）
E
F
所以(km)．
故灌溉水管的长度为km．……………………8分
（2）设，，在中，，
所以在中，，
所以，
所以的面积为，
又，所以，即．……………………12分
在中，由余弦定理，得，
当且仅当时，取“”．
故灌溉水管的最短长度为km．……………………………………16分
19．（1）证明：因为，所以，…………………2分
又因为，所以，
所以是首项为1，公差为的等差数列． …………………………4分
（2）由（1）知，所以，………6分
所以，
所以，
两式相减得
，
所以．…………………………………………………………………10分
（3）假设存在正整数，，，使成等差数列，
则，即．
由于当时，，所以数列单调递减．
又，所以且至少为2，所以， ………………12分
．
①当时，，又，
所以，等式不成立．…………………………………………14分
②当时，，
所以，所以，所以(单调递减，解唯一确定)．
综上可知，，，的值为，，． ………………………………16分
20．（1）当时，，则，……………2分
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为．…………4分
（2）因为，设函数，
则， …………………………………………………6分
令，得，列表如下：
极大值
所以的极大值为．
所以．………………………………………………8分
（3），，
令，得，因为，
所以在上单调增，在上单调减．
所以．………………………………………………10分
设，因为函数只有1个零点，而，
所以是函数的唯一零点．
当时，，有且只有个零点，
此时，解得．…………………………………………12分
下证，当时，的零点不唯一．
若，则，此时，即，则．
由（2）知，，又函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，
所以在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意；
若，则，此时，即，则．
同理可得，在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意．
因此，所以的值为．…………………………………………………16分
A
B
C
D
E
F
(第21－A题)
O
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．证明：连结，因为为圆的直径，
所以，
又，，
则四点共圆，
所以，…………………………5分
又∽，即，
所以．………… 10分
B．设椭圆上的点在矩阵对应的变换作用下得到点，
则，………………………………………………5分
则 代入椭圆方程，得，
所以所求曲线的方程为．……………………………………………10分
C．由得，…………………………………5分
又，，
所以曲线的直角坐标方程为．…………………………………10分
D．因为，所以，
故………………………………………………………5分
，
故．………………………………………………………………10分
A
B
C
D
N
P
MB
（第22题）
y
x
z
22．（1）因为平面，且平面，
所以，，
又因为，所以两两互相垂直．
分别以为轴建立空间直角坐标系，
则由，可得
，，，，，
又因为为的中点，所以．
所以，，…………2分
所以
，
所以异面直线，所成角的余弦值为．…………………………5分
（2）因为，所以，则，
，，
设平面的法向量为，
则 即 令，解得，，
所以是平面的一个法向量．……………………………7分
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得，
所以的值为．……………………………………………………………10分
23．（1）代入求出，，．……………………………3分
（2）①当时，是8的倍数，命题成立．…………………………4分
②假设当时命题成立，即是8的倍数，
那么当时，，
因为是偶数，所以是的倍数，
又由归纳假设知是8的倍数，
所以是8的倍数，
所以当时，命题也成立．
根据①②知命题对任意成立．…………………………………………10分
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