2016～2017学年度上学期高三年级期中考试
理科数学试卷
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（ ）
A．{1} B．{2} C．1 D．2
2．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（ ）
A．2 B． C．1 D．3
3．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（ ）
A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞4
4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
5．给出计算 的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20
6．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（，2]
C．（，2] D．（2，4]
7．数列{an}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+an=2n﹣1，则a12+a22+…+an2等于（ ）
A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．
8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何
体的体积为（ ）
A．2 B． C． D．
9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（ ）
A．f（﹣）＜f（）＜f（） B．f（﹣）＜f（）＜f（）
C．f（）＜f（）＜f（﹣） D．f（）＜f（﹣）＜f（）
10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
11．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣，﹣1） B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2） D．（﹣，﹣2]
12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）ex﹣1，若
g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）
第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值 ．
14．设数列{an}的n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则{an}的通项公式an= ．
15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是 ．
X
﹣2
0
4
f（x）
1
﹣1
1
16. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．
（1）求∠C的大小；
（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．
18. （本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．
19. （本小题满分12分） 已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
20. （本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．
（1）求直线AB的极坐标方程；
（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．
（1）求实数m的值；
（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．
2016～2017学年度上学期高三年级期中考试
理科数学参考答案
一．选择题
1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．
二．填空题
13．﹣8 14. ． 16. ．
三．解答题
17．解：（1）依题意：，即，
又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分
（2）由三角形是锐角三角形可得，
即由正弦定理得
∴，
，，
=
==
=
==，
∵，∴，
∴，即...............12分
18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，
知a1=2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）
（Ⅱ）∵（n≥1）①
∴②（4分）
②﹣①得：，
bn+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）
（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）
令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①
则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②
①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）
∴数列{cn}的前n项和…（12分）
19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，
即，解得：a=﹣1或a=3，
当截距为零时，设y=kx，同理可得或，
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分
（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．
∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．
∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，
∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分
20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）
解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．
由AD=3，可知，．
则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），
所以，．
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．
令，则=．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．
所以cos．
因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．
因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）
21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，
所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分
（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．
若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．
若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；
当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；
当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．
故[f（x）]min==．
若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．
综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；
当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；
当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分
（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，
因而（x∈[1，e]）
令（x∈[1，e]），又，
当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，
从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分
22.解：（1）在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，
极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，
曲线C1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x2+y2=﹣4y，
∴曲线C1：x2+y2+y=0，∴直线AB的普通方程为：（x2+y2﹣4x）﹣（x2+y2+4y）=0，
∴y=﹣x，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣，
∴直线AB极坐标方程为：．.............5分
（2）根据（1）知，直线AB的直角坐标方程为y=﹣x，
根据题意可以令D（x1，y1），则
，又点D在直线AB上，所以t1=﹣（2+t1），
解得 t1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t1|=，
同理，令交点E（x2，y2），则有，
又点E在直线x=0上，令2+t2=0，∴t2=﹣，∴|CE|=|t2|=，
∴|CD|：|CE|=1：2．............................10分
23.解：（1）∵f（x）=m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，
∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），
∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分
（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立⇔关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立
⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，
解得：a≥6或a≤0．..............10分
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