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衡阳市八中2016年下期期中考试试题
高二数学（理）
命题人：刘美容 周彦 审题人：肖中秋
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知椭圆的标准方程，则椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B. C．， D．
4. 已知不共线，对空间任意一点，若，则四点（ ）
A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断
5．已知动点到点和到直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．双曲线左支 C．一条直线 D．圆
6．双曲线的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则双曲线的虚轴长等于（ ）
A．4 B． C． D．
7．焦点是，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
8.在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
9．若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
10．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则点的坐标是（ ）
A．（－2，1） B．（1，2） C．(2，1) D．（－1，2）
11．在极坐标系中，已知圆的方程为，则圆心的极坐标为( )
A. B. C. D.
12．设双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于，两点，若，则该双曲线的其中一条渐近线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）。
13．椭圆上一点到椭圆左焦点的距离为7，则点到右焦点的距离为___________．
14．在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 .
15．已知，，，若，则 .
16．椭圆上的点到直线的距离的最大值为___________．
三、解答题（本大题共6小题，满分52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
17．（本小题满分8分）已知实数满足，其中实数满足．
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．（本小题满分8分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线极坐标方程为，曲线参数方程为（为参数）．
（1）求的直角坐标方程；
（2）当与有两个公共点时，求实数取值范围．
19．（本小题满分8分）如图所示，已知长方体中，， 是棱上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分9分）如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点.
（1）求二面角的平面角的余弦值；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面?
若存在，确定点的位置并证明结论；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分9分）点在圆上运动，轴，为垂足，点在线段上，满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点作直线与点的轨迹相交于两点，使点为弦的中点，求直线的方程．
22.（本小题满分10分）椭圆的离心率为，且过点直线与椭圆交于A、C两点，直线与椭圆交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形.
（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；
（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值.
衡阳市八中2016年下期期中考试试题
高二数学（理）
命题人：刘美容 周彦 审题人：肖中秋
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．命题“”的否定是（ C ）
A． B．
C． D．
2．设，则“”是“”的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知椭圆的标准方程，则椭圆的焦点坐标为（ D ）
A． B. C．， D．
4. 已知不共线，对空间任意一点，若，则四点（ B ）
A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断
5．已知动点到点和到直线的距离相等，则动点的轨迹是（ A ）
A．抛物线 B．双曲线左支 C．一条直线 D．圆
6．双曲线的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则双曲线的虚轴长等于（ D ）
A．4 B． C． D．
7．焦点是，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是（ D ）
A． B． C． D．
8.在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ A ）
A． B． C． D．
9．若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ A ）
A． B． C．2 D．
10．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则点的坐标是（ B ）
A．（－2，1） B．（1，2） C．(2，1) D．（－1，2）
11．在极坐标系中，已知圆的方程为，则圆心的极坐标为( A )
A. B. C. D.
12．设双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于，两点，若，则该双曲线的其中一条渐近线的斜率是（ B ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）。
13．椭圆上一点到椭圆左焦点的距离为7，则点到右焦点的距离为 13 ．
14．在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 1 .
15．已知，，，若，则 .
16．椭圆上的点到直线的距离的最大值为___________．
三、解答题（本大题共6小题，满分52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
17．（本小题满分8分）已知实数满足，其中实数满足．
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
解：（1）对由得，
因为，所以
当时，解得，即为真时，实数的取值范围是．
又为真时实数的取值范围是
若为真，则真且零点，
所以实数的取值范围是
（2）是的必要不充分条件 ，即，且，
设，则
又；
所以有解得，所以实数的取值范围是
18．（本小题满分8分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线极坐标方程为，曲线参数方程为（为参数）．
（1）求的直角坐标方程；
（2）当与有两个公共点时，求实数取值范围．
解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，
∴曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为：，
实数的取值范围：.
19．（本小题满分8分）如图所示，已知长方体中，， 是棱上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
解：（1）证明 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1
所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz．
∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）．
E（0，2，1），=（-2，0，1），
又=（-2，2，-4），=（2，2，0），
∴·=4+0-4=0，且·=-4+4+0=0．
∴⊥且⊥，
即A1C⊥DB，A1C⊥BE，又∵DB∩BE=B，
∴A1C⊥平面BDE．即A1C⊥平面BED．
（3）解 由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的
一个法向量．又=（0，2，-4）,
∴cos〈,〉==．
∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为．
20．（本小题满分9分）如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点.
（1）求二面角的平面角的余弦值；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面?
若存在，确定点的位置并证明结论；若不存在，请说明理由.
解析：（1）为直三棱柱，，，分别为棱的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，.
，.设平面的一个法向量为，
则，即，得，.
又平面的一个法向量为，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
二面角的平面角的余弦值为．
（2）在线段上存在一点，设为，使得平面．
欲使平面，由（１）知，当且仅当．
，．
在线段上存在一点满足条件，此时点为的中点．
考点：（1）与二面角有关的立体几何综合体；（2）直线与平面垂直的判定.
【一题多解】（1）分别延长，交于，
∵平面，过作于，
连接，∴，
∴为二面角的平面角，
平面中，，为的中点，
∴，，在中，，
∴，
∴二面角的平面角的余弦值为．
（2）在线段上存在一点，使得平面，为中点证明如下：∵为直三棱柱，∴，
∵由（1），平面，∴平面，
∵在平面内的射影为，∵为中点，
∴，∴，
同理可证，∴平面，
∵为定点，平面为定平面，∴点唯一．
21．（本小题满分9分）点在圆上运动，轴，为垂足，点在线段上，满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点作直线与点的轨迹相交于两点，使点为弦的中点，求直线的方程．
解析：（1）∵点在线段上，满足，∴点是线段的中点，
设，则，
∵点在圆上运动，则，即，
∴点的轨迹方程为．
（2）当直线轴时，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是点，这种情况不满足题意．
设直线的方程为，
由可得，
由韦达定理可得，
由的中点为，可得，解得，
即直线的方程为，∴直线的方程为．
方法二：当直线轴，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是点，这种情况不满足题意．设，
两点在椭圆上，满足，
由（1）-（2）可得，则，
由的中点为，可得，代入上式，
即直线的方程为，即，
经检验直线与椭圆相交，∴直线的方程为.
22.（本小题满分10分）椭圆的离心率为，且过点直线与椭圆交于A、C两点，直线与椭圆交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形.
（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；
（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值.
解析：（1）依题意有，又因为，所以得
故椭圆的方程为 2分
（2）依题意，点满足
所以是方程的两个根
得
所以线段的中点为
同理，所以线段的中点为 4分
因为四边形是平行四边形，所以
解得，或(舍)
即平行四边形的对角线和相交于原点 6分
（3）点满足
所以是方程的两个根，即
故
同理， 7分
又因为，所以，其中
从而菱形的面积为
，
整理得，其中 9分
故，当或时，菱形的面积最小，该最小值为 10分
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