2018-2019年佛山市第一中学高二上学期第一次段考试题
数 学（理科）
命题人：吴洁华 王彩凤审题人：吴统胜2018年9月
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1． 答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．
2．请将答案正确填写在答题卡上
参考公式：
1.圆台的侧面积公式：，表面积公式：，其中分别是圆台上、下底面的半径，为圆台的母线长.
2.圆台（棱台）的体积公式:，其中、分别是台体上、下底的面积.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．
2.下列命题中不正确的是（ ）
A．平面∥平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面
B．平面∥平面，则内的任意一条直线都平行于平面
C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
3．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( ）
A. B． C． D．
4．圆台上、下底面面积分别是、，侧面积是，这个圆台的体积是
A. B. C. D.
5．一个几何体的三视图如下页图所示，其中正视图中是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．某四棱台的三视图如下页图所示，则该四棱台的体积是
A. B. 4 C. D. 6
第5题图 第6题图 第7题图
7．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且,则下列结论中错误的是 ( )
A．B．∥平面
C．三棱锥的体积为定值 D．与的面积相等
8.三棱锥的所有顶点都在球的表面上，，，又，则球的表面积为
A. B. C. D.
9．三棱柱底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）
第11题图
A． B． C． D．
11．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C．D．
12.如图，各棱长均为的正三棱柱，，分别为线段，上的动点，若点，所在直线与平面不相交，点为中点，则点的轨迹的长度是（）
第12题图
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图),，，，，则这块菜地的面积为______．
第13题图 第15题图 第16题图
14.下列说法中正确的是．(填序号)
①棱柱的面中，至少有两个面互相平行；
②以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
⑤圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.
15. 如图，在各小正方形边长为 的网格上依次为某几何体的正视图，侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为 .
16.如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
在正方体中，，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求所成的角.
18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点.
（1）求证：平面
（2）直线上是否存在一点，使平面平面？ 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.
19.(本小题满分12分)
如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，,，是的中点，是平面与直线的交点．
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离．
20.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，，，，，，．
（1）求棱锥的体积；
（2）在线段上是否存在一点，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21.(本小题满分12分)
如图，在中，，，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．
（1）求证：；
（2）若，求与平面所成角的正弦值；
（3）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
22.(本小题满分12分)
如图，正方体的棱长为，分别为上的点，且．
（1）当为何值时，三棱锥的体积最大？
（2）求异面直线与所成的角的取值范围．
2018-2019年佛山市第一中学高二上学期第一次段考答案
数 学（理科）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
C
D
A
A
D
C
B
A
A
B
13. 14.①⑤ 15. 16.
17.证明：(1)连接A1D,AD1,∵M,O分别是A1B，AC的中点，
∴OM∥A1D，
∵A1D⊂平面A1ADD1，OM平面AA1D1D
∴OM∥平面AA1D1D ……………………………………………………………5分
(2)由题意D1C1∥.AB， ∴D1C1BA为平行四边形,
∴AD1∥BC1，
由(Ⅰ)OM∥A1D,且A1D⊥AD1， ∴OM⊥BC1
∴所成的角为90˚ ……………… …………………………………10分
18.证明：(1)连接BD，交AC于F，
由E为棱PD的中点，F为BD的中点，
则EF∥PB，
又EF⊂平面EAC，PB平面EAC，
则PB∥平面EAC；……………… …………………………………………………………5分
（2）延长到点,使,此时平面平面.…………………6分
证明如下：连接，
∵，∴点为的中点，
又∵点为棱的中点， ∴
又 ……………………8分
底面为矩形，
又∵点为延长线上的点,
∴四边形为平行四边形
又 ………………………………………10分
又 ∴平面平面…………………12分
19. （1）证明：∵C1B1∥A1D1，C1B1平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1
∴C1B1∥平面A1D1DA．
又∵平面B1C1EF∩平面A1D1DA=EF，
∴C1B1∥EF，
∴A1D1∥EF．……… …………………………………………………………………………………………5分
（2）解：连接BF、BE，由（1）知A1D1∥EF.
又∵四边形A1D1DA为矩形，∴EF=AD=2，同理，BB1=AA1=2，B1C1=BC=4. …………………………………7分
∴
∴
∴……………………………………………10分
又
设求点到平面的距离为，则
，即点到平面的距离为…………………………………………………………12分
20.（1）在 中，． ………………………………………………………2分
因为 ，
所以棱锥 的体积为 ．………………………………5分
（2） 结论：在线段 上存在一点 ，且 ，使 ．……………………………6分
设 为线段 上一点，且 ，
过点 作 交 于 ，则
．……………………………………………………………7分
因为 ，，
所以 ．…………………………………………………………………8分
又因为 ，所以 ，，
所以四边形 是平行四边形，…………………………………………10分
则 ．……………………………………………………………………11分
又因为 ，，所以 ．………12分
21.（1） 在 中，，，所以 ，所以 ．……………………1分
又 ，，所以 ，……………………………………………………2分
由 ，所以 ．………………………………………………………………………3分
又 ，，所以 ．…………………………………………………………4分
（2）法一：连接,
,
∵，， ,
由（1）知，，则,
设点到平面的距离为，∵ ，，
，
又，设与平面所成角为，则
与平面所成角的正弦值为………………………………………………………………………8分
法二：，故 ， 到平面 的距离相等．
因为 ，，，故 ，故 ．
过 作 ，垂足为 ，
由面面垂直的性质定理得 ，故 的长度为 到面 的距离．
由 ， 得 ，故 ．
在 中，，故 ．故 与平面 所成角的正弦值为 ．
（3） 设 ，则 ，连接 ，
在 中， ，……………………9分
由（Ⅰ）知 ，
故 ，故 ．…………………………………10分
当 时， 有最小值 ，故 长度的最小值为 ，………………………………………11分
此时 ，即 为 的中点．…………………………………………………………………………12分
22.解:（1），
当时，三棱锥的体积最大． ………………………………………………………………4分
（2）在AD上取点H使AH＝BF＝AE，则，，，所以（或补角）是异面直线与所成的角……………………………………………………………………6分
在Rt△中，，………………………………………………………………………7分
在Rt△中，，………………………………………………………………………8分
在Rt△HAE中，，…………………………………………………………………9分
在△中，……………………………………………10分
因为，
所以，，，……………………12分
微信/支付宝扫码支付