万州二中高2020级高二上期十月月考
数学试题（文科）
命题人：冉伯春 审题人：张春
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I卷（选择题）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.直线2x－3y－4=0与直线mx+(m+1)y+1=0互相垂直，则实数m=（ ）
A. 2 B. C. D. －3
2.已知直线方程为则直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
3.直线mx+y－m+2=0恒经过定点（ ）
A. (1,－1) B. (1,2) C. (1,－2) D. (1,1)
4.直线过点A（-2,4），且与点B（）的距离最远，那么的方程为（ ）
A x-y+6=0 B x-y--6=0 C x+y+6=0 D x+y--6=0
5.已知点A(2,－3)、B(－3,－2),直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值k范围是 （ ）
A、k≥或k≤－4 B、k≥或k≤－ C、－4≤k≤ D、≤k≤4
6.若直线（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7.某锥体的正视图和侧视图如下图,其体积为,则该锥体的俯视图可以是
A. B. C. D.
8.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9.底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为
A. B.C.D.
10.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是（）
A． B． C. D．
11.过点M（2，1）的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，O为原点，且S△OPQ=4，则符合条件的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
12.已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0
），且y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）
A．[﹣，0） B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）
第II卷（非选择题）
二、填空题：（共4个小题，每小题5分， 共20分）
13.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是_______
14.一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线: x－y+1=0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是__________．
15.已知点A（1，0），B（3，0），若直线y=kx+1上存在点P，满足PA⊥PB，则k的取值范围是 ．
16.已知在平面直角坐标系中，点，B（0，1）到直线的距离分别为1和2，则这样的直线l共有条．
三、解答题：（共70分）
17.已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示：
（I）求四棱锥P-ABCD的表面积；
（II）求四棱锥P-ABCD的体积.
18.已知直线：x+y﹣1=0，
（1）若直线过点（3，2）且∥，求直线的方程；
（2）若直线过与直线2x﹣y+7=0的交点，且⊥，求直线的方程．
19.已知直线：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线对称的直线方程．
20.已知直线经过点.
（1）若直线的方向向量为，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求此时直线的方程.
21.已知直线：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）．
（1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；
（2）若直线交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线的方程．
22.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长AB为2，宽AD为1，AB,AD边分别为x 轴正半轴， y轴正半轴，以A为坐标原点，将矩形折叠，使A点落在线段DC上（包括端点）。
（1） 若折痕所在直线的斜率为k,求折痕所在直线方程；
（2） 当时，求折痕长的最大值；
（3） 当时，折痕为线段PQ，设t 的最大值
试卷答案
1.D2.
3.C4.A5.A6.C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．
【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），
∴+=1（a＞0，b＞0），
所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，
当且仅当=即a=b=2时取等号，
∴a+b最小值是4，
故选：C．
7.C8.A
因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，，
所以球的半径为：．
所以球的体积为：
故选A．
9.D10.B11.C
【考点】直线的截距式方程．
【分析】设直线l的方程为：y﹣1=k（x﹣2），则P（2﹣，0），Q（0，1﹣2k）．可得S△OPQ=4=，化为：﹣4=±8，解出即可得出．
【解答】解：设直线l的方程为：y﹣1=k（x﹣2），则P（2﹣，0），Q（0，1﹣2k）．
∴S△OPQ=4=，化为：﹣4=±8，
化为：4k2﹣12k+1=0，4k2+4k+1=0，
解得k=，或k=﹣．
因此符合条件的直线l有3条．
故选：C．
12.D
【考点】直线的斜率．
【专题】作图题；对应思想；数形结合法；直线与圆．
【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0，y0）到两直线的距离相等，利用，可得x0+3y0+2=0．
又y0＜x0+2，设=kOM，分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM（不包括端点B）时，即可得出．
【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），
∴，化为x0+3y0+2=0．
又y0＜x0+2，
设=kOM，
当点位于线段AB（不包括端点）时，则kOM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，kOM＜﹣．
∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题．
13.A14.
如图所示：
设关于直线的对称点是，
连接和直线交于点，
则最短，
由，
解得，
故直线和的交点是，
故．
故答案为：．
15.
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】以AB为直径圆的方程为：（x﹣1）（x﹣3）+y2=0，把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k2）x2+（2k﹣4）x+4=0，根据直线y=kx+1上存在点P，满足PA⊥PB，可得△≥0，解出即可得出．
【解答】解：以AB为直径圆的方程为：（x﹣1）（x﹣3）+y2=0，
把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k2）x2+（2k﹣4）x+4=0，
∵直线y=kx+1上存在点P，满足PA⊥PB，
∴△=（2k﹣4）2﹣16（1+k2）≥0，化为：3k2+4k≤0．
解得0，
则k的取值范围是．
故答案为：．
16.3
【考点】直线的截距式方程．
【专题】数形结合；综合法；直线与圆．
【分析】由于AB=2+1，故满足条件的且和线段AB有交点的直线存在，故满足条件的直线有三条，另外两条直线位于线段AB的两侧．
【解答】解：∵AB==3=2+1，故存在和线段AB有交点的直线．
故满足条件的直线有三条，如图：
故答案为：3．
【点评】本题考查点到直线的距离，两直线的位置关系，体现了数形结合的数学思想．
17.(1) （2） 18.
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】（1）由题意和平行关系设直线l1的方程为x+y+m=0，代点可得m的方程，解得m值可得直线l1的方程；
（2）解方程组可得交点坐标，由垂直关系可得直线斜率，可得直线方程．
【解答】解：（1）由题意和平行关系设直线l1的方程为x+y+m=0，
∵直线l1过点（3，2），∴3+2+m=0，
解得m=﹣5，直线l1的方程为x+y﹣5=0；
（2）解方程组可得，
∴直线l与直线2x﹣y+7=0的交点为（﹣2，3）
∵l2⊥l，∴直线l2的斜率k=1，
∴直线方程为x﹣y+5=0
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题．
19.设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即 ×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3× － ＋3＝0.②
由①②得
(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．………………………6分
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l的对称直线方程为 － －2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0. ……………………12分
20.（1）;（2）
（1）由的方向向量为，得斜率为，
所以直线的方程为：（6分）
（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的方程为；（9分）
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设为代入点得直线的方程为.
21.
考点： 直线的一般式方程；恒过定点的直线．
专题： 直线与圆．
分析： （1）直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）化为k（x﹣1）﹣y﹣2=0，令，解得即可得出；
（2）由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，﹣2﹣k．由于直线不经过第二象限，可得，解得k．当k=0时，直线变为y=﹣2满足题意．
（3）由直线l的方程可得A，B（0，﹣2﹣k）．由题意可得，解得k＞0．S==•|﹣2﹣k|==，利用基本不等式的性质即可得出．
解答： （1）证明：直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）化为k（x﹣1）﹣y﹣2=0，
令，解得x=1，y=﹣2，
∴直线l过定点P（1，﹣2）．
（2）解：由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，﹣2﹣k．
∵直线不经过第二象限，
∴，解得k＞0．当k=0时，直线变为y=﹣2满足题意．
综上可得：k的取值范围是[0，+∞）；
（3）解：由直线l的方程可得A，B（0，﹣2﹣k）．
由题意可得，解得k＞0．
∴S==•|﹣2﹣k|===4．当且仅当k=2时取等号．
∴S的最小值为4，此时直线l的方程为2x﹣y﹣4=0．
点评： 本题考查了直线系的应用、直线交点的性质、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
试卷答案
1.D2.
3.C4.A5.A6.C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．
【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），
∴+=1（a＞0，b＞0），
所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，
当且仅当=即a=b=2时取等号，
∴a+b最小值是4，
故选：C．
7.C8.A
因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，，
所以球的半径为：．
所以球的体积为：
故选A．
9.D10.B11.C
【考点】直线的截距式方程．
【分析】设直线l的方程为：y﹣1=k（x﹣2），则P（2﹣，0），Q（0，1﹣2k）．可得S△OPQ=4=，化为：﹣4=±8，解出即可得出．
【解答】解：设直线l的方程为：y﹣1=k（x﹣2），则P（2﹣，0），Q（0，1﹣2k）．
∴S△OPQ=4=，化为：﹣4=±8，
化为：4k2﹣12k+1=0，4k2+4k+1=0，
解得k=，或k=﹣．
因此符合条件的直线l有3条．
故选：C．
12.D
【考点】直线的斜率．
【专题】作图题；对应思想；数形结合法；直线与圆．
【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0，y0）到两直线的距离相等，利用，可得x0+3y0+2=0．
又y0＜x0+2，设=kOM，分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM（不包括端点B）时，即可得出．
【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），
∴，化为x0+3y0+2=0．
又y0＜x0+2，
设=kOM，
当点位于线段AB（不包括端点）时，则kOM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，kOM＜﹣．
∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题．
13.A14.
如图所示：
设关于直线的对称点是，
连接和直线交于点，
则最短，
由，
解得，
故直线和的交点是，
故．
故答案为：．
15.
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】以AB为直径圆的方程为：（x﹣1）（x﹣3）+y2=0，把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k2）x2+（2k﹣4）x+4=0，根据直线y=kx+1上存在点P，满足PA⊥PB，可得△≥0，解出即可得出．
【解答】解：以AB为直径圆的方程为：（x﹣1）（x﹣3）+y2=0，
把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k2）x2+（2k﹣4）x+4=0，
∵直线y=kx+1上存在点P，满足PA⊥PB，
∴△=（2k﹣4）2﹣16（1+k2）≥0，化为：3k2+4k≤0．
解得0，
则k的取值范围是．
故答案为：．
16.3
【考点】直线的截距式方程．
【专题】数形结合；综合法；直线与圆．
【分析】由于AB=2+1，故满足条件的且和线段AB有交点的直线存在，故满足条件的直线有三条，另外两条直线位于线段AB的两侧．
【解答】解：∵AB==3=2+1，故存在和线段AB有交点的直线．
故满足条件的直线有三条，如图：
故答案为：3．
【点评】本题考查点到直线的距离，两直线的位置关系，体现了数形结合的数学思想．
17.(1)（2）18.
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】（1）由题意和平行关系设直线l1的方程为x+y+m=0，代点可得m的方程，解得m值可得直线l1的方程；
（2）解方程组可得交点坐标，由垂直关系可得直线斜率，可得直线方程．
【解答】解：（1）由题意和平行关系设直线l1的方程为x+y+m=0，
∵直线l1过点（3，2），∴3+2+m=0，
解得m=﹣5，直线l1的方程为x+y﹣5=0；
（2）解方程组可得，
∴直线l与直线2x﹣y+7=0的交点为（﹣2，3）
∵l2⊥l，∴直线l2的斜率k=1，
∴直线方程为x﹣y+5=0
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题．
19.设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即 ×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3× － ＋3＝0.②
由①②得
(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．………………………6分
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l的对称直线方程为 － －2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0. ……………………12分
20.（1）;（2）
（1）由的方向向量为，得斜率为，
所以直线的方程为：（6分）
（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的方程为；（9分）
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设为代入点得直线的方程为.
21.
考点： 直线的一般式方程；恒过定点的直线．
专题： 直线与圆．
分析： （1）直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）化为k（x﹣1）﹣y﹣2=0，令，解得即可得出；
（2）由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，﹣2﹣k．由于直线不经过第二象限，可得，解得k．当k=0时，直线变为y=﹣2满足题意．
（3）由直线l的方程可得A，B（0，﹣2﹣k）．由题意可得，解得k＞0．S==•|﹣2﹣k|==，利用基本不等式的性质即可得出．
解答： （1）证明：直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）化为k（x﹣1）﹣y﹣2=0，
令，解得x=1，y=﹣2，
∴直线l过定点P（1，﹣2）．
（2）解：由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，﹣2﹣k．
∵直线不经过第二象限，
∴，解得k＞0．当k=0时，直线变为y=﹣2满足题意．
综上可得：k的取值范围是[0，+∞）；
（3）解：由直线l的方程可得A，B（0，﹣2﹣k）．
由题意可得，解得k＞0．
∴S==•|﹣2﹣k|===4．当且仅当k=2时取等号．
∴S的最小值为4，此时直线l的方程为2x﹣y﹣4=0．
点评： 本题考查了直线系的应用、直线交点的性质、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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