万州二中高2020级高二上期十月月考
数学试题（理科）
试卷满分：150分 时间：120分钟 命题人：张应红 审题人：谢泽忠
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是( )
A． 一个圆柱 B． 两个圆锥 C． 一个圆台 D． 一个圆锥
2．下列命题中错误的是( )
A． 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B． 平行于同一个平面的两个平面平行
C． 若两个平面平行，则分别位于这两个平面的直线也互相平行
D． 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
3．一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长是( )
A． 6cm B． 8cm C． D．
4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )．
第4题
第6题
A． B． C． D．
5．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A． 若,,且,则
B． 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
C． 若，则 D． 若，则
6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，题中描绘的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为 6 寸，则这天该地的降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水除以器具口面积．参考公式：其中分别表示上、下底面的面积，为高)( )
A． 2 寸 B． 3 寸 C． 4 寸 D． 5 寸
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
第10题
第7题
A． B． C． D．
8．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )
A． 24对 B． 30对 C． 48对 D． 60对
9．在直三棱柱中，，，，，则其外接球与内切球的表面积之比为( )
A． B． C． D．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
11．如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则该正四棱锥的侧面积取值范围为( )
A． B． C． D．
第12题
第11题
12．如图，矩形ABCD中，AB=1,，是线段（不含点）上一动点，把沿折起得到，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，则( )
A． B． C． D．
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分. )
13．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．
14．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如图，则它的左(侧)视图的面积是_________．
第15题
第14题
15．如图，圆锥的底面圆直径为2，母线长为4，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为________．
16．已知球面上有四个点， ， ， ，球心为点， 在上，若三棱锥的体积的最大值为，则该球的表面积为__________．
三、解答题：(本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.
(1)试用x表示圆柱的高；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？
第18题
第17题
18．如图，在四棱锥中，底面是长方形，，，,点为线段的中点，点在线段上，且．
（1）平面平面； （2）求棱锥的高.
19．如图，直三棱柱中，各棱长均为6， 分别是侧棱、上的点，且
.
第19题
第20题
（1）在上是否存在一点，使得平面？证明你的结论；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
20．如图，在五面体中，已知平面，，，，．
（1）求证：； （2）求三棱锥的体积．
21．如图，在四棱锥中， 底面，，，以为圆心， 为半径的圆过点.
(1)证明: 平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
22．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。
（1）求证：；
（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由
第22题
第21题
万州二中高2020级高二上期十月月考理科数学试题答案
一、 选择题1-12 BCBCD AACAA DA
二、 填空题13．BD 14． 15．2. 16．
11．详解：
设三棱锥一个侧面为三角形，，则
，
，
， ，
（当且仅当，即时取等号），
而，故，
时，三角形是等腰直角三角形，
顶角，阴影部分不存在，折叠后与重合，构不成棱锥，
的范围为，故选D.
12．【详解】
如图，过作，在中，由，可得．
由等积法可得，则
∵平面平面，且，可得平面，
则．
过作，垂足为，连接，则为平面与平面所成的锐角．
∵到的距离
即 ．故选：A．
三、解答题
17．（1）h＝3－3x（2）当 时，它的侧面积最大为π
【解析】(1)设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图，
BO＝1，PO＝3，圆柱的高为h，
由图，得＝，即h＝3－3x.
(2)∵S圆柱侧＝2πhx＝2π(3－3x)x＝6π(x－x2)，
当x＝时，圆柱的侧面积取得最大值为π.
∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为π.
18．（1）见解析；（2）
【解析】（1），，又，
平面，
又平面，
∴平面平面．
（2）∵平面，
如图，求得.
19．【解析】（1）存在中点，使得平面
证明过程 ：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，各棱长均为6，
∴BP=C1Q=2，P，Q分别是BB1，CC1上的三等分点，
取AQ中点E，连结PE、ED，则DE为△AQC的中位线，
∴ED∥CQ，ED=CQ，又∵BP∥QC，BP=QC，∴BP∥DE，BP=DE，
∴四边形BDEP是平行四边形，∴PE∥BD，
∵PE⊂平面APQ，BD⊄平面APQ，
∴BD∥平面APQ．
（2）由（1）得角或其补角 即为所求，
,余弦定理
20.【解析】（1）因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以．
（2）在平面内作于点，
因为平面，平面，所以，
又，平面，，
所以平面，
所以是三棱锥的高．
在直角三角形中，，，所以，
因为平面，平面，所以，
又由（1）知，，且，所以，所以，
所以三棱锥的体积．
21．【解析】（1）由底面，可知.
又以为圆心，为半径的圆过点，所以.
又因为，所以.
在中，有，所以，即.
又，所以平面.
（2）由（1）可知，，
所以 .
又由已知及（1）可知，，
所以 .
在中,设，
则由余弦定理,得 ，
即,即，解得.
且 ，
所以 .
因为底面,
所以三棱锥的体积 ，
故三棱锥的体积为.
22．【解析】（1）证明：连接，设与相交于点。
因为四边形是菱形，所以。
又因为平面，平面
为上任意一点，平面，所以
（2）连．由（I），知平面，平面，所以．
在面积最小时，最小，则．
，解得
由且得平面则，
又由 得，而，故平面
作交于点，则平面,所以就是与平面所成角.
在直角三角形中，
所以，设，则。
由得。
由得，即
万州二中高2020级高二上期十月月考理科数学试题答案
一、 选择题1-12 BCBCD AACAA DA
二、 填空题13．BD 14． 15．2. 16．
11．详解：
设三棱锥一个侧面为三角形，，则
，
，
， ，
（当且仅当，即时取等号），
而，故，
时，三角形是等腰直角三角形，
顶角，阴影部分不存在，折叠后与重合，构不成棱锥，
的范围为，故选D.
12．【详解】
如图，过作，在中，由，可得．
由等积法可得，则
∵平面平面，且，可得平面，
则．
过作，垂足为，连接，则为平面与平面所成的锐角．
∵到的距离
即 ．故选：A．
三、解答题
17．（1）h＝3－3x（2）当 时，它的侧面积最大为π
【解析】(1)设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图，
BO＝1，PO＝3，圆柱的高为h，
由图，得＝，即h＝3－3x.
(2)∵S圆柱侧＝2πhx＝2π(3－3x)x＝6π(x－x2)，
当x＝时，圆柱的侧面积取得最大值为π.
∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为π.
18．（1）见解析；（2）
【解析】（1），，又，
平面，
又平面，
∴平面平面．
（2）∵平面，
如图，求得.
19．【解析】（1）存在中点，使得平面
证明过程 ：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，各棱长均为6，
∴BP=C1Q=2，P，Q分别是BB1，CC1上的三等分点，
取AQ中点E，连结PE、ED，则DE为△AQC的中位线，
∴ED∥CQ，ED=CQ，又∵BP∥QC，BP=QC，∴BP∥DE，BP=DE，
∴四边形BDEP是平行四边形，∴PE∥BD，
∵PE⊂平面APQ，BD⊄平面APQ，
∴BD∥平面APQ．
（2）由（1）得角或其补角 即为所求，
,余弦定理
20.【解析】（1）因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以．
（2）在平面内作于点，
因为平面，平面，所以，
又，平面，，
所以平面，
所以是三棱锥的高．
在直角三角形中，，，所以，
因为平面，平面，所以，
又由（1）知，，且，所以，所以，
所以三棱锥的体积．
21．【解析】（1）由底面，可知.
又以为圆心，为半径的圆过点，所以.
又因为，所以.
在中，有，所以，即.
又，所以平面.
（2）由（1）可知，，
所以 .
又由已知及（1）可知，，
所以 .
在中,设，
则由余弦定理,得 ，
即,即，解得.
且 ，
所以 .
因为底面,
所以三棱锥的体积 ，
故三棱锥的体积为.
22．【解析】（1）证明：连接，设与相交于点。
因为四边形是菱形，所以。
又因为平面，平面
为上任意一点，平面，所以
（2）连．由（I），知平面，平面，所以．
在面积最小时，最小，则．
，解得
由且得平面则，
又由 得，而，故平面
作交于点，则平面,所以就是与平面所成角.
在直角三角形中，
所以，设，则。
由得。
由得，即
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