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辽师大附中2017届高三期中考试
数学(文)试题
一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.复数( )
A. B. C. D.
3 设,则“”是“”的( )
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件
4.在中,设,,且,则( )
A. B. C. D.
5. 已知实数满足,则的最大值是( )
A. B.9 C.2 D.11
6.设f(x)为定义在R上的奇函数,且是周期为4的周期函数,f(1)=1,
则f(-1)+f(8)等于( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
7. 已知中, 内角、、所对的边分别为、、,若,则的周长的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积是( )
正视图 侧视图 俯视图
A. B. C. D.
9.设等比数列的前项和为,若,,则( )
A.81 B.54 C.45 D.18
10已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是( )
(A) (B)1 (C) (D)
11. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1,给出以下结论:①f(x)的解析式为f(x)=x3-4x,x∈[-2,2];②f(x)的极值点有且仅有一个;③f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
12如图,已知双曲线的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P,Q两点,若,则双曲线C的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.函数的图像在点处的切线方程是 .
14已知等差数列的前项和为,若,则的值为
15.已知,,则的最小值为 .
16.已知椭圆的离心率,是椭圆的左、右顶点,是椭圆上不同于的一点,直线斜倾角分别为,则的最小值为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17已知函数的一个零点是.(I)求函数的最小正周期;
(II)令,求此时的最大值和最小值.( 12 分)
第18题图
18如图,正方形所在平面与三角形所在平面相交于,
平面,且,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求凸多面体的体积. ( 12 分)
19已知数列{}的前 n 项和 Sn 满足(p 为大于 0 的常数),且 a1 是 6a3 与 a2的等差中项。 (I)求数列{an}的通项公式;
(II)若 an·bn=2n+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ( 12 分)
20.已知抛物线,过点(其中)作互相垂直的两直线,直线与抛物线相切于点(在第一象限内),直线与抛物线相交于两点.
(Ⅰ)当时,求直线的方程;
(Ⅱ)求证:直线恒过定点.( 12 分)
21.设函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的单调递减区间和极小值(其中为自然对数的底数);
(2)若对任何恒成立,求的取值范围.( 12 分)
请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时请写清题号
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线,以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线.
(1)试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程;
(2)在曲线上求一点,使点到直线的距离最大,并求出此最大值. ( 10 分)
23.选修4-5:不等式选讲
已知和是任意非零实数.(1)求的最小值;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围. ( 10分)
2016-2017学年度上学期高三年级期中考试
数学试题(文科)答案
一、选择题 CAACBB DAAACB
二、填空题13. 14.28 15.3 16.1
三、解答题
17.解:(Ⅰ)
, ………………………………2分
由已知,即
,解得. ………………4分
所以
. ………6分
所以函数的最小正周期. ……7分
(Ⅱ),,……………………………8分
所以在上是增函数, ………………………10分
当时,;
当时,.………………………………12分
18解:(1)证明:
又在正方形中,
,
又在正方形中,
平面.………………………………6分
(2)法一:
连接,设到平面的距离为,
,又,
又,
又
所以………………………………12分
(19)
解:(I)当n=1时,,得.
当n≥2时,,
,
两式相减得an=pan﹣1,即.
故{an}是首项为,公比为p的等比数列,
∴.
由题意可得:2a1=6a3+a2,,
化为6p2+p﹣2=0.
解得p=或(舍去).
∴=. --------------------------------------------(6分)
(II)由(I)得,
则,
+(2n﹣1)×2n+(2n+1)×2n+1,
两式相减得﹣Tn=3×2+2×(22+23+…+2n)﹣(2n+1)×2n+1
=
=﹣2﹣(2n﹣1)×2n+1,
∴. --------------------------------------------(12分)
20
【解析】(Ⅰ)当时,设直线l1的斜率为k,则直线l1的方程为,
与抛物线方程联立可得:,……………………2分
由于直线l1与抛物线C相切,所以,
求得:或,根据点在第一象限内,所以,
从而直线的方程为……………………5分
(Ⅱ)设直线l1的斜率为k,则l1直线的方程为,
与抛物线方程联立可得:,
由于直线l1与抛物线C相切,所以,解得:……………8分
故Q点坐标为Q,所以直线l1的斜率为……………10分
又l1⊥l2,故设l2的方程为:,即,
所以直线l2恒过定点(0,1) ……………12分
21.解:(1)由条件得,
∵曲线在点处的切线与直线垂直,∴此切线的斜率为0,即
,有,得,
∴,由得,由得.
∴在上单调递减,在上单调递增,当时,取得极小值.
故的单调递减区间为,极小值为2..................................6分
(2)条件等价于对任意恒成立,
设.
则在上单调递减,
则在上恒成立,
得恒成立,
∴(对仅在时成立),
故的取值范围是........................................12分
请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时请写清题号
(22)解(Ⅰ) 由题意知,直线的直角坐标方程为:2x-y-6=0,
∴曲线的参数方程为:.5分
(Ⅱ) 设点P的坐标,则点P到直线的距离为:
,
∴当时,点,此时.10分
(23)解:(I)对于任意非零实数a和b恒成立,
当且仅当时取等号, 的最小值等于4.5分
(II)恒成立,
故不大于的最小值
由(I)可知的最小值等于4.
实数x的取值范围即为不等式的解.
解不等式得 10分