九年级数学上1.2二次函数的图象(3)同步导学练(浙教版带答案)
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资料简介
‎1.2 二次函数的图象(3)‎ 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方可以变形为y=a(x+)2+,所以它的图象是一条抛物线,对称轴为直线x=-,顶点坐标为(-,).‎ ‎1.有下列函数:①y=x2;②y=-x2;③y=(x-1)2+2.其中,图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的有(B).‎ A.①② B.①③ C.②③ D.①②③‎ ‎2.已知二次函数y=ax2-2x+2(a>0),那么它的图象一定不经过(C).‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.抛物线y=(m-1)x2-mx-m2+1的图象过原点,则m的值为(D).‎ A.±1 B.0 C.1 D.-1‎ ‎4.二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点(D).‎ A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,1)‎ ‎5.请写出一个对称轴为直线x=1,且图象开口向上的二次函数表达式: y=x2-2x .‎ ‎6.将二次函数y=12x2-2x+1化成y=ax+m2+n的形式为 y= (x-2)2-1 .‎ ‎7.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,5),B(4,5),则此抛物线的对称轴是 直线x=2 .‎ ‎8.已知y是x的二次函数,y与x的部分对应值如下表所示:‎ X ‎…‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ Y ‎…‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎…‎ 该二次函数图象向左平移 3 个单位,图象经过原点.‎ ‎9.已知二次函数y=-x2-x+.‎ ‎ ‎ ‎ (第9题)‎ ‎(1)在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象.‎ ‎(2)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围.‎ ‎(3)若将此函数图象沿x轴向右平移3个单位,请写出平移后图象所对应的二次函数的表达式.‎ ‎【答案】(1)图略 ‎(2)x<-3或x>1.‎ ‎(3)∵y=-(x+1)2+2,∴此图象沿x轴向右平移3个单位,平移后图象所对应的二次函数表达式为y=-(x-2)2+2.‎ ‎10.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点B(-1,0)和点C(2,3).‎ ‎(1)求此抛物线的函数表达式.‎ ‎(2)如果此抛物线沿y轴平移一次后过点(-2,1),试确定这次平移的方向和距离.‎ ‎【答案】(1)由题可得,解得.‎ ‎∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.‎ ‎(2)设沿y轴平移m个单位,则此抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3+m.‎ 由题意可知1=-4-4+3+m,解得m=6>0,∴抛物线向上平移了6个单位.‎ ‎11.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法中,正确的是(B).‎ A.abc<0,b2-4ac>0 B.abc>0,b2-4ac>0‎ C.abc<0,b2-4ac<0 D.abc>0,b2-4ac<0‎ ‎(第11题)(第12题) (第14题)‎ ‎12.如图所示,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C,点D的坐标为(0,-1),在第四象限抛物线上有一点P,若△PCD是以CD为底边的等腰三角形,则点P的横坐标为(A).‎ A.1+ B.1- C. -1 D.1-或1+‎ ‎13.小颖想用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,取自变量x的5个值,分别计算出对应的y值(如下表).由于粗心,小颖算错了其中的一个y值,请你指出这个算错的y值所对应的x= 2 .‎ X ‎…‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ Y ‎…‎ ‎11‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎…‎ ‎14.如图所示,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A的坐标为(3,0),顶点B在y轴正半轴上,顶点D在x轴负半轴上.若抛物线y=-x2-5x+c经过点B,C,则菱形ABCD的面积为 20 .‎ ‎ ‎ ‎ (第15题)‎ ‎15.如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的边OA,OC分别在坐标轴上,OA=2,OC=1,以点A为顶点的抛物线经过点C.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式.‎ ‎(2)将矩形ABCO绕点A旋转,得到矩形AB′C′O′,使点C′落在x轴上,抛物线是否经过点C′?请说明理由.‎ ‎【答案】(1)∵OA=2,∴抛物线的顶点A的坐标是(0,2),C(-1,0).‎ ‎∴设抛物线的函数表达式为y=ax2+2,把点C(-1,0)代入,‎ 得0=a+2,解得a=-2.∴抛物线的函数表达式为y=-2x2+2.‎ ‎ ‎ ‎ (第15题答图)‎ ‎(2)如答图所示,连结AC,AC′.‎ 根据旋转的性质得到AC=AC′,OA⊥CC′,即点C与点C′关于y轴对称.‎ 又∵该抛物线的对称轴是y轴,点C在该抛物线上,‎ ‎∴抛物线经过点C′.‎ ‎16.如果二次函数的二次项系数为1,那么此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].‎ ‎(1)若一个二次函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.‎ ‎(2)探究下列问题:‎ ‎①若一个二次函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,求得到的图象对应的函数的特征数.‎ ‎②若一个二次函数的特征数为[2,3],则此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?‎ ‎【答案】 (1)由题意得y=x2-2x+1=(x-1)2,∴此函数图象的顶点坐标为(1,0).‎ ‎(2)①由题意得y=x2+4x-1=(x+2)2-5,‎ ‎∴将此函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位后得y=(x+2-1)2-5+1=(x+1)2-4=x2+2x-3.∴图象对应的函数的特征数为 [2,-3].‎ ‎②∵原函数的特征数为 [2,3],∴该函数表达式为y=x2+2x+3=(x+1)2+2.‎ ‎∵平移后图象对应的函数的特征数为[3,4],∴该函数表达式为y=x2+3x+4=(x+)2+ .‎ ‎∴原函数的图象应向左平移个单位,再向下平移个单位.‎ ‎17.【绍兴】矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使这个点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使这个点与点C重合,则该抛物线的函数表达式变为(A).‎ A.y=x2+8x+14 B.y=x2-8x+14 C.y=x2+4x+3 D.y=x2-4x+3‎ ‎18.【杭州】设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴,下列说法中,正确的是(C).‎ A.若m>1,则(m-1)a+b>0 B.若m>1,则(m-1)a+b<0‎ C.若m<1,则(m+1)a+b>0 D.若m<1,则(m+1)a+b<0‎ ‎ ‎ ‎ (第19题)‎ ‎19.【宁波】如图所示,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).‎ ‎(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.‎ ‎(2)P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.‎ ‎【答案】(1)把点B(3,0)代入抛物线y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,解得m=2.‎ ‎∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.∴抛物线的顶点坐标为(1,4).‎ ‎ ‎ ‎ (第19题答图)‎ ‎(2)如答图所示,连结BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小.‎ 抛物线y=-x2+mx+3与y轴的交点为C(0,3).‎ 设直线BC的表达式为y=kx+b.∵点B(3,0),点C(0,3),∴,解得.‎ ‎∴直线BC的表达式为y=-x+3.‎ 当x=1时,y=-1+3=2,‎ ‎∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).‎ ‎ ‎ ‎ (第20题)‎ ‎20.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=a(x-)2+h分别与x轴、y轴交于点A(1,0)和点B(0,-2),将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AP.‎ ‎(1)求点P的坐标及抛物线C1的函数表达式.‎ ‎(2)将抛物线C1先向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到抛物线C2,请判断点P是否在抛物线C2上,并说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ (第20 题答图)‎ ‎(1)∵点A(1,0)和点B(0,-2),∴OA=1,OB=2.‎ 如答图所示,过点P作PM⊥x轴于点M,由题意得AB=AP,∠BAP=90°,‎ ‎∴∠OAB+∠PAM=∠ABO+∠OAB=90°.‎ ‎∴∠ABO=∠PAM.‎ 在△ABO与△PAM中,‎ ‎∵,∴△ABO≌△PAM.∴AM=OB,PM=OA.‎ ‎∴P(3,-1).∵点A(1,0),B(0,-2)在抛物线C1:y=a(x-)2+h上,‎ ‎∴,解得.∴抛物线的函数表达式C1:y=-(x-)2+.‎ ‎(2)∵将抛物线C1先向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到抛物线C2,‎ ‎∴抛物线C2的表达式为y=-(x-+2)2++1=-(x-)2+.‎ 当x=3时,y=-(3-)2+=-1,∴点P在抛物线C2上.‎

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