1.4 二次函数的应用(1)
运用二次函数求实际问题中的最值，首先应确定函数表达式及自变量的取值范围，然后利用配方法或公式法求出最值，特别要注意的是，最值所对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
1.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y关于x的二次函数表达式为(D).
A.y=2a(x-1) B.y=2a(1-x) C.y=a(1-x2) D.y=a(1-x)2
2.小明参加学校运动会的跳高比赛，二次函数h=3.15t－4.5t2(t的单位：s；h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是(C).
A.0.25s B.0.3s C.0.35s D.0.7s
3.如图所示为一个长8m、宽6m的矩形小花园，根据需要将它的长缩短x(m)，宽增加x(m)，要使修改后的小花园面积达到最大，则x应为(A).
A.1m B.1.5m C.2m D.2.5m
(第3题) (第6题)
4.某产品的进货价格为90元，按100元一个售出时，能售500个；如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个.为了获得最大利润，其定价应为(B).
A.130元 B.120元 C.110元 D.100元
5.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30-x)件.若要使利润最大，则每件的售价应为 25 元．
6.如图所示，济南某大桥有一段呈抛物线的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，小强骑自行车行驶10s和26s拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 36 s．
7.甲、乙两人分别站在相距6m的A，B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1m的C处发出一球，乙在离地面1.5m的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4m.现以点A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系(如图所示).求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的函数表达式及飞行的最大高度.
（第7题）
【答案】由题意得C(0，1)，D(6，1.5)，抛物线的对称轴为直线x=4.设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+1(a≠0)，根据题意得,解得.
∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的函数表达式为y=-x2+x+1.∵y=-x2+x+1=- (x-4)2+，∴飞行的最大高度为m.
8.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件.如果每件商品的售价上涨1元，那么每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y关于x的二次函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
【答案】(1)y=（60-50+x）（200-10x）=（10+x）（200-10x）=-10x2+100x+2000(0＜x≤12且x为正整数).
(2)y=-10x2+100x+2000=-10（x2-10x）+2000=-10（x-5）2+2250.
当x=5时，最大月利润y=2250元，这时售价为60+5=65（元）.
9.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x(cm).当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为(A).
A.6cm B.12cm C.24cm D.36cm
10.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：y1=-x2+10x，y2=2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为(D).
A.30万元 B.40万元 C.45万元 D.46万元
11.如图所示，一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm.右轮廓线DFE所在抛物线的二次函数的表达式为 y=（x-3）2 ．
(第11题) （第12题）
12.某水产养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式y=-x+36，而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示.“五·一”之前， 4 月份出售这种水产品每千克的利润最大.
13.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图所示，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.
(1)当a=-时，①求h的值.②通过计算判断此球能否过网.
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值.
（第13题）
【答案】(1)①当a=-时，y=- (x-4)2+h，将点P(0，1)代入，得-×16+h=1，解得
h=.②把x=5代入y=- (x-4)2+，得y=-×(5-4)2+=1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网.
(2)把(0，1)，(7，)代入y=a(x-4)2+h，得,解得.∴a=-.
14.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
售价x(元/千克)
50
60
70
销售量y(千克)
100
80
60
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W关于x的函数表达式(利润=收入-成本).
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少.
【答案】(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b.由题意得,解得.∴y关于x的函数表达式为y=-2x+200.
(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000.
(3)∵W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800，40≤x≤80，∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大；当70≤x≤80时，W随x的增大而减小；当x=70时，W取得最大值，此时W=1800，即售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元.
15.为了顺应市场需求，某市电子玩具制造公司技术部研制开发一种新产品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.如图所示的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s和t之间的关系).根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)根据图象，求累积利润s(万元)关于时间t(月)的二次函数的表达式．
(第15题)
(2)截止到几月末，公司累积利润可达到6万元？
(3)第9个月公司所获利润是多少万元？
【答案】(1)由图象可知抛物线顶点坐标为（2，-2），与x轴交点为（0，0），（4，0）.可设函数表达式为s=a(t-2)2-2.将（0，0）代入得4a-2=0，解得a=.∴s=（t-2）2-2.
(2)当累积利润达到6万元时，s=（t-2）2-2=6，解得t=6或-2（舍去）.∴截止到6月末公司累积利润可达到6万元.
(3)当t=9时，s=（t-2）2-2=（9-2）2-2=22.5（万元）；当t=8时，s=（t-2）2-2=（8-2）2-2=16(万元）.∵22.5-16=6.5(万元)，∴第9个月公司所获利润是6.5万元.
16.【临沂】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表所示：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中结论正确的个数是(B).
A.1 B.2 C.3 D.4
17.【盘锦】端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题.(价格取正整数)
小梅：每盒定价100元，每天能卖出410盒，而且这种粽子礼盒的售价每上涨1元，
其销售量减少10盒.小慧：照你所说，如果要实现每天8580元的销售利润，并且薄利多销，那么该如何定价？小杰：8580元的销售利润是不是最大呢？如果不是，又该怎样定价才会使每天的销售利润最大？每天的最大销售利润是多少？
(第17题)
【答案】小慧：设定价为x元，利润为y元，则销售量为410-10(x-100)=1410-10x，由题意得y=(x-80)(1410-10x)=-10x2+2210x-112800，当y=8580时，-10x2+2210x-112800=8580，整理得x2-221x+12138=0，解得x=102或x=119.∵当x=102时，销量为1410-1020=390，当x=119时，销量为1410-1190=220，∴若要达到8580元的利润，且薄利多销，此时的定价应为102元.小杰：y=-10x2+2210x-112800=-10(x-)2+，∵价格取整数，即x为整数，∴当x=110或x=111时，y取得最大值，最大值为9300，∴每天8580元的销售利润不是最大的，当定价为110元或111元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为9300元.
18.某海域内有一艘渔船发生故障，海事救援船接到求救信号后，立即从港口出发，沿直线匀速前往救援，与故障渔船会合后立即将其拖回.如图所示折线段O|A|B表示救援船在整个航行过程中离港口的距离y(海里)随航行时间x(min)的变化规律.抛物线y=ax2+k表示故障渔船在漂移过程中离港口的距离y(海里)随漂移时间x(min)的变化规律.已知救援船返程速度是前往速度的.根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)救援船行驶了 16 海里与故障渔船会合．
(2)求该救援船的前往速度．
(3)若该故障渔船在发出求救信号后40min内得不到营救就会有危险，请问:救援船的前往速度每小时至少是多少海里，才能保证故障渔船的安全?
(第18题)
【答案】 (1)16
(2)设救援船的前往速度为每分钟v海里，则返程速度为每分钟v海里，由题意得= -16，解得v=.经检验v=是原方程的解.∴该救援船的前往速度为每分钟0.5海里.
(3)由(2)知t=16÷=32，则A（32，16），将A（32，16），C（0，12）代入y=ax2+k，得,解得.∴y=x2+12，把x=40代入，得y=×402+12=，÷=.∴救援船的前往速度每小时至少是海里.
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