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衡阳市八中2017届高三第四次月考试卷
文科数学
命题人：刘亮生 王美蓉 审题人：孙艳红
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．计算的结果等于( )
A. B. C. D.
2. 下列命题中的假命题是（ ）
A. ； B. ； C. ； D.
3． 是的导函数，的图像如下面右图所示，则的图像只可能是（ ）
4．已知复数（），则“”是“为纯虚数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要
5．若向量=，=， =满足条件 （8－)·=30，则=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6. 已知非零向量满足，若函数在上存在极值，则和夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.定义符号函数，若是上的增函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8.在中，角所对的边长分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D. 的大小关系不能确定
9. 在函数①，② ，③,④，⑤，⑥中最小正周期为的函数个数为（ ）
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
10.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
12.设数列的前项和为．已知，,若，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.）
13．已知是虚数单位, .
14. 用表示三个数中的最小值，设 ，则的最大值为 .
15．将全体正整数从左向右排成一个直角三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ．．．
．．． ．．．
．．． ．．．
．．．．．．．．．
按照以上排列的规律，若定义，则= .
16．已知函数, 若过点存在3条直线与曲线相切，则t
的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）函数部分图象如下图．
（1）求的最小正周期及解析式；
（2）设，求函数在
区间 上的单调性．
18．（本小题满分12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校
质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，
从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，
抽取学生的分数均在之内）作为样本（样本容量为n）
进行统计．按照，，，，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的
茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在，
的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率．
19．（本小题满分12分）已知向量，且分别为的三边所对的角．
（1）求角的大小；
（2）若成等差数列，且，求边的长．
20．（本小题满分12分）如图，在矩形中，，点在边上，点在边上，且，垂足为，若将沿折起，使点位于位置，连接，得四棱锥．
(1)求证：平面平面；
(2)若，直线与平面
所成角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
22．（本小题满分12分）已知，.
（1）求函数的极值；
（2）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围；
（3）求证：当时，.
衡阳市八中2017届高三第四次月考试卷
文科数学
命题人：刘亮生 王美蓉 审题人：孙艳红
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．计算的结果等于( B )
A. B. C. D.
【答案】B【解析】原式=-,故选B.
2. 下列命题中的假命题是（ C ）
A. ； B. C. ；D.
【解析】对于C选项x＝1时，，故选C
3． 是的导函数，的图像如右图所示，则的图像只可能是（ D ）
4．已知复数（），则“”是“为纯虚数”的（ D ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要
【答案】D
【解析】试题分析：为纯虚数，则，所以，故”是“为纯虚数”的充要条件.
5．若向量=，=， =满足条件 （8－)·= 30，则=（ C ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．已知非零向量满足，若函数在上存在极值，则和夹角的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
【答案】B试题分析：有两个不相等的实根，，故选B．
7.定义符号函数，若是上的增函数，且，则（B ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是上的减函数，.
8.在中，角所对的边长分别为，若，，则( A )
A. B. C. D. 的大小关系不能确定
9. 在函数①，② ，③,④，⑤，⑥中最小正周期为的函数个数为（ B）
A.3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
10.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
11、已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（ C ）
A. B. C. D.
【答案】C
因为，所以由得：或,所以由相邻交点距离的最小值为得：选C.
12.设数列的前项和为．已知，,若，，则的取值范围是（ A ）．
A. B. C. D.
由①知，，于是，当时，
，
，当时，
．又．综上，所求的的取值范围是
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.）
13．已知是虚数单位, = 1 【解析】=,
14. 用表示三个数中的最小值，设 ，则的最大值为_6_______．
【答案】6【解析】观察图象可知f(x)＝，∴f(x)的最大值在x＝4时取得
15．将全体正整数从左向右排成一个直角三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ．．．
．．． ．．．
．．． ．．．
．．．．．．．．．．．．
按照以上排列的规律，若定义，则= 190
16. 已知函数.若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是 ；
同零点”， =，
与的情况如下：
0
1
+
0
0
+
t+3
所以，是的极大值，是的极小值，当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点，当，时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点.当且，即时，因为，，所以分别为区间和上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是.
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）函数部分图象如图所示．
（1）求的最小正周期及解析式；
（2）设，求函数在区间上的单调性．
【答案】：（1）由图可得，，所以 2分；以 3分；当时，，可得 ，因为， 所以 5分
所以的解析式为 6分
（3）
因为，所以 10分 由得；
当得，故在单调递增，在单调递减．
18．（本小题满分12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照，，，， 的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在，的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率．
【答案】：（Ⅰ）由题意可知，样本容量， …2分
， ……4分
．……6分
（Ⅱ）由题意可知，分数在内的学生有5人，记这5人分别为，分数在内的学生有2人，记这2人分别为 ，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：
．
其中2名同学的分数恰有一人在内的情况有10种，
∴ 所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率．
19．（本小题满分12分）已知向量，且分别为的三边所对的角．
（1）求角的大小；
（2）若成等差数列，且，求边的长．
【答案】：（1）对于，，
∴；∴，又∵，
∴．
（2）由成等差数列，得；
由正弦定理得，∵，∴，
即，由余弦定理，
∴，∴．
20．（本小题满分12分）如图，在矩形中，，点在边上，点在边上，且，垂足为，若将沿折起，使点位于位置，连接，得四棱锥．
(1)求证：平面平面；
(2)若，直线与平面所成角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】：(1)
(2)过作于平面平面
平面直线与平面ABCM所成角的大小为
是正三角形
直线AD'与平面ABCM所成角为，设，则,,=
21．（本小题满分12分）已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】：（1）当时，；
当时，
因为也适合上式，因此，数列的通项公式为
（2）由（1）知，，故
记数列的前项和为，则
记，则，故数列的前项和为
22．（本小题满分12分）已知，.
（1）求函数的极值；
（2）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围；
（3）求证：当时，.
【答案】（1）
∴由得，由，得∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，无极大值.
（2）∴
又，易得在上单调递减，在上单调递增，
要使函数在内有两个零点，
需，即，∴，
∴，即的取值范围是.
（3）问题等价于由（1）知的最小值为
令（）∴
易知在上单调递增，上单调递减∴
又
∴，故当时，成立.
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