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衡阳市八中2017届高三第四次月考试题卷
理科数学
(考试内容: 集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列、不等式、推理与证明)
命题人：蒋金元、郭端香 审题人：赵永益
考生注意：本试卷满分150分，考试用时120分钟 。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．a为正实数，i为虚数单位，=2，则a=（ ）
A．2 B． C． D．1
2．已知集合M＝{1，2，3，4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为( )
A．8 B．4 C．3 D．2
3．下列关于命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”
B．“a=3”是“函数f（x）=logax在定义域上为增函数”的充分不必要条件
C．若命题p：∃n∈N，3n＞100，则￢p：∀n∈N，3n≤100
D．命题“∃x∈（﹣∞，0），3x＜5x”是真命题
4．已知数列{an}是等比数列，且a3=1，a5a6a7=8，则a9=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为（ ）A． B． C．2 D．3
7．已知，且，函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图像恒过定点A，若直线（）也经过点A，则3m+n的最小值为（ ）
A．16 B．8 C． D．14
9．已知：函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）
A．（1，） B．（， C．（1，3） D．（3，
11．已知函数 则不等式( )
12．设函数在R上存在导数，对任意的x∈R，有，且．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
13．已知=4，=2，且=，则与的夹角为___________.
14．已知的最小值为___________.
15.在直角坐标系中,已知点A(2,0)和B(3,4),若点C在的平分线上,且=5,则=______________.
16．设函数，观察：；
；
；
……
根据以上事实，当n∈N*时，由归纳推理可得： ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分10分）已知函数．
(1)解不等式；
(2)求证：．
18．（本小题满分12分）已知函数，．
（1）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（2）求函数的单调递增区间．
19.(本题满分12分)已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60，且a1=5．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）若数列满足,求数列的前n项和Tn；
（3）请指出当n取何值时，取得最大值，并写出最大值。（可不写理由！）
20.(本题满分12分)若向量，其中，记函数，若函数的图像上相邻两个极值点之间的距离是.
（1）求的表达式；
（2）设三内角的对应边分别为，若，，，求的面积。
21.(本题满分12分)设等差数列的前n项和为，且。
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，且，又令，求数列的前n项和．
22．(本题满分12分)设函数．
（1）若，函数有两个极值点，，且＜，求实数的取值范围；
（2）在（Ⅰ）的条件下，证明：；
（3）若对任意实数，都存在实数（1，e）（e为自然对数的底数），使得成立，求实数a的取值范围．
2017届高三第四次月考试卷（理科数学）
一、选择题：（共60分，每题5分）
1．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ B ）
A．2 B． C． D．1
2．已知集合M＝{1，2，3，4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为( )B
A．8 B．4 C．3 D．2
3．下列关于命题的说法错误的是（ ）D
A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”
B．“a=3”是“函数f（x）=logax在定义域上为增函数”的充分不必要条件
C．若命题p：∃n∈N，3n＞100，则￢p：∀n∈N，3n≤100
D．命题“∃x∈（﹣∞，0），3x＜5x”是真命题
4．已知数列{an}是等比数列，且a3=1，a5a6a7=8，则a9=（ ）B
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知，则（ ）A
A．2 B．3 C． D．
6.已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为（ ）C
A. B. C.2 D.3
7．已知，且，函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（ ）B
A． B． C． D．
8、已知函数y=loga(x+4) -1的图像恒过定点A，若直线（）也经过点A，则3m+n的最小值为（B）
A、16 B、8 C、 D、14
9、已知：函数，则关于的不等式的解集为（A）
A、 B、 C、 D、
9. A 令,则等价于g(3x+1)+g(x) > 0,而显然g(x)= -g(-x),所以g(x)为奇函数，易知g(x)在定义域内单调递增，g(3x+1)>－g(x), 即g(3x+1)> g(－x)，由奇函数性质3x+1>-x，x >
10．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（ A）
A．（1，） B．（，+∞） C．（1，3） D．（3，+∞）
10、解：∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，
目标函数Z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值
其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜
又∵m＞1解得m∈（1，）故选：A．
11．已知函数 则不等式( C )
12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（B ）
A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，
令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，
∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，
故g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，g(0)=0,可得g（x）在R上是增函数．
f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，
即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．
二、填空题：（共20分，每题5分）
13．已知||=4，||=2，且|2+|=2，则与的夹角为120°。
14．已知的最小值为___18________.
15.在直角坐标系中,已知点A(2,0)和B(3,4),若点C在的平分线上,且=5,则=______________
16．设函数f（x）=（x＞0），观察：
f1（x）=f（x）=，
f2（x）=f（f1（x））=；
f3（x）=f（f2（x））=．
f4（x）=f（f3（x））=
…
根据以上事实，当n∈N*时，由归纳推理可得：fn（1）= ．
三、解答题：（共70分，每题必需写出相应的步骤）
17.已知函数f（x）=|x﹣1|．
(1)解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
(2) ,|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．
解：（1）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，
当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；
当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；
当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．
所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．
（2）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．
18、已知函数，．
（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（II）求函数的单调递增区间．
解：（I）由题设知．
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）．
所以．
当为偶数时，，
当为奇数时，．
（II）
．
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）．
19.(本题满分12分)已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60，且a1=5．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）若数列满足,求数列的前n项和Tn；
（3）请指出当n取何值时，取得最大值，并写出最大值。（可不写理由！）
解：（1）各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60，且a1=5．
所以60=6×5+，所以d=2，所以an=2n+3，Sn=n（n+4）
（2）因为，所以
所以Tn===，
所以
(3) 当n=3时,取最大值：
20.(本题满分12分)若向量，其中，记函数，若函数的图像上相邻两个极值点之间的距离是.
（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）设三内角的对应边分别为，若，，，求的面积。
20.解：（Ⅰ）
由题意可知其周期为，故，则
（Ⅱ）由，得
∵，∴，∴，解得
又∵，，由余弦定理得，
∴，即,由面积公式得面积为.
21.(本题满分12分)设等差数列的前n项和为，且。
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，且，又令，求数列的前n项和
解析：（1）
（2），
在由错位相减法可的
22．(本题满分12分)设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．
（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣；
（Ⅲ）若对任意实数b∈[1，2]，都存在实数x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）由已知，b=2时，f（x）=x2﹣2x+alnx，f（x）的定义域为（0，+∞），求导数得：f′（x）=，
∵f（x）有两个极值点x1，x2，故方程f′（x）=0有两个不同的正根x1，x2，
故2x2﹣2x+a=0的判别式△=4﹣8a＞0，即a＜，且x1+x2=1，x1•x2=＞0，所以a的取值范围为（0，）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：＜x2＜1且f′（x2）=0，得a=2x2﹣2，∴f（x2）=﹣2x2+（2x2﹣2）lnx2，
令F（t）=t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt，（＜t＜1），则F′（t）=2（1﹣2t）lnt，
当t∈（，1）时，F′（t）＞0，∴F（t）在（，1）上是增函数
∴F（t）＞F（）=，∴f（x2）＞﹣；
（Ⅲ）令g（b）=﹣xb+x2+alnx，b∈[1，2]，
由于x∈（1，e），所以g（b）为关于b的递减的一次函数，
根据题意，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，
则x∈（1，e）上g（b）max=g（1）=﹣x+x2+alnx＜0有解，
令h（x）=﹣x+x2+alnx，则只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，
由于h′（x）=，令ω（x）=2x2﹣x+a，x∈（1，e），ω′（x）=4x﹣1＞0，
∴ω（x）在（1，e）上单调递增，∴ω（x）＞ω（1）=1+a，
①当1+a≥0，即a≥﹣1时，ω（x）＞0，∴h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，e）上是增函数，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意，
②当1+a＜0，即a＜﹣1时，ω（1）=1+a＜0，ω（e）=2e2﹣e+a，
（ⅰ）若ω（e）＜0，即a≤2e2﹣e＜﹣1时，在x∈（1，e）上ω（x）＞0恒成立
即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，
∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，
（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，
∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立
∴h（x）在（1，e）上单调递减，
∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，
综上所述，当a＜﹣1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1,e），使得f（x）＜0成立．
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