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数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.命题“对任意，都有”的否定为（ ）
A．对任意，都有
B．不存在，使得
C．存在，使得
D．存在，使得
3.函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4.已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
6.已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A．，
B．函数的图象是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间单调递减
D．若是的极值点，则
7.“”是“曲线过坐标原点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8.函数的图象与函数的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9.已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：
（i）；（ii）对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A．
B．，
C．，
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11.设函数在内可导，且，则__________.
12.函数（为常数，）的部分图象如图所示，则的值是__________.
13.设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则__________.
14.函数（）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则__________.
15.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，，其中，若，则的值为__________.
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. （本小题满分12分）
在锐角中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
17.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.
18.（本小题满分12分）
已知函数（）的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）讨论在区间上的单调性.
19.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）求的值；
（2）若，，求
20.（本小题满分12分）
设.
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.
21.（本小题满分14分）
若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点，已知是实数，1和-1是函数的两个极值点.
（1）求和的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点；
（3）设，其中，求函数的零点个数.
山东省实验中学2017届高三第二次诊断性考试
理科数学试题参考答案2016．10
说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第*页，第Ⅱ卷为第*页至第*页。试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1． D D B A A 6． C A B D D
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 2 12． 13． 14． 15．－10
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
16．（本小题满分12分）
解： (1)由2asin B＝b及正弦定理＝，得sin A＝. 4
因为A是锐角，所以A＝. 6
17．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， 1
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. 3
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32. 6
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2. 8
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 12
18．（本小题满分12分）
解： (1)f(x)＝4cos ωx·sin＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋. 2
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
从而有＝π，故ω＝1. 6
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤. 7
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． 12
19．（本小题满分12分）
[解答] (1) f＝cos＝cos＝cos ＝1. 5
(2)f＝ cos＝cos＝cos 2θ－sin 2θ. 7
因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－. 8
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－. 10
所以f＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝. 12
20．（本小题满分13分）
设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f (x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当0＜a＜2时，f (x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．
解：(1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－)2＋＋2a， 2
当x∈[，＋∞)时， f′(x)的最大值为f′()＝＋2a；
令＋2a＞0，得a＞－. 6
所以，当a＞－时，f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间．
(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增． 7
当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)， 9
又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)．
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－. 11
得a＝1，x2＝2， 12
从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝. 13
21．（本小题满分14分）
若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，
b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；
(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．
解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，
f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．
当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．
所以g(x)的极值点为－2. 8
(3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况， d∈[－2,2]．
当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2. 9
当|d|＜2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d＞0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d
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