数学试卷
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合，则__________．
2.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为------．
3.函数的单调增区间为__________．
4.函数的定义域为____________．
5.若幂函数的图像经过点，则它在点处的切线方程为____________．
6.设函数，_____________．
7.如图所示函数的部分图像，现将函数的图像向右平移个单位后，得到函数的图像，则函数的解析式为____________．
8.已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则的取值范围是_______________．
9.若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆
相切，则_____________．
10.已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上一点，点是的中点，是椭圆的中点，，则点到椭圆的左准线的距离为___________．
11.已知为锐角，若，则____________．
12.已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值范围是____________．
13．在平行四边形中，，，为的中点，若，则的长为___________．
14．设函数，（为自然对数的底数）．若曲线上存在一点使得，则的取值范围是______________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
在中，点为边上一点，且为的中点，．
（1）求；
（2）求及的长．
16.（本小题满分14分）
在中，角的对边分别为，
（1）若，求的面积；
（2）设向量，且，求角的值．
17.（本小题满分14分）
如图，有一块半径为的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池
和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，在圆的直径上，在圆周上．
（1）设，征地面积记为，求的表达式；
（2）当为何值时，征地面积最大？
18.（本小题满分16分）
如图所示，已知圆的圆心在直线上，且该圆存在两点关于直线对称，又圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点．
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．
19．（本小题满分16分）
已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆的左焦点，为左准线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，当最小时，求点的坐标．
20．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若存在，使函数的图像在点和点处的切线互相垂直，求的取值范围；
（3）若函数在区间上有两个极值点，则是否存在实数，使对任意的恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
2017届高三年级第二次学情检测
数学加试试卷（物理方向考生作答）
解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1．已知点是直线上的一个动点，定点，是线段延长线上的一点，且，求点的轨迹方程．
2．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆与两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程．
3．已知函数是的导函数．设
（为常数），求函数在上的最小值．
4．在平面直角坐标系中，已知点是动点，且的三边所在直线的斜率满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若是轨迹上异于点的一点，且，直线与交与点，请问，是否存在点使得和的面积满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. 9；
7. ；8. ；9. 8；10. ；11. ；12. ；13. ；14.
二、解答题
15.解：（1）在中，因为，所以，即
（2）由正弦定理，得．．．．．．．．．．． 9分
依题意得，在中，由余弦定理得
，
即，所以，解得（负值舍去）．．．．14分
16.解：（1）∵，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．3分
又∵．．．．．．．．．．．．．．．．5分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（2）因为，所以，
，即，显然，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分
所以， 即或．．．．．．．．．．．．．．．11分
因为，∴．．．．．．．．．．．．．．．．13分
所以（舍去），即．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
17.解：
（1）连接，可得，，所以．．．．．．．．．．．．．7分
（2），令，∴（舍）或者．．．．9分
因为，
所以当时，取得最大．．．．．．．．．．．．．．13分
故时，征地面积最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
18.解：（1）由圆存在两点关于直线对称知圆心在直线上，
由得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
设圆的半径为，因为圆与直线相切，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
即连接，则，
∵，∴，
由，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
∴直线的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
∴所求直线的方程为或．．．．．．．．．．．．．．10分
（3）∵，∴，
∴，
当直线与轴垂直时，得，则，又，
∴．．．．．．．．．．．13分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，解得，∴，
∴
综上所述，是定值，且为-10．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
19.解：（1）依条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分
所以椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）设，因为，故直线的方程为：，
，
所以，，
所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
令，则，
可以证明当时为减函数，当时为增函数，
所以当时最小，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
所以当最小时，即或-1，
此时点的坐标为或者．．．．．．．．．．．．．16分
20.解：（1）由得，
，解得．．．．．．．．．． 3分
（2）函数的定义域为，，，
由题意得，即，．．．．．．．．．．．．5分
整理得，
设，由，得，
则有，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
设，则在上有零点，考虑到，
所以或，解得或，
所以的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
（3），
令，由题意，在区间上有两个不同零点，
则有，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
设函数的两个极值点为和，
则和是在区间上的两个不同零点，
不妨设，则①，
得且关于在上递增，
因此．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又由①可得②，
当时，递减；
时，递增；
当时，递减，
结合②可得
．．．．．．．．．．．．．14分
设，
则，
所以在上递增，
所以，从而，
所以，
又，所以存在，使，
综上，存在满足条件的，的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
数学（加试）参考答案
1.解：由题意知，为中点，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
设，则为，代入，得．．．．．．．．．10分
2.解：因为，故，
所以，故，
又圆的标准方程为，
从而，所以．．．．．．．．．．．．5分
由题设得，
由椭圆定义可得点的轨迹方程为：．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
3.解：由题意，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分
令，即，得，
当，即时，在上单调递增，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
当即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
综上：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
3.变题：设函数，其中是的 导函数，若恒成立，求实数的取值范围．
解：在范围内恒成立，等价于成立，
令，即恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．1分
，
令，即，得，当即时，在上单调递增，
，
所以当时，在上恒成立；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
当即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
，因为，所以，即，
所以函数在上单调递减，
所以，即，所以不恒成立，
综上所述，实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
4.解：（1）设点为所求轨迹上的任意一点，则由，得，．．．．2分
整理得轨迹的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）设，由，可知直线，则，
故，即，
直线方程为：．①
直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，
即，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
联立①②，得，∴ 点的横坐标为定值．．．．．．．．．．．．．．．．8分
由得，因为，所以，
由，得，所以的坐标为．
所以，存在点满足，点的坐标为．．．．．．．．．．．．．．10分
微信/支付宝扫码支付