（毕节专版）2019年中考数学复习专题6四边形与三角形的综合（精讲）试题.doc

1 专题六　四边形与三角形的综合 毕节中考备考攻略 纵观近 4 年毕节中考数学试卷,四边形与三角形的综合是每年的必考考点,其中 2015 年第 24 题综合考查平行 四边形和直角三角形；2016 年第 25 题综合考查菱形和三角形全等；2017 年第 24 题综合考查平行四边形与三角形 相似、解直角三角形；2018 年第 24 题综合考查平行四边形、三角形和菱形.预计 2019 年将继续综合考查四边形 与三角形. 熟练掌握特殊四边形的性质与判定、特殊三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性 质,掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用,会画出四边形全等变换后的图形.解决问题时必须充分利用 几何图形的性质及在题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基 本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用各种数学方法. 中考重难点突破 　四边形与特殊三角形 例 1　如图,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB＝AD,对角线 AC,BD 交于点 O,AC 平分∠BAD,过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E,连接 OE. (1)求证：四边形 ABCD 是菱形； (2)若 AB＝ 5,BD＝2,求 OE 的长. 【解析】(1)先判断出∠OAB＝∠DCA,进而判断出∠DAC＝∠DCA,得出 CD＝AD＝AB,即可得出结论； (2)先判断出 OE＝OA＝OC,再求出 OB＝1,利用勾股定理求出 OA,即可得出结果. 【答案】(1)证明：∵AB∥CD,∴∠CAB＝∠ACD. ∵AC 平分∠BAD,∴∠CAB＝∠CAD, ∴∠CAD＝∠ACD,∴AD＝CD. 又∵AD＝AB,∴AB＝CD. 又∵AB∥CD,∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵AB＝AD,∴四边形 ABCD 是菱形； (2)解：∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,OA＝OC＝ 1 2AC,OB＝OD＝ 1 2BD＝1. 在 Rt△AOB 中,∠AOB＝90°, ∴OA＝ AB2－OB2＝2. ∵CE⊥AB,∴∠AEC＝90°. 在 Rt△AEC 中,O 为 AC 中点,2 ∴OE＝ 1 2AC＝OA＝2. 　四边形与三角形全等 例 2　(2018·张家界中考)在矩形 ABCD 中,点 E 在 BC 上,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为点 F. (1)求证：DF＝AB； (2)若∠FDC＝30°,且 AB＝4,求 AD. 【解析】(1)利用“AAS”证△ADF≌△EAB 即可得证； (2)由∠ADF＋∠FDC＝90°,∠DAF＋∠ADF＝90°得∠FDC＝∠DAF＝30°,据此知 AD＝2DF,根据 DF＝AB 可得答 案. 【答案】(1)证明：在矩形 ABCD 中,AD∥BC, ∴∠AEB＝∠DAF. 又∵DF⊥AE,∴∠DFA＝90°,∴∠DFA＝∠B. 又∵AD＝EA,∴△ADF≌△EAB,∴DF＝AB； (2)解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°,∠DAF＋∠ADF＝90°,∴∠FDC＝∠DAF＝30°,∴AD＝2DF. ∵DF＝AB＝4,∴AD＝2AB＝8. 　四边形与三角形相似 例 3　(2018·资阳中考)已知：如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB＝90°,点 M 是斜边 AB 的中点,MD∥BC,且 MD＝ CM,DE⊥AB 于点 E,连接 AD,CD. (1)求证：△MED∽△BCA； (2)求证：△AMD≌△CMD； (3)设△MDE 的面积为 S1,四边形 BCMD 的面积为 S2,当 S2＝ 17 5 S1 时,求 cos ∠ABC 的值. 【解析】(1)易证∠DME＝∠CBA,∠ACB＝∠DE M＝90°,从而可证明△MED∽△BCA； (2)由∠ACB＝90°,点 M 是斜边 AB 的中点,可知 BM ＝CM＝AM,又由 MD∥BC 可证明∠AMD＝∠CMD,从而可利用全 等三角形的判定方法证明△AMD≌△CMD； (3)易证 DM＝ 1 2AB,由(1)可知△MED∽△BCA,所以 S1 S △ ACB＝(DM AB ) 2 ＝ 1 4,所以 S△MCB＝ 1 2S△ACB＝2S1,从而可求出 S△EBD＝S2－S△MCB－S1＝ 2 5S1,由于 S1 S △ EBD＝ ME EB,从而可知 ME BE＝ 5 2,设 ME＝5x,EB＝2x,从而用 x 表示出 AB,BC,最后根据3 锐角三角函数的定义即可求出答案. 【答案】(1)证明：∵MD∥BC,∴∠DME＝∠CBA. ∵∠ACB＝∠DEM＝90°,∴△MED∽△BCA； (2)证明：∵∠ACB＝90°,点 M 是斜边 AB 的中点, ∴BM＝CM＝AM,∴∠MCB＝∠MBC. ∵∠DMB＝∠MBC, ∴∠MCB＝∠DMB＝∠MBC. ∵MD∥BC, ∴∠CMD＝180°－∠MCB. 又∵∠AMD＝180°－∠DMB, ∴∠AMD＝∠CMD. 在△AMD 与△CMD 中, {MD＝MD， ∠AMD＝∠CMD， AM＝CM， ∴△AMD≌△CMD(SAS)； (3)解：∵DM＝CM,∴AM＝CM＝DM＝BM, ∴DM＝ 1 2AB. 由(1)可知△MED∽△BCA, ∴ S1 S △ ACB＝(DM AB ) 2 ＝ 1 4,∴S△ACB＝4S1. ∵CM 是△ACB 的中线,∴S△MCB＝ 1 2S△ACB＝2S1, ∴S△EBD＝S2－S△MCB－S1＝ 2 5S1, ∴ S1 S △ EBD＝ ME EB,∴ S1 2 5S1 ＝ ME EB,∴ ME EB＝ 5 2. 设 ME＝5x,EB＝2x,则 BM＝7x, ∴AB＝2BM＝14x. ∵ MD AB＝ ME BC＝ 1 2,∴BC＝10x, ∴cos ∠ABC＝ BC AB＝ 10x 14x＝ 5 7.　 1.(2018·贺州中考)如图,在△ABC 中,∠ACB＝90°,O,D 分别是边 AC,AB 的中点,过点 C 作 CE∥AB 交 DO 的延 长线于点 E,连接 AE.4 (1)求证：四边形 AECD 是菱形； (2)若四边形 AECD 的面积为 24,tan ∠BAC＝ 3 4,求 BC 的长.(1)证明：∵点 O 是 AC 的中点, ∴OA＝OC. ∵CE∥AB,∴∠DAO＝∠ECO. 又∵∠AOD＝∠COE, ∴△AOD≌△COE(ASA),∴AD＝CE, ∴四边形 AECD 是平行四边形. 又∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线, ∴CD＝AD＝ 1 2AB, ∴四边形 AECD 是菱形； (2)由(1)知,四边形 AECD 是菱形,∴AC⊥ED. 在 Rt△AOD 中,tan ∠DAO＝ OD OA＝tan ∠BAC＝ 3 4, 可设 OD＝3x,OA＝4x, 则 ED＝2OD＝6x,AC＝2OA＝8x. 由题意可得 1 2·6x·8x＝24,∴x＝1,∴OD＝3. ∵O,D 分别是 AC,AB 的中点, ∴OD 是△ABC 的中位线, ∴BC＝2OD＝6. 2.(2018·盐城中考)在正方形 ABCD 中,对角线 BD 所在的直线上有两点 E,F 满足 BE＝DF,连接 AE,AF,CE,CF,如 图. (1)求证：△AB E≌△ADF； (2)试判断四边形 AECF 的形状,并说明理由. (1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB＝AD, ∴∠ABD＝∠ADB,∴∠ABE＝∠ADF. 在△ABE 与△ADF 中,5 {AB＝AD， ∠ABE＝∠ADF， BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF(SAS)； (2)解：四边形 AECF 是菱形. 理由：连接 AC,交 BD 于点 O. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴OA＝OC,OB＝OD,AC⊥EF, ∴OB＋BE＝OD＋DF,即 OE＝OF. ∵OA＝OC,OE＝OF, ∴四边形 AECF 是平行四边形, 又∵AC⊥EF,∴四边形 AECF 是菱形. 3.(2018·湖州中考) 已知在 Rt△ABC 中,∠BAC＝90°,AB≥AC,D,E 分别为 AC,BC 边上的点(不包括端点),且 DC BE＝ AC BC＝m,连接 AE,过点 D 作 DM⊥AE,垂足为点 M,延长 DM 交 AB 于点 F. (1)如图 1,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H,连接 DH. ①求证：四边形 DHEC 是平行四边形； ②若 m＝ 2 2 ,求证：AE＝DF； (2)如图 2,若 m＝ 3 5,求 DF AE的值.6 (1)证明：①∵EH⊥AB,∠BAC＝90°, ∴EH∥CA,∴△BHE∽△BAC,∴ BE BC＝ HE AC. ∵ DC BE＝ AC BC,∴ BE BC＝ DC AC,∴ HE AC＝ DC AC, ∴HE＝DC. ∵EH∥DC,∴四边形 DHEC 是平行四边形； ②∵ AC BC＝ 2 2 ,∠BAC＝90°,∴AC＝AB. ∵ DC BE＝ 2 2 ,HE＝DC,∴ HE BE＝ 2 2 . 又∵∠BHE＝90°,∴BH＝HE. ∵HE＝DC,∴BH＝CD,∴AH＝AD. ∵DM⊥AE,EH⊥AB, ∴∠EHA＝∠AMF＝90°, ∴∠HAE＋∠HEA＝∠HAE＋∠AFM＝90°, ∴∠HEA＝∠AFD. ∵∠EHA＝∠FAD＝90°,∴△HEA≌△AFD,∴AE＝DF； (2)解：过点 E 作 EG⊥AB 于点 G. ∵CA⊥AB,∴EG∥CA,∴△EGB∽△CAB, ∴ EG CA＝ BE BC,∴ EG BE＝ CA BC＝ 3 5. ∵ CD BE＝ 3 5,∴EG＝CD. 设 EG＝CD＝3x,AC＝3y,则 BE＝5x,BC＝5y, ∴BG＝4x,AB＝4y. ∵∠EGA＝∠AMF＝90°, ∴∠GEA＋∠EAG＝∠EAG＋∠AFM, ∴∠AFM＝∠AEG. ∵∠FAD＝∠EGA＝90°,∴△FAD∽△EGA, ∴ DF AE＝ AD AG＝ 3y－3x 4y－4x＝ 3 4.7 毕节中考专题过关 1.(2018·乌鲁木齐中考)如图,在四边形 ABCD 中,∠BAC＝90°,E 是 BC 的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD 于点 F. (1)求证：四边形 AECD 是菱形； (2)若 AB＝6,BC＝10,求 EF 的长. (1)证明：∵AD∥BC,AE∥DC, ∴四边形 AECD 是平行四边形. ∵∠BAC＝90°,E 是 BC 的中点, ∴AE＝CE＝ 1 2BC, ∴四边形 AECD 是菱形； (2)解：过 A 作 AH⊥BC 于点 H. ∵∠BAC＝90°,AB＝6,BC＝10, ∴AC＝ 102－62＝8. ∵S△ABC＝ 1 2BC·AH＝ 1 2AB·AC, ∴AH＝ 6 × 8 10 ＝ 24 5 . ∵点 E 是 BC 的中点,BC＝10,四边形 AECD 是菱形,∴CD＝CE＝5. ∵S▱AECD＝CE·A H＝CD·EF, ∴EF＝AH＝ 24 5 . 2.(2018·青岛中考)已知：如图,▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 E,点 G 为 AD 的中点,连接 CG,CG 的延长线 交 BA 的延长线于点 F,连接 FD. (1)求证：AB＝AF； (2)若 AG＝AB,∠BCD＝120°,判断四边形 ACDF 的形状,并证明你的结论. (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AB＝CD,∴∠AFG＝∠DCG.8 又∵GA＝GD,∠AGF＝∠CGD, ∴△AGF≌△DGC,∴AF＝CD. ∴AB＝AF； (2)解：四边形 ACDF 是矩形. 证明：∵AF＝CD,AF∥CD, ∴四边形 ACDF 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠BAD＝∠BCD＝120°.∴∠FAG＝60°. ∵AB＝AG＝AF, ∴△AFG 是等边三角形, ∴AG＝GF. ∵四边形 ACDF 是平行四边形, ∴FG＝CG,AG＝DG.∴AD＝CF. ∴四边形 ACDF 是矩形. 3.已知：如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD＝CD,E 是对角线 BD 上一点,且 EA＝EC. (1)求证：四边形 ABCD 是菱形； (2)如果 BE＝BC,且∠CBE∶∠BCE＝2∶3,求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：(1)在△ADE 与△CDE 中, {AD＝CD， DE＝DE， EA＝EC， ∴△ADE≌△CDE,∴∠ADE＝∠CDE. ∵AD∥BC,∴∠ADE＝∠CBD, ∴∠CDE＝∠CBD,∴BC＝CD. ∵AD＝CD,∴BC＝AD, ∴四边形 ABCD 为平行四边形. ∵AD＝CD, ∴四边形 ABCD 是菱形； (2)∵BE＝BC,∴∠BCE＝∠BEC. ∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3, ∴∠CBE＝180× 2 2＋3＋3＝45°. ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴∠ABE＝∠CBE＝45°, ∴∠ABC＝90°,9 ∴四边形 ABCD 是正方形. 4.(2018·眉山中考)如图①,在四边形 ABCD 中,AC⊥BD 于点 E,AB＝AC＝BD,点 M 为 BC 的中点,N 为线段 AM 上 的点,且 MB＝MN. (1)求证：BN 平分∠ABE； (2)若 BD＝1,连接 DN,当四边形 DNBC 为平行四边形时,求线段 BC 的长； (3)如图②,若点 F 为 AB 的中点,连接 FN,FM,求证：△MFN∽△BDC. (1)证明： ∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB. ∵M 为 BC 的中点,∴AM⊥BC. 在 Rt△ABM 中,∠MAB＋∠ABC＝90°. 在 Rt△CBE 中,∠EBC＋∠ACB＝90°, ∴∠MAB＝ ∠EBC. 又∵MB＝MN,∴△MBN 为等腰直角三角形, ∴∠MNB＝∠MBN＝45°, ∴∠EBC＋∠NBE＝45°,∠MAB＋∠ABN＝∠MNB＝45°, ∴∠NBE＝∠ABN,即 BN 平分∠ABE； (2)解：设 BM＝CM＝MN＝a. 当四边形 DNBC 是平行四边形时, DN＝BC＝2a. 在△ABN 和△DBN 中, {AB＝DB， ∠NBD＝∠NBA， BN＝BN， ∴△ABN≌△DBN(SAS),∴AN＝DN＝2a. 在 Rt△ABM 中,由 AM2＋BM2＝AB2,得(2a＋a)2＋a2＝1,解得 a＝± 10 10 (负值舍去) , ∴BC＝2a＝ 10 5 ； (3)证明：在 Rt△MAB 中,F 是 AB 的中点, ∴MF＝AF＝BF, ∴∠MAB＝∠FMN. 又∵∠MAB＝∠CBD,∴∠FMN＝∠DBC. ∵ MF AB＝ MN BC＝ 1 2,∴ MF BD＝ MN BC＝ 1 2,10 ∴△MFN∽△BDC. 5.(2018·枣庄中考)如图,将矩形 ABCD 沿 AF 折叠,使点 D 落在 BC 边的点 E 处,过点 E 作 EG∥CD 交 AF 于点 G, 连接 DG. (1)求证：四边形 EFDG 是菱形； (2)探究线段 EG,GF,AF 之间的数量关系,并说明理由； (3)若 AG＝6,EG＝2 5,求 BE 的长. (1)证明：∵GE∥DF,∴∠EGF＝∠DFG. 由翻折的性质可知 DG＝EG,DF＝EF, ∠DGF＝∠EGF, ∴∠DGF＝∠DFG,∴DG＝DF, ∴DG＝EG＝DF＝EF, ∴四边形 EFDG 是菱形； (2)解：EG2＝ 1 2GF·AF. 理由：连接 DE,交 AF 于点 O. ∵四边形 EFDG 是菱形, ∴GF⊥DE,OG＝OF＝ 1 2GF. ∵∠DOF＝∠ADF＝90°,∠OFD＝∠DFA, ∴△DOF∽△ADF,∴ DF AF＝ OF DF, 即 DF2＝OF·AF. ∵OF＝ 1 2GF,DF＝EG,∴EG2＝ 1 2GF·AF； (3)解：过点 G 作 GH⊥DC,垂足为点 H. ∵EG2＝ 1 2GF·AF,AG＝6,EG＝2 5, 即 GF2＋6GF－40＝0, 解得 GF＝4,GF＝－10(舍去). ∵DF＝EG＝2 5,AF＝AG＋GF＝10, ∴AD＝ AF2－DF2＝4 5.11 ∵GH⊥DC,AD⊥DC,∴GH∥AD, ∴△FGH∽△FAD, ∴ GH AD＝ GF AF,即 GH 4 5＝ 4 10,∴GH＝ 8 5 5 . ∴BE＝AD－GH＝4 5－ 8 5 5 ＝ 12 5 5 .