广东省湛江市第一中学2018-2019学年高二上学期第一次大考试题数学（理）Word版含答案.doc

第 1页,共 4 页 湛江一中 2018-2019 学年度第一学期“第一次大考” 高二级理科数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：150 命题人：何佩锦； 审题人：许振广；做题人：陈振宇 一. 选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.） 1．数列 1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A．an＝n2－n＋1 B．an＝nn－1 2 C．an＝n2＋1 D．an＝nn＋1 2 2.已知下列四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出1 a ＜1 b 成立的 有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.把 1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角 形(如图).则第 7 个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 4.在△ABC 中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则 a∶b∶c 等于( ) A．1∶ 3∶2 B．3∶2∶1 C．1∶2∶3 D．2∶ 3∶1 5. 若 x，y 满足 2x－y≤0， x＋y≤3， x≥0， 则 2x＋y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6．在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，若 a＝2bcos C，则此三角形一定 是( ) A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形第 2页,共 4 页     15 7.37 17.19 41.41 19. ,34 32,,,.7 48 3 75 9 DCBA bb a bb a n n T SnTSnba n n nnnn ）的值为（则 都有若对任意自然数项和分别为的前设等差数列    8. 已 知 函 数 ),(1)( 22 RbRabbaxxxf  ， 对 任 意 实 数 x 都 有 )-1()1( xfxf  成立，若当  1,1x 时， 0)( xf 恒成立，则 b 的取值范围是( ) A.(－1，0) B.(2，＋∞) C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.不能确定 9.已知数列 na 是等比数列，数列 nb 是等差数列， 若 1 6 11 1 6 113 3, 7a a a b b b        ,则 3 9 4 8 tan 1 b b a a    的值是（ ） A. 3 B. 2 2 C . 2 2 D. 3 10．若 2α＋β＝π，则 y＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( ) A．5，－11 2 B．7，－11 2 C．7,5 D．7，－5 11．不等式 x2＋2x0)取得最大值的最优解有第 3页,共 4 页 无穷多个，则 a 的值为________． 15． CDCBADACADAB，ABDABC 3,,3,  且的一个三等分点为中在 ， 则 Bcos = 16．已知 a>b，不等式 ax2＋2x＋b≥0 对一切实数 x 恒成立．又存在 x0∈R，使 ax20＋2x0＋b ＝0 成立，则a2＋b2 a－b 的最小值为 三．解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（共 70 分） 17. （本题 10 分）如图所示，在四边形 ABCD 中， D = 2 B ，且 1AD  ， 3CD  ， 3cos 3B  ． （Ⅰ）求△ ACD 的面积； （Ⅱ）若 2 3BC  ，求 AB 的长． 18.（本题 12 分）已知数列{an}的前 n 项和是 Sn，且 Sn＋1 2an＝1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝log 1 3 (1－Sn＋1)(n∈N*)，令 Tn＝ 1 b1b2 ＋ 1 b2b3 ＋…＋ 1 bnbn＋1 ，求 Tn. 19．（本题 12 分）如图，四棱锥 S ABCD 中， M 是 SB 的中点, / /AB CD ， BC CD ， S CD M A B C D第 4页,共 4 页 且 2AB BC  ， 1CD SD  ，又 SD  面 SAB . (1) 证明:CD SD ; (2) 证明: / /CM 面 SAD ; (3) 求四棱锥 S ABCD 的体积. 20．（本题 12 分）已知 2( ) 3sin cos cos2 2 2 x x xf x   . （Ⅰ）若 ( ) 1f   ，求 cos(2 )3   的值； （ Ⅱ ） 在 锐 角 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 满 足 AcCab coscos)2(  ，求 )(Bf 的取值范围． 21. （本题 12 分） 解关于 x 的不等式 ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R). 22. （本题 12 分）数列{ }na 的通项 na 是关于 x 的不等式 2x x nx  的解集中正整数的个 数， 1 1 1( ) 1 2n n n f n a a a n       … ． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）若 2 n n n ab  ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nS ； （3）求证：对 2n  且 *n N 恒有 7 ( ) 112 f n  ． 湛江一中 2018-2019 学年度第一学期“第一次大考”第 5页,共 4 页 高二级理科数学普通卷（A）答案 一. 选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B A C B A C A D A D 二．填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13．95 14． 3 5 15． 18 67 16． 2 2 三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（共 70 分） 17.解：（Ⅰ） 3 11cos22coscos 2  BBD ……………………………………………….………… 2 分 因为  0,D   ，所以 2 2sin 3D  ，……………………………………………………………………………3 分 所以△ACD 的面积 1 sin 22S AD CD D     ．…………………………………………………..………5 分 （Ⅱ）在△ACD 中， 12cos2222  DDCADDCADAC ， 所 以 2 3AC  ．……………………………………………………………………………………..... ………………7 分 在△ABC 中， 12cos2222  BBCABBCABAC …………………………………….………9 分 把已知条件代入并化简得： 042  ABAB 因为 0AB  ，所以 4AB  …………………10 分 18. 解 (1)当 n＝1 时，a1＝S1，由 S1＋1 2a1＝1，得 a1＝2 3 ，…………………………………1 分 当 n≥2 时，Sn＝1－1 2an，Sn－1＝1－1 2an－1，…………………………………………………………………2 分第 6页,共 4 页 则 Sn－Sn－1＝1 2(an－1－an)，即 an＝1 2(an－1－an)，所以 an＝1 3an－1(n≥2). ……………4 分 故数列{an}是以2 3 为首项，1 3 为公比的等比数列. 故 an＝2 3 · 1 3 n－1 ＝2· 1 3 n (n∈N*).………………………………………………………………………………………5 分. (2)因为 1－Sn＝1 2an＝ 1 3 n .………………………………………………………………………………………………………6 分 所以 bn＝log 1 3 (1－Sn＋1)＝log 1 3 1 3 n＋1 ＝n＋1，……………………………………………………………7 分 因为 1 bnbn＋1 ＝ 1 （n＋1）（n＋2）＝ 1 n＋1 － 1 n＋2 ，………………………………………………………9 分 所以 Tn＝ 1 b1b2 ＋ 1 b2b3 ＋…＋ 1 bnbn＋1 ＝ 1 2 －1 3 ＋ 1 3 －1 4 ＋…＋ 1 n＋1 － 1 n＋2 ＝1 2 － 1 n＋2 ＝ n 2（2n＋2）.……………………12 分 19. （1）证明：由 SD  面 SAB .， AB SAB 面 所 以 SD AB ………………………………………………………………………………………… ……………………………1 分 又 / /AB CD ………………………………………………………………………………………… ………………………………2 分 所 以 CD SD ………………………………………………………………………………………… ……………………………3 分 （ 2 ） 取 SA 中 点 N ， 连 结 ,ND NM ………………………………………………………………………..…………4 分 则 / /NM AB ，且 1 2MN AB DC  ， / /AB CD 所 以 NMCD 是 平 行 四 边 形 …………………………………………………………………………………..…..…………5 分 / /ND MC ，………………………………………………………………………………………… …………………..…………6 分 且 ,ND SAD MC SAD 面 面第 7页,共 4 页 所 以 / /CM 面 SAD ;……………………………………………………………………………………………….. …………7 分 （ 3 ） : : 3: 2S ABCD S ABD ABCD ABDV V S S     ……………………………………………………….. …………8 分 过 D 作 DH AB ， 交 于 H ， 由 题 得 2 21 2 5BD AD    ……………………..…………9 分 在 ,Rt DSA Rt DSB  中 ， 2 25 1 2SA SB    ……………………………….…………..…………10 分 所 以 1 3 3 3S ABD D SAB ABSV V DS S       ……………………..…………………………………… …….……11 分 所 以 3 3 3 2 3 2S ABCDV     -……………………..……………………………………………….…… ………….……12 分 (注：其他解法按步骤相应给分) 20．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） )(xf 23sin s s2 2 2 x x xco co  2 1cos2 1sin2 3  xx ， ………………………………………………2 分 2 1)6sin(  x ．………………………………………………………3 分 由 ( ) 1f   ，得 1sin( ) 16 2     ，∴ 1sin( )6 2    ．……………………4 分 ∴ 2 1)6(sin21)6(2cos)32cos( 2   xxx ． ………………………5 分 （Ⅱ）由 AcCab coscos)2(  及正弦定理得： ACCAB cossincos)sinsin2(  ．………………………………………………6 分 ∴ ACCACB cossincossincossin2  ， BCACB sin)sin(cossin2  ．……………………………………………8 分 ∵ 0sin B ，且 ABC 是锐角三角形，∴ 2 1cos C ， 3 C ．第 8页,共 4 页 ∴ 3 2 BA ， AB  3 2 ． ………………………………………………10 分 ∵ 20  A ， ∴ 26   B ． ∴ 3 2 63   B ． ∴ 1)6sin(2 3  B ．………………………………………………………11 分 ∵ 2 1)6sin()(  BBf ， ∴ )(Bf 的取值范围是 ]2 3,2 13(  ． ………………………………………12 分 21. 解关于 x 的不等式 ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R). 解：原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0. ……………………………………………………………….……..1 分 (1) 当 a＞0 时，原不等式可以化为 a(x－2) x－1 a ＜0，等价于(x－2)· x－1 a ＜0. (2) 当 0＜a＜1 2 时，2＜1 a ，则原不等式的解集是 x|2＜x＜1 a ；……………………………………...3 分 当 a＝1 2 时，原不等式的解集是∅ ；………………………………………………………………….……….……..5 分 当 a＞1 2 时，1 a ＜2，则原不等式的解集是 x|1 a ＜x＜2 .………………………………………….……..7 分 (2)当 a＝0 时，原不等式为－(x－2)＜0，解得 x＞2， 即原不等式的解集是{x|x＞2}.…………………………………………………………………..…………….……..9 分 (3)当 a＜0 时，原不等式可以化为 a(x－2) x－1 a ＜0， 根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)· x－1 a ＞0， 由于1 a ＜2，故原不等式的解集是 x|x＜1 a 或 x＞2 .…………………………………………..….……..11 分 综上所述，当 a＜0 时，不等式的解集为 x|x＜1 a 或 x＞2 ； 当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x＞2}； 当 0＜a＜1 2 时，不等式的解集为 x|2＜x＜1 a ； 当 a＝1 2 时，不等式的解集为∅ ；当 a＞1 2 时，不等式的解集为 x|1 a ＜x＜2 .……..12 分第 9页,共 4 页 22. 解：（1） 2x x nx  等价于 ( 1) 0x x n   ，解得 (0, 1)x n  其 中 有 正 整 数 n 个 ， 于 是 na n …………………………………………..….……...….……..….…….2 分 （2） 1( )2 2 n n n nb n   2 1 2 1 1 11 2 ( ) ( )2 2 2 n n nS b b b n          … … 2 3 11 1 1 11 ( ) 2 ( ) ( )2 2 2 2 n nS n       … ………………………………..….……...….…….. ….….3 分 两式相减得 2 3 1 11 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n nS n n           … ….4 分 故 11 1 12 ( ) ( ) =2 ( 2)( )2 2 2 n n n nS n n      …………………………..….……...….……..…. ….6 分 （3） 1 1 1 1 1 1( ) 1 2 1 2n n n f n a a a n n n n n              … … 1 1 1 1n n n      ………………………………..….……...….……..…...….……..….… …...….……...8 分 由 1 1 1 1 1 1( ) 1 2 1 2n n n f n a a a n n n n n              … … 知 1 1 1 1 1( +1) + +2 3 2 2 1 2 2f n n n n n n        … 于是 1 1 1 1 1 1( 1) ( ) 02 1 2 2 1 2 2 2 2 1f n f n n n n n n n               .….……...10 分 故 ( 1) ( )f n f n  ( )f n 当 2n  且 *n N 时为增函数 7( ) (2) 12f n f   综 上 可 知 7 ( ) 112 f n  ……………………………..….……...….……..…...….……..….……...…. ……..12 分