宁阳一中2018级高一第一次段考（翱翔）
数 学 试 题
一、选择题（共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求）
1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，则M∪N=（ ）
A．∅ B．{x|x≥﹣3} C．{x|x≥1} D．{x|x＜1}
2．已知集合A={a﹣2，2a2+5a，12}，﹣3∈A，则a的值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．
3．设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}满足A⊊B，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，2]
4．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f（x）=x和g（x）= B．f（x）=|x|和g（x）=
C．f（x）=x|x|和g（x）= D．f（x）=和g（x）=x+1，（x≠1）
5．函数的图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
6．函数f（x）=﹣x的图象关于（ ）
A．y轴对称 B．直线y=﹣x对称 C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
7．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）
A．y=﹣3x+1 B．y=|x+2| C．y= D．y=x2﹣4x+3
8．已知f（x﹣2）=x2﹣4x，那么f（x）=（ ）
A．x2﹣8x﹣4 B．x2﹣x﹣4 C．x2+8x D．x2﹣4
9．若f（x）满足f（﹣x）=f（x），且在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则（ ）
A． B.
C． D．
10．已知函数y=ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c=0，则它的图象是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞﹚上是减函数，f（a）=0（a＞0），那么不等式xf（x）＜0的解集是（ ）
A．{x|0＜x＜a} B．{x|﹣a＜x＜0或x＞a}
C．{x|﹣a＜x＜a} D．{x|0＜x＜a或x＜﹣a}
12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）
A．y=[] B．y=[] C．y=[] D．y=[]
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N= ．
14．函数的 定义域是 ．
15．设函数，则f[f（2）]= ．
16．若函数f（x）=4x2﹣mx+5﹣m在[﹣2，+∞）上是增函数，则实数m的取值范围为 ．
三、解答题（共6小题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）讨论函数在x＜﹣1时的单调性并证明．
18．（12分）一次函数f（x）是减函数，且满足f[f（x）]=4x﹣1，求f（x）的解析式．
19．（12分）设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，若A∩B=B，求a的值．
20．（12分）（1）已知集合A={x|mx2﹣2x+3=0，m∈R}，若A有且只有两个子集，求m的值．
（2）若a，b∈R，集合，求b﹣a的值．
21．（12分）若f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=1﹣x2+x，求f（x）的解析式．
22．（12分）函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
宁阳一中2018级高一第一次段考（翱翔）
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求）
1．【解答】解：根据题意，做出数轴可得，
分析可得，M∪N={x|x＜1}，故选：D．
2．【解答】解：∵﹣3∈A∴﹣3=a﹣2或﹣3=2a2+5a
∴a=﹣1或a=﹣，∴当a=﹣1时，a﹣2=﹣3，2a2+5a=﹣3，不符合集合中元素的互异性，故a=﹣1应舍去,当a=﹣时，a﹣2=﹣，2a2+5a=﹣3，满足．
∴a=﹣．故选：B．
3．【解答】解：由于 集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，且满足A⊊B，
∴a≥2，故选：A．
4．【解答】解；对于A选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．对于B选项，由于函数y==x，即两个函数的解析式不同，∴不是同一函数；对于C选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴不是同一函数对于D选项，f（x）的定义域与g（x）的定义域均为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），且f（x）==x+1∴是同一函数故选：D．
5．【解答】解：函数是偶函数，所以排除B，D；函数＞0，排除C，
故选：A．
6．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称,故选：C．
7．【解答】解：一次函数y=﹣3x+1，反比例函数在（0，2）上为减函数；
二次函数y=x2﹣4x+3的对称轴为x=2，∴该函数在（0，2）上为减函数；
x＞0时，y=|x+2|=x+2为增函数，即y=|x+2|在（0，2）上为增函数．故选：B．
8．【解答】解：由于f（x﹣2）=x2﹣4x=（x2﹣4x+4）﹣4=（x﹣2）2﹣4，
从而f（x）=x2﹣4．故选：D．
9．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x），∴f（2）=f（﹣2），
∵﹣2＜﹣＜﹣1，又∵f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，
∴f（﹣2）＜f（﹣）＜f（﹣1）．故选：D．
10．【解答】解：∵a＞b＞c，且a+b+c=0，得a＞0，且c＜0，∴f（0）=c＜0，
∴函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，故选：D．
11．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞﹚上是减函数，∴函数在（﹣∞，0）上是增函数∵f（a）=0，∴f（﹣a）=0
不等式xf（x）＜0等价于或∴x＞a或﹣a＜x＜0
故选：B．
12．【解答】解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[]
也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．
二、填空题（共4小题，每题54分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}={0，2，4}，
∴集合M∩N={0，2}．故答案为：{0，2}．
14．【解答】解：函数有意义，可得x﹣1≥0且x+3≥0，
即为x≥1且x≥﹣3，解得x≥1，即定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．
15．【解答】解：∵函数，当x=2时，f（2）=0，
∴f[f（2）]=f（0）=0，故答案为：0．
16．【解答】解：函数f（x）=4x2﹣mx+5﹣m的对称轴是x=，开口向上，
∵在[﹣2，+∞）上是增函数，∴≤﹣2，解得m≤﹣16，
故答案为：（﹣∞，﹣16]．
三、解答题（共6小题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，
证明如下：
设x1＞x2＞﹣1，故f（x1）﹣f（x2）=﹣=
=，∵x1＞x2＞﹣1，∴x2﹣x1＜0，（1+x1）（1+x2）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减．
18．【解答】解：由一次函数f（x）是减函数，可设f（x）=kx+b（k＜0）．
则f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b，
∵f[f（x）]=4x﹣1，∴解得k=﹣2，b=1
∴f（x）=﹣2x+1．
19．【解答】解：根据题意，集合A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，
若A∩B=B，则B是A的子集，
且B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的解集，
分4种情况讨论：
①、B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0，即a＜﹣1时，方程无解，满足题意；
②、B={0}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根0，
则有a+1=0且a2﹣1=0，解可得a=﹣1，
③、B={﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，
则有a+1=4且a2﹣1=16，此时无解，
④、B={0、﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，
则有a+1=2且a2﹣1=0，解可得a=1，
综合可得：a=1或a≤﹣1．
20．【解答】解：（1）集合A={x|mx2﹣2x+3=0，m∈R}，若A有且只有两个子集，则方程mx2﹣2x+3=0有且只有一个根，
当m=0时，满足，
当△=4﹣12m=0，即m=，满足，故m的值为0或，
（2）a、b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，
则a≠0，即a+b=0，则b=﹣a，
此时{1，0，a}={0，﹣1，b}，
则a=﹣1，b=1，
∴b﹣a=2
21．【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，
当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=1﹣x2﹣x，即有f（x）=﹣1+x2+x．
则f（x）=．
22． 【解答】解：（1）由题意得，
由此可解得，
∴．
（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，
则有，
∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，，，1﹣x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
（3）f（t﹣1）+f（t）＜0，
∴f（t﹣1）＜﹣f（t），即f（t﹣1）＜f（﹣t），
∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数，
∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，
解之得．
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