渠县中学2018-2019学年度九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．用因式分解法解一元二次方程x（x﹣3）=x﹣3时，原方程可化为（ ）
A．（x﹣1）（x﹣3）=0 B．（x+1）（x﹣3）=0 C．x （x﹣3）=0 D．（x﹣2）（x﹣3）=0
2．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
3．下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，4cm
C．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，3cm
4．关于x的方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．0 B．8 C．4 D．0或8
5．如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，则FC的长为（ ）
A．10cm B．20cm C．5cm D．6cm
6．x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4
7．已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2，x1x2的值分别为（ ）
A．﹣2，3 B．2，3 C．3，﹣2 D．﹣2，﹣3
8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，则EC=（ ）
A．0.9cm B．1cm C．3.6cm D．0.2cm
9．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．100（1+x）=121 B．100（1﹣x）=121 C．100（1+x）2=121 D．100（1﹣x）2=121
10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接CE、OE，连接AE，交OD于点F．若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．方程（x﹣2）2=9的解是 ．
12．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则菱形的面积是 cm2．
13．如果线段a，b，c，d成比例，且a=5，b=6，c=3，则d= ．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，则∠AOB的度数为 ．
15．x2﹣2x+3=0是关于x的一元二次方程，则a所满足的条件是 ．
16．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程x（x﹣1）=2．
18．解方程：x2﹣2x=2x+1．
19．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．求证：四边形CEDF是平行四边形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）已知：如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE=DF，连接EC、FC．
求证：EC=FC．
21．（7分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？
22．（7分）一只箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图或列出表格．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE．直线CE的关系式是y=﹣x+8，与x轴相交于点F，且AE=3．
（1）求OC长度；
（2）求点B'的坐标；
（3）求矩形ABCO的面积．
24．（9分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
25．（9分）如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒．
（1）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP= cm；QC= cm．（用含t的代数式表示）
（2）若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间PD=PQ，使△DPQ为等腰三角形？
（3）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形？
九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．用因式分解法解一元二次方程x（x﹣3）=x﹣3时，原方程可化为（ ）
A．（x﹣1）（x﹣3）=0 B．（x+1）（x﹣3）=0 C．x （x﹣3）=0 D．（x﹣2）（x﹣3）=0
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先移项，再分解因式，即可得出选项．
【解答】解：x（x﹣3）=x﹣3，
x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，
（x﹣3（x﹣1）=0，
故选A．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确分解因式是解此题的关键．
2．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先利用列举法，列得所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求得答案．
【解答】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，
可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴两次正面都朝上的概率是．
故选A．
【点评】此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，4cm
C．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，3cm
【考点】比例线段．
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．
【解答】解：∵1×4≠2×3，
∴选项A不成比例；
∵1×4=2×2，
∴选项B成比例；
∵3×13≠5×9，
∴选项C不成比例；
∵3×1≠2×2，
∴选项D不成比例
故选B．
【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
4．关于x的方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．0 B．8 C．4 D．0或8
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根可得△=0，即（m﹣2）2﹣4（m+1）=0，解方程即可得m的值．
【解答】解：∵方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（m﹣2）2﹣4（m+1）=0，
解得：m=0或m=8，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
5．如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，则FC的长为（ ）
A．10cm B．20cm C．5cm D．6cm
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】先由DE∥BC，EF∥AB得出四边形BDEF是平行四边形，那么BF=DE．再由AD：DB=1：2，得出AD：AB=1：3．由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出DE：BC=AD：AB=1：3，将BC=30cm代入求出DE的长，即可得FC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE．
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3．
∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AB=1：3，即DE：30=1：3，
∴DE=10，
∴BF=10．
故FC的长为20cm．
故选B
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，比例的性质，难度不大，得出BF=DE，从而利用转化思想是解题的关键．
6．x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4
【考点】根与系数的关系．
【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．
【解答】解：设方程的另一根为x1，
由根据根与系数的关系可得：x1•1=﹣5，
∴x1=﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
7．已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2，x1x2的值分别为（ ）
A．﹣2，3 B．2，3 C．3，﹣2 D．﹣2，﹣3
【考点】根与系数的关系．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x1+x2==﹣2； x1x2=﹣3．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，则EC=（ ）
A．0.9cm B．1cm C．3.6cm D．0.2cm
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，然后利用比例性质求EC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，即=，
∴EC=0.9（cm）．
故选A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
9．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．100（1+x）=121 B．100（1﹣x）=121 C．100（1+x）2=121 D．100（1﹣x）2=121
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．
【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：100（1+x）2=121，
故选C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接CE、OE，连接AE，交OD于点F．若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】菱形的性质．
【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
【解答】解：在菱形ABCD中，OC=AC，AC⊥BD，
∴DE=OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD=AB=AC=2，OA=AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD===，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE===；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．方程（x﹣2）2=9的解是 5或﹣1 ．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】观察方程后发现，左边是一个完全平方式，右边是3的平方，即x﹣2=±3，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：开方得x﹣2=±3即：
当x﹣2=3时，x1=5；
当x﹣2=﹣3时，x2=﹣1．
故答案为：5或﹣1．
【点评】本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
12．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则菱形的面积是 24 cm2．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形对角线垂直且互相平分，即可得出菱形的另一条对角线的长，再利用菱形的面积公式求出即可．
【解答】解：如图所示：设BD=6cm，AD=5cm，
∴BO=DO=3cm，
∴AO=CO==4（cm），
∴AC=8cm，
∴菱形的面积是：×6×8=24（cm2）．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积公式以及对角线之间的关系是解题关键．
13．如果线段a，b，c，d成比例，且a=5，b=6，c=3，则d= 3.6 ．
【考点】比例线段．
【分析】根据比例线段的定义，即可列出方程求解．
【解答】解：根据题意得： =，即=，
解得：d=3.6．
故答案为3.6．
【点评】本题考查了比例线段的定义，注意a、b、c、d是成比例线段即=，要理解各个字母的顺序．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，则∠AOB的度数为 60° ．
【考点】矩形的性质．
【分析】由矩形的性质和已知条件证得△OAB是等边三角形，继而求得∠AOB的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵ED=3BE，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°；
故答案为：60°．
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．熟练掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键．
15．（a+2）x2﹣2x+3=0是关于x的一元二次方程，则a所满足的条件是 a≠﹣2 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义得出a+2≠0，求出即可．
【解答】解：∵（a+2）x2﹣2x+3=0是关于x的一元二次方程，
∴a+2≠0，
∴a≠﹣2．
故答案为：a≠﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a b c都是常数，且a≠0）．
16．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为 8 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】先设正方形的边长为a，再根据对角线长为2求出a的值，由图形翻折变换的性质可知AD=A′B′，A′H=AH，B′G=DG，由阴影部分的周长=A′B′+A′H+BH+BC+CG+B′G即可得出结论．
【解答】解：设正方形的边长为a，则2a2=（2）2，解得a=2，
翻折变换的性质可知AD=A′B′，A′H=AH，B′G=DG，
阴影部分的周长=A′B′+（A′H+BH）+BC+（CG+B′G）=AD+AB+BC+CD=2×4=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程x（x﹣1）=2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】首先将原方程变形化为一般式，然后利用因式分解法即可求得此方程的根．
【解答】解：∵x（x﹣1）=2，
∴x2﹣x﹣2=0，
∴（x﹣2）（x+1）=0，
即x﹣2=0或x+1=0，
∴x=2或x=﹣1，
∴原方程的根为：x1=2，x2=﹣1．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法．注意在利用因式分解法解一元二次方程时，需首先将原方程化为一般式再求解．
18．解方程：x2﹣2x=2x+1．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵x2﹣2x=2x+1，
∴x2﹣4x=1，
∴x2﹣4x+4=1+4，
（x﹣2）2=5，
∴x﹣2=±，
∴x1=2+，x2=2﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
19．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．求证：四边形CEDF是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形．
【解答】证明：如图，在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．
∵F是AD的中点，
∴DF=．
又∵CE=BC，
∴DF=CE，且DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．已知：如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE=DF，连接EC、FC．
求证：EC=FC．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】要证EC=FC，只要证明三角形BCE和DCF全等即可，两三角形中已知的条件有BE=DF，CB=CD，那么只要证得两组对应边的夹角相等即可得出结论，根据四边形ABCD是菱形我们可得出∠ABC=∠ADC，因此∠EBC=∠FDC．这样就构成了三角形全等的条件．因此两个三角形就全等了．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=DC，∠ABC=∠ADC，
∴∠EBC=∠FDC．
在△EBC和△FDC中，，
∴△EBC≌△FDC（SAS），
∴EC=FC．
【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定，求简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，如等角的补角相等．
21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
【解答】解：设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得 （44﹣x）（20+5x）=1600，
解得x1=4，x2=36．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=4应略去，
∴x=36．
20+5x=200．
答：每件衬衫应降价36元，进货200件．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
22．一只箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图或列出表格．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）因为箱子里共3个球，其中2个白球，所以从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2，
所以两次摸出的球都是白球的概率==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE．直线CE的关系式是y=﹣x+8，与x轴相交于点F，且AE=3．
（1）求OC长度；
（2）求点B'的坐标；
（3）求矩形ABCO的面积．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）在直线y=﹣x+8中令x=0可求得C点坐标，则可求得OC长度；
（2）由折叠的性质可求得B′E，在Rt△AB′E中，可求得AB′，再由点E在直线CF上，可求得E点坐标，则可求得OA长，利用线段和差可求得OB′，则可求得点B′的坐标；
（3）由（1）、（2）可求得OC和OA，可求得矩形ABCO的面积．
【解答】解：
（1）∵直线y=﹣x+8与y轴交于点为C，
∴令x=0，则y=8，
∴点C坐标为（0，8），
∴OC=8；
（2）在矩形OABC中，AB=OC=8，∠A=90°，
∵AE=3，
∴BE=AB﹣BE=8﹣3=5，
∵是△CBE沿CE翻折得到的，
∴EB′=BE=5，
在Rt△AB′E中，AB′===4，
由点E在直线y=﹣x+8上，设E（a，3），
则有3=﹣a+8，解得a=10，
∴OA=10，
∴OB′=OA﹣AB′=10﹣4=6，
∴点B′的坐标为（0，6）；
（3）由（1），（2）知OC=8，OA=10，
∴矩形ABCO的面积为OC×OA=8×10=80．
【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及直线与坐标轴的交点、轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质及方程思想等知识点．在（1）中注意求与坐标轴交点的方法，在（2）中求得E点坐标是解题的关键．本题涉及知识点不多，综合性不强，难度不大，较容易得分．
24．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
25．如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒．
（1）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP= 3t cm；QC= 3t cm．（用含t的代数式表示）
（2）若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间PD=PQ，使△DPQ为等腰三角形？
（3）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形？
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可解决问题．
（2）过点P作PE⊥CD于点E，利用等腰三角形三线合一的性质，DE=DQ，列出方程即可解决问题．
（3）当PD=PB时，四边形BPDQ是菱形，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AP=3t，CQ=3t．
故答案为3t，3t；
（2）过点P作PE⊥CD于点E，
∴∠PED=90°，
∵PD=PQ，
∴DE=DQ
在矩形ABCD中，∠A=∠ADE=90°，CD=AB=16cm
∴四边形PEDA是矩形，
∴DE=AP=3t，
又∵CQ=2t，
∴DQ=16﹣2t
∴由DE=DQ，
∴3t=×（16﹣2t），
∴t=2
∴当t=2时，PD=PQ，△DPQ为等腰三角形
（3）在矩形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，AD=BC，依题知AP=CQ=3t
∴PB=DQ，
∴四边形BPDQ是平行四边形，
当PD=PB时，四边形BPDQ是菱形，
∴PB=AB﹣AP=16﹣3t
在Rt△APD中，PD==，
由PD=PB，
∴16﹣3t=，
∴（16﹣3t）2=9t2+36，
解得：
∴当时，四边形BPDQ是菱形．
【点评】本题考查四边形综合题，路程、速度、时间之间的关系，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
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